高中数学知识点人教版总结(专题汇总)

高考数学专题一函数壹专题一函数【知识概要】一、映射●映射：映射是两个集合A、B间一种特殊的对应，:fAB表示对集合A中的任何一个元素，在集合B中有唯一确定的元素与之对应。如果aA，bB，且元素a和元素b对应，那么，元素a叫做元素b的原像，元素b叫做元素a的像，记为()bfa。【特别提醒】：（1）映射由三要素组成，集合A、B以及A到B的对应法则f，集合A、B可以是数集，也可以是点集或其他集合。对于A中每一个元素，在B中有且只有一个元素和它对应。（2）A中的不同元素允许对应B中的相同元素，即映射允许“多对一”、“一对一”，但不允许“一对多”。B中的元素可以在A中没有元素和它对应。二、函数的概念●1.函数的定义：如果A、B都是非空的数集，映射:fAB就叫做A到B的函数，记作：yfx，xA，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合|()yyfxxA叫做函数的值域．如果用()fA表示值域，则有()fAB。通常yfx表示“y是x的函数”，简记作函数fx。●2.函数的三要素：定义域A，对应法则f，值域()fA。●3.函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法．函数解析式的求法：（1）待定系数法.若已知函数的类型，可用待定系数法；（2）换元法.已知复合函数(())fgx的解析式，可用换元法，要注意变量的取值范围；（3）消参法.若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出fx。（4）直接法.变形后直接代换【特别提醒】函数解析式是函数表示法的一种.求函数的解析式一定要注明定义域，特别是利用换元法求解析式时，不注明定义域往往导致错解。分段函数：在定义域内不同部分上有不同的解析式，这样的函数通常叫分段函数，分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数。高考数学专题一函数贰复合函数：如果(),()yfuugx，则称函数(())yfgx为f和g构成的复合函数，其中(),yfu()ugx分别叫做外层函数和内层函数，内层函数的值域是外层函数的定义域。●4.函数的基本性质：（1）单调性：设函数的定义域为A，区间IA。如果对于任意1x，2xI，当12xx时，都有12fxfx，那么就说fx在区间I上是单调减函数．区间I叫做fx的单调减区间；如果对于任意1x，2xI，当12xx时，都有12()()fxfx，那么就说fx在区间I上是单调增函数．区间I叫做fx的单调增区间；单调增区间或单调减区间统称为单调区间。单调性的求解方法：①定义法:取值——作差——变形——定号——判断②复合函数：“同增异减”（2）最大（小）值：设函数fx的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的xI，都有()fxM（或()fxM）；②存在0xI，使得0()fxM．那么我们称M是函数()yfx的最大（或小）值。求函数最大（小）值的常用方法：分析观察法、反函数法、分离常数法、配方法、不等式法、判别式法、利用函数的单调性法、换元法、数形结合法、导数法。函数的单调性与最值在高考中常以选择填空题形式出现，但近几年高考常以导数为工具，研究函数的单调性问题在大题中是必考内容。（3）奇偶性：如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有fxfx，那么函数fx就叫做奇函数。奇函数的图象关于原点对称。如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有fxfx，那么函数fx就叫做偶函数。偶函数的图象关于y轴对称。奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：()()fxfx()()0fxfx，也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶高考数学专题一函数叁性。【特别提醒】（1）若()0fx，则()fx既是奇函数又是偶函数，()(0)fxaa，则()fx是偶函数；若()fx是奇函数且在0x处有定义，则(0)0f.（3）函数的奇偶性常与函数的单调性、最值或周期结合考查，以选择填空题居多，且是高考考查的热点。（4）周期性：对于函数fx，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有fxTfx，那么函数fx就叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期。对于常数T，如果存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做函数fx的最小正周期。【特别提醒】：函数的图象是“形”与“数”的有机组合，由性质看图象，由图象研究性质是函数的永恒的主题，以图象考查函数性质是高考的常考点。●5.一些有用的结论：①奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。②在公共定义域内：增函数()fx增函数()gx是增函数；减函数()fx减函数()gx是减函数；③函数(0,0)byaxabx的单调性：单调增区间是：(,]ba和[,)ba；单调减区间是：[,0)ba和(0,]ba。④如果函数()yfx对于一切xR，都有faxfax，那么函数()yfx的图象关于直线xa对称。⑤函数()yfx与函数()yfx的图象关于直线0x对称；函数()yfx与函数()yfx的图象关于直线0y对称；函数()yfx与函数()yfx的图象关于坐标原点对称。三、初等函数●1.二次函数（1）二次函数的三种表示形式：①标准式：20yaxbxca；高考数学专题一函数肆②顶点式：2yaxmn，顶点,mn0a；③零点式：12yaxxxx0a。