直线与双曲线的位置关系

直线与双曲线的位置关系椭圆与直线的位置关系及判断方法判断方法∆0∆=0∆0（1）联立方程组（2）消去一个未知数（3）复习:相离相切相交含焦点区域外含焦点区域内含焦点区域内PPP当点P在双曲线上时，能作3条直线与双曲线只有一个公共点。P当点P在其中一条渐近线上（中心除外）时，一条是切线，一条是与另一条渐近线平行。P当点P在含焦点区域内时，两条是分别与两条渐近线平行。P当点P在双曲线的中心时，不可能作出一条直线与双曲线只有一个公共点。过点P且与双曲线只有一个公共点的直线最多有4条也就是说过点P作与双曲线只有一个公共点的直线条数可能是4条、3条、2条、0条消去，得2222y=kx+my:xy-=1ab(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=01.二次项系数为0时，直线L（K=）与双曲线的渐近线平行或重合。重合：无交点；平行：有一个交点。2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,Δ0直线与双曲线相交（两个交点）Δ=0直线与双曲线相切Δ0直线与双曲线相离理论分析：ab判断直线与双曲线位置关系的处理程序把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与双曲线的渐进线平行相交（一个交点）计算判别式0=00相交相切相离特别注意：直线与双曲线的位置关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支的方程。一个公共点，求直线仅有：与双曲线的直线过点lyxClP14)3,0(223kxyl的方程为：设013641432222kxxkyxkxy由32:,2,0412xylkk此时时当313:,13,013446,042222xylkkkk此时得由时当2.过点P(1,1)与双曲线只有共有_______条.变式:将点P(1,1)改为1.A(3,4)2.B(3,0)3.C(4,0)4.D(0,0).答案又是怎样的?4116922yx1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.交点的一个直线XYO（1，1）。例题讲解例3：如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点，求k的取值范围解：由得(1-k2)x2+2kx-5=0(*)即方程无解y=kx-1x2-y2=4∴1-k2≠0△=4k2+20(1-k2)0k或k-∴k或k-引申1：如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有两个公共点，求k的取值范围解：直线一双曲线有两个公共点方程(*)有两个不等的根1-k2≠0△=4k2+20(1-k2)0-k且k≠1∴-k且k≠1思考？2、如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4右支有两个公共点，求k的取值范围3、如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4左支有两个公共点，求k的取值范围4、如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4左、右支各1个公共点，求k的取值范围1、如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4只有1个公共点，求k的取值范围解：等价于(*)只有一解。①当1-k2=0时，即k=1(*)只有一解②当1-k2≠0时，△=0，即k=(*)只有一解x1x2=-0解：等价于4k2+20(1-k2)0x1+x2=-201-k2≠0221kx1x2=-0解：等价于4k2+20(1-k2)0x1+x2=-201-k2≠022-k-1解：等价于1-k2≠04k2+20(1-k2)0x1x2=-02-1k122x-y=4要使直线与双曲线的右支有两个相异的公共点，则应满足（2）解：将直线代入双曲线方程1kxy052)1(22kxxk化简整理422yx（※）251k解得04)(204)(0010)2)(2(0)2()2(001212121221212xxxxxxkxxxxk注:直线与双曲线的右支有两个交点,实际上给出了方程解的范围,涉及到二次方程的根的分布问题.解题时需要注意!12122225;11kxxxxkk由韦达定理得：例4.以P（1，8）为中点作双曲线为y2-4x2=4的一条弦AB，求直线AB的方程。典型例题:解法一：（1）当过P点的直线AB和x轴垂直时，直线被双曲线截得的弦的中点不是P点。（2）当过P点的直线AB和x轴不垂直时，设其斜率为k．则直线AB的方程为y-8=k（x-1）22222y-8=kx-1由,得y-4x=4k-4x+2kk-8x+8-k-4=0112212,,,,,1AxyBxyxx设则是方程的两个不等实根.1222k-4x+2kk-8x+8-k-4=02222∴Δ=4k8-k-4k-48-k-4021,8,ABP弦的中点是2k8-k∵中点坐标公式与韦达定理,得-=13k-422由13得k=12x直线AB的方程为y-81=即直线AB的方程为x-2y+15=0例4.以P（1，8）为中点作双曲线为y2-4x2=4的一条弦AB，求直线AB的方程。112222112222,,,,44,44AxyBxyxx解法二:设则yy111112124,yyyyxxxx1,8,ABP弦的中点是12122,16.xxyy1112168,yyxx11121,2yyABxx直线的斜率为112x直线AB的方程为y-8=即直线AB的方程为x-2y+15=0例5、已知双曲线的方程为x2－y22＝1.试问：是否存在被点B(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程，如果不存在，请说明理由．[解析]解法一：设被B(1,1)所平分的弦所在的直线方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程x2－y22＝1，得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0.∴Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)0.解得k32，且x1＋x2＝2kk－1k2－2.∵B(1,1)是弦的中点，∴kk－1k2－2＝1，∴k＝232.故不存在被点B(1,1)所平分的弦．