等比数列及其前n项和考点与题型归纳

等比数列及其前n项和考点与题型归纳一、基础知识1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an＋1an＝q.(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项，且等比中项有两个.2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1qn－1.(2)前n项和公式：Sn＝na1，q＝1，a11－qn1－q＝a1－anq1－q，q≠1.3．等比数列与指数型函数的关系当q0且q≠1时，an＝a1q·qn可以看成函数y＝cqx，其是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{an}各项所对应的点都在函数y＝cqx的图象上；对于非常数列的等比数列{an}的前n项和Sn＝a11－qn1－q＝－a11－qqn＋a11－q，若设a＝a11－q，则Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0，q≠1)．由此可知，数列{Sn}的图象是函数y＝－aqx＋a图象上一系列孤立的点．对于常数列的等比数列，即q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1.由此可知，数列{Sn}的图象是函数y＝a1x图象上一系列孤立的点．二、常用结论汇总——规律多一点设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq；若2s＝p＋r，则apar＝a2s，其中m，n，p，q，s，r∈N*.(3)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)．(4)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和panqbn也是等比数列．(5)若数列{an}的项数为2n，则S偶S奇＝q；若项数为2n＋1，则S奇－a1S偶＝q.考点一等比数列的基本运算[典例](2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.[解](1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)或q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝1－－2n3.由Sm＝63，得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若an＝2n－1，则Sn＝1－2n1－2＝2n－1.由Sm＝63，得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.[题组训练]1．已知等比数列{an}单调递减，若a3＝1，a2＋a4＝52，则a1＝()A．2B．4C.2D．22解析：选B由题意，设等比数列{an}的公比为q，q0，则a23＝a2a4＝1，又a2＋a4＝52，且{an}单调递减，所以a2＝2，a4＝12，则q2＝14，q＝12，所以a1＝a2q＝4.2．(2019·长春质检)已知等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a2＝2，S6－S4＝6a4，则a5＝()A．4B．10C．16D．32解析：选C设公比为q(q0)，S6－S4＝a5＋a6＝6a4，因为a2＝2，所以2q3＋2q4＝12q2，即q2＋q－6＝0，所以q＝2，则a5＝2×23＝16.3．(2017·江苏高考)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝74，S6＝634，则a8＝________.解析：设等比数列{an}的公比为q，则由S6≠2S3，得q≠1，则S3＝a11－q31－q＝74，S6＝a11－q61－q＝634，解得q＝2，a1＝14，则a8＝a1q7＝14×27＝32.答案：32考点二等比数列的判定与证明[典例]已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列．[证明]因为an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an，所以bn＋1bn＝an＋2－2an＋1an＋1－2an＝4an＋1－4an－2an＋1an＋1－2an＝2an＋1－4anan＋1－2an＝2.因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.所以b1＝a2－2a1＝3.所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．[解题技法]1．掌握等比数列的4种常用判定方法定义法中项公式法通项公式法前n项和公式法2．等比数列判定与证明的2点注意(1)等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法、前n项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等比数列．(2)证明一个数列{an}不是等比数列，只需要说明前三项满足a22≠a1·a3，或者是存在一个正整数m，使得a2m＋1≠am·am＋2即可．[题组训练]1．数列{an}的前n项和为Sn＝2an－2n，证明：{an＋1－2an}是等比数列．证明：因为a1＝S1,2a1＝S1＋2，所以a1＝2，由a1＋a2＝2a2－4得a2＝6.由于Sn＝2an－2n，故Sn＋1＝2an＋1－2n＋1，后式减去前式得an＋1＝2an＋1－2an－2n，即an＋1＝2an＋2n，所以an＋2－2an＋1＝2an＋1＋2n＋1－2(2an＋2n)＝2(an＋1－2an)，又a2－2a1＝6－2×2＝2，所以数列{an＋1－2an}是首项为2、公比为2的等比数列．2．(2019·西宁月考)已知在正项数列{an}中，a1＝2，点An(an，an＋1)在双曲线y2－x2＝1上．在数列{bn}中，点(bn，Tn)在直线y＝－12x＋1上，其中Tn是数列{bn}的前n项和．