（2）二次函数的图象：图象是抛物线，其对称轴方程为2bxa．当0a时，开口向上；当0a时，开口向下。（3）二次函数的性质①0a时，单调递减区间(,]2ba；单调递增区间[,)2ba，2min44acbya。②0a时，单调递增区间(,]2ba；单调递减区间x1x2x3x4，2max44acbya。（4）求解二次函数在限定区间上的最大（小）值要抓住四点：①图象的开口方向；②顶点；③区间与对称轴的位置关系；④区间端点函数值。●2.指数函数和对数函数（1）指数和对数指数对数定义nxa（a叫做x的n次幂）▲yxaby=f(x)（b叫做以a为底N的对数）关系式logbaaNNb0,1,0aaN运算性质rsrsaaasrrsaarrrabab0,0,,abrsQlogloglogaaaMNMNlogloglogaaaMMNNloglognaaMnM0,0,0,1MNaa①根式：如果nxa（1n，且*nN），那么x叫做a的n次方根，记作na。式子na叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数．根式的性质有：（i）()nnaa（1n，且*nN）；（ii）当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，00nnaaaaa。②分数指数幂高考数学专题一函数伍11（i）mnmnaa（ii）1mnmnaa（*0,,amnN，且1n）；（iii）0的正分数指数幂等于0，0的负数指数幂、零指数幂没有意义。③lgN叫做常用对数，lnN叫做自然对数，其底数分别为10和2.71828eL④对数的换底公式及它的变形：loglog,loglog(0,1,0,1,0)lognncaaacbbbbaaccba。⑤对数恒等式：log(0,1,0)ababaab。（2）指数函数和对数函数指数函数对数函数▲xya标准正态分布曲线S阴=0.5Sa=0.5+SSlog(0,1)ayxaa图像性质①定义域：R②值域：(0,)③过(0,1)点，即0x时，1y④当1a时，在R上是增函数；当01a时，在R是减函数．①定义域：(0,)②值域：R③过(0,1)点，即1x时，0y④当1a时，在(0,)上是增函数；当01a时，在(0,)是减函数．关系xya与logayx（0,1aa）互为反函数，其图象关于yx对称●3.幂函数yx（x是自变量，是常数）oxy1xyaa01xyaaxyolog1ayxalog01ayxa高考数学专题一函数陆四、函数与方程●1.函数的零点：()yfx有零点()yfx的图象与x轴有交点方程()0fx有实根。●2.函数零点的存在性：如果函数()yfx在区间[,]ab上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0fafb，那么函数()yfx在区间(,)ab内有零点，即存在(,)cab，使得()0fc，这个c就是方程的根．注意：①上述判定方法中在(,)ab内的零点不一定唯一；②逆命题不成立。●3.二分法求方程近似解（1）确定区间[,]ab，验证()()0fafb，给定精确度；（2）求区间(,)ab的中点1x；（3）计算1()fx：①若1()0fx，则1x就是函数的零点；②若1()()0fafx，则令1bx，此时零点01(,)xax；③若1()()0fxfb，则令1ax，此时零点01(,)xxb。（4）判断是否达到精确度：即若ab，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)－(4)步。●4.二次方程根的分布利用二次函数的图象讨论二次方程根的分布的关键：①开口方向；②区间的端点值；③对称轴；④判别式。五、函数模型及其应用求解函数应用问题（如增长率、利润、产量、银行存款、节水等）要注意解题的步骤。（1）步骤：①设出未知数；②构建函数模型；③求解；④作答。（2）常见函数模型：①一次函数、正比例函数模型；②二次函数模型；③近似于指数函数模型；④(0)pyxpx模型；⑤分段函数模型；⑥其它函数模型。专题二三角高考数学专题一函数柒【知识概要】一、角的概念的推广、弧度制●1．任意角：角是由射线绕端点旋转而成的，它有正角、负角与特殊的零角。●2．终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，称为终边相同的角，记为{360,}SkkZo●3．象限角：把角置于直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。例如：第二象限角的集合：{36090360180,}SkkkZ●4．坐标轴上的角终边在x轴上的角的集合：{180,}SkkZ终边在y轴上的角的集合：{18090,}SkkZ终边在坐标轴上的角的集合：{90,}SkkZ●5．角的度量：弧度制，角度制。1rad角：弧长与圆半径长相等的弧所对的圆心角的大小称为1rad角。弧度和角度的换算：180()rad10.01745180radrad1801()()57.305718rad●6．弧长和扇形面积公式lR21122SlRR二、任意角的三角函数●1．任意角的三角函数的定义：设点(,)Pxy是角终边上一点，点O是坐标原点，22||rOPxy，那么角的正弦、余弦、正切分别是sin,cos,tan(0)yyxxrrx。●2．三角函数值的符号：正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号是：●3．三角函数线：正弦线sinMP，余弦线cosOM，正切线tanAT。＋＋－－xy＋－－＋xy＋－＋－xysincostanOOOTMPAOyxTMPAxyOTMPAxyOTMPAxyO高考数学专题一函数捌三、同角三角函数的基本关系式与诱导公式●1．同角三角函数的基本关系式，注意公式的变形使用。（1）22sincos1（2）sintancos●2．诱导公式：与角“32,,,,22k”有关的诱导公式的记忆口诀是“奇变偶不变,符