基本函数公式与高阶导数

一、基本导数公式二、高阶导数第三节基本函数公式与高阶导数一、基本函数公式基本初等函数公式(1)0();C'C为常数2(7)(tan)sec;x'x(5)(sin)cos;x'x11(4)(log||),(ln||);lnax'x'xax(3)()ln(0,1);(e)'exxxxa'aaaa1(2)();aax'ax(6)(cos)sin;x'x21(11)(arcsin);1x'x21(13)(arctan);1x'x(9)(sec)sectan;x'xx(10)(csc)csccot;x'xx21(12)(arccos);1x'x21(14)(arccot).1x'x2(8)(cot)csc;x'x基本求导法则(Ⅰ)线性法则:为常数;(),,aubv'au'bv'ab();uv'uv'uv'2(),0;uu'vuv''vvv{[()]}[()]();fux'f'uxu'x其中表示复合函数f[u(x)]对x求导,表示函数f(u)对u求导,然后代入u=u(x).{[()]}fux'()[()]()|uuxf'uxf'u(Ⅳ)链式法则:(Ⅲ)商法则:(Ⅱ)积法则:(Ⅴ)反函数法则:其中y=f(x)为的反函数.1(),()0,()f'x'y'y()xy3333dd()()ddyfxy'''f'''xxx二、高阶导数一般地,如果函数y=f(x)的导函数在点x处可导,则称导函数在点x的导数为函数f(x)的二阶导数,记为()f'x()f'x2222dd()()ddyfxy''f''xxx或或或类似的,定义y=f(x)的二阶导数的导数为三阶导数,记为()f''x或或或如果函数y=f(x)的n－1阶导数存在且可导,则称y的n－1阶导数的导数为y=f(x)的n阶导数,记为()()dd()()ddnnnnnnyfxyfxxx或或或二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.如果函数y=f(x)的n阶导数存在,则称y=f(x)为n阶导数.n阶导数(n=1,2,…)在点x0处的值记为00()()00d()d||()ddnnnnxxxxnnfxyyfxxx或或或例3.16设y=(asinx+bcosx)ex,其中a,b为常数.试证:220y''y'y证因为(cossin)e(sincos)exxy'axbxaxbx[()sin()cos]exabxabx''[()cos()sin]e[()sin()cos]exxyabxabxabxabx2(cossin)exaxbx所以222(cossin)e2[()sin()cos]e2(sincos)exxxy''y'yaxbxabxabxaxbx=2[cossin()sin()cossincos]e0xaxbxabxabxaxbx例3.17求下列函数的n阶导数:(1)y=ax(a0,a≠1);(2)y=sinx;(3)y=ln(1+x).解(1)lnxy'aa一般地,有y(n)=(ax)(n)=ax(lna)n,n=1,2,…特别地,a=e时,有(ex)(n)=ex,n=1,2,…2(ln)xy''aa23(ln)ln(ln)xxy'''aaaaa(2)(sin)y'x'cosπsin()2xxπcos()2y''xπsin(2)2xππsin()22x一般地,有()()(sin)nnyxπsin(),1,2,2nxn一般地,有()()[ln(1)]nnyx其中,按规定0！=1.1(1)(1)!(1),1,2,nnnxn2(1)y''x3(1)(2)(1)y'''x23(1)2!(1)x11(1)1xx(3)[ln(1)]y'x'