解法二：设存在被点B平分的弦MN，设M(x1，y1)、N(x2，y2)．则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，且x21－y212＝1，①x22－y222＝1.②①－②得(x1＋x2)(x1－x2)－12(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∴kMN＝y1－y2x1－x2＝2，故直线MN：y－1＝2(x－1)．由y－1＝2x－1x2－y22＝1消去y得，2x2－4x＋3＝0，Δ＝－80.这说明直线MN与双曲线不相交，故被点B平分的弦不存在．练习：已知双曲线x2－y24＝1，过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率k的值．[错解]设l：y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程，得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.由题意，Δ＝(2k－2k2)2－4(4－k2)·(－k2＋2k－5)＝0，所以k＝52.[辨析]错因在于忽视了4－k2＝0，即l与双曲线的渐近线平行时，l与双曲线只有一个交点也符合题意．另外没有考虑直线l斜率不存在的情况．名师辨误作答[正解]可分两种情况：(1)直线l斜率不存在时，l：x＝1与双曲线相切，符合题意；(2)直线l斜率存在时，设l方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程，得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0，当4－k2＝0时，k＝±2，即l与双曲线的渐近线平行时，l与双曲线只有一个公共点；当4－k2≠0时，令Δ＝0，所以k＝52.综上，k＝52或k＝±2或k不存在．一、选择题1．直线y＝13(x－72)与双曲线x29－y2＝1交点个数是()A．0B．1C．2D．4[答案]B[解析]直线与渐近线平行，∴有一个交点．2．过双曲线x2－y22＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l有()A．1条B．2条C．3条D．4条[答案]C[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝3，由x＝3x2－y22＝1，得y＝±2，∴|AB|＝|y1－y2|＝4满足题意．当直线l的斜率存在时，其方程为y＝k(x－3)，由y＝kx－3x2－y22＝1，得(2－k2)x2＋23k2x－3k2－2＝0.当2－k2≠0时，x1＋x2＝23k2k2－2，x1x2＝3k2＋2k2－2，|AB|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2＝1＋k223k2k2－22－12k2＋8k2－2＝1＋k216k2＋1k2－22＝41＋k2|k2－2|＝4，解得k＝±22，故这样的直线有3条．3.过原点与双曲线交于两点的直线斜率的取值范围是13422yx323，，2解：将y=ax+1代入3x2-y2=1(6,6),a又设方程的两根为x1,x2，A(x1,y1),B(x2,y2),得(3-a2)x2-2ax-2=0,它有两个实根，必须△0,∵原点O（0，0）在以AB为直径的圆上，例6、直线y-ax-1=0和曲线3x2-y2=1相交，交点为A、B，当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点。1212222a2xx,xx3a3a典型例题:解：将y=ax+1代入3x2-y2=1(6,6),a又设方程的两根为x1,x2，A(x1,y1),B(x2,y2),得(3-a2)x2-2ax-2=0,它有两个实根，必须△0,∵原点O（0，0）在以AB为直径的圆上，∴OA⊥OB，即x1x2+y1y2=0,即x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0,∴(a2+1)x1x2+a(x1+x2)+1=0,解得a=±1.1212222a2xx,xx3a3a22222a(a+1)+a+1=03a3a综合应用问题[例1]直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B.(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．探索延拓创新[解析](1)将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线C的方程2x2－y2＝1后整理得，(k2－2)x2＋2kx＋2＝0①依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同的两点，故k2－2≠0Δ＝2k2－8k2－20－2kk2－202k2－20，解得k的取值范围为－2k－2.(2)设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则由①式得x1＋x2＝2k2－k2x1·x2＝2k2－2，假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(62，0)，则FA⊥FB，∴(x1－62)(x2－62)＋y1y2＝0，即(x1－62)(x2－62)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0.(1＋k2)x1x2＋(k－62)(x1＋x2)＋52＝0，∴(1＋k2)·2k2－2＋(k－62)·2k2－k2＋52＝0，化简得5k2＋26k－6＝0.解得k＝－6＋65，或k＝6－65∉(－2，－2)(舍去)．可知k＝－6＋65使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．例2：已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且OA→·OB→2(其中O为原点)，求k的取值范围．[解析](1)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．由已知得a＝3，c＝2，于是a2＋b2＝22，b2＝1，故双曲线C的方程为x23－y2＝1.(2)将y＝kx＋2代入x23－y2＝1，得(