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{bn}是等比数列．解：(1)由已知点An在y2－x2＝1上知，an＋1－an＝1.∴数列{an}是一个以2为首项，1为公差的等差数列．∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋n－1＝n＋1.(2)证明：∵点(bn，Tn)在直线y＝－12x＋1上，∴Tn＝－12bn＋1.①∴Tn－1＝－12bn－1＋1(n≥2)．②①②两式相减，得bn＝－12bn＋12bn－1(n≥2)．∴32bn＝12bn－1，∴bn＝13bn－1.由①，令n＝1，得b1＝－12b1＋1，∴b1＝23.∴数列{bn}是以23为首项，13为公比的等比数列．考点三等比数列的性质考法(一)等比数列项的性质[典例](1)(2019·洛阳联考)在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，则a2a16a9的值为()A．－2＋22B．－2C.2D．－2或2(2)(2018·河南四校联考)在等比数列{an}中，an0，a1＋a2＋…＋a8＝4，a1a2…a8＝16，则1a1＋1a2＋…＋1a8的值为()A．2B．4C．8D．16[解析](1)设等比数列{an}的公比为q，因为a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，所以a3·a15＝a29＝2，a3＋a15＝－6，所以a30，a150，则a9＝－2，所以a2a16a9＝a29a9＝a9＝－2，故选B.(2)由分数的性质得到1a1＋1a2＋…＋1a8＝a8＋a1a8a1＋a7＋a2a7a2＋…＋a4＋a5a4a5.因为a8a1＝a7a2＝a3a6＝a4a5，所以原式＝a1＋a2＋…＋a8a4a5＝4a4a5，又a1a2…a8＝16＝(a4a5)4，an0，∴a4a5＝2，∴1a1＋1a2＋…＋1a8＝2.故选A.[答案](1)B(2)A考法(二)等比数列前n项和的性质[典例]各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于()A．80B．30C．26D．16[解析]由题意知公比大于0，由等比数列性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…仍为等比数列．设S2n＝x，则2，x－2,14－x成等比数列．由(x－2)2＝2×(14－x)，解得x＝6或x＝－4(舍去)．∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…是首项为2，公比为2的等比数列．又∵S3n＝14，∴S4n＝14＋2×23＝30.[答案]B[解题技法]应用等比数列性质解题时的2个关注点(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．[题组训练]1．(2019·郑州第二次质量预测)已知等比数列{an}中，a2a5a8＝－8，S3＝a2＋3a1，则a1＝()A.12B．－12C．－29D．－19解析：选B设等比数列{an}的公比为q(q≠1)，因为S3＝a1＋a2＋a3＝a2＋3a1，所以a3a1＝q2＝2.因为a2a5a8＝a35＝－8，所以a5＝－2，即a1q4＝－2，所以4a1＝－2，所以a1＝－12，故选B.2．已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.解析：由题意，得S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80，解得S奇＝－80，S偶＝－160，所以q＝S偶S奇＝－160－80＝2.答案：2[课时跟踪检测]A级1．(2019·合肥模拟)已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1a5＝16，a2＝2，则公比q＝()A．4B.52C．2D.12解析：选C由题意，得a1·a1q4＝16，a1q＝2，解得a1＝1，q＝2或a1＝－1，q＝－2(舍去)，故选C.2．(2019·辽宁五校协作体联考)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为22，则log2a7＋log2a11的值为()A．1B．2C．3D．4解析：选C由题意得a4a14＝(22)2＝8，由等比数列的性质，得a4a14＝a7a11＝8，∴log2a7＋log2a11＝log2(a7a11)＝log28＝3，故选C.3．在等比数列{an}中，a2a3a4＝8，a7＝8，则a1＝()A．1B．±1C．2D．±2解析：选A因为数列{an}是等比数列，所以a2a3a4＝a33＝8，所以a3＝2，所以a7＝a3q4＝2q4＝8，所以q2＝2，则a1＝a3q2＝1，故选A.4．(2018·贵阳适应性考试)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝12，a2a6＝8(a4－2)，则S2019＝()A．22018－12B．1－122018C．22019－12D．1－122019解析：选A由等比数列的性质及a2a6＝8(a4－2)，得a24＝8a4－16，解得a4＝4.又a4＝12q3，故q＝2，所以S2019＝121－220191－2＝22018－12，故选A.5．在等比数列{an}中，a1＋a3＋a5＝21，a2＋a4＋a6＝42，则S9＝()A．255B．256C．511D．512解析：选C设等比数列的公比为q，由等比数列的定义可得a2＋a4＋a6＝a1q＋a3q＋a5q＝q(a1＋a3＋a5)＝q×21＝42，解得q＝2.又a1＋a3＋a5＝a1(1＋q2＋q4)＝a1×21＝21，解得a1＝1.所以S9＝a11－q91－q＝1×1－291－2＝511.故选C.6．已知递增的等比数列{an}的公比为q，其前n项和Sn0，则()A．a10,0q1B．a10，q1C．a10,0q1D．a10，q1解析：选A∵Sn0，∴a10，又数列{an}为递增等比数列，∴an＋1an，且|an||an＋1|，则－an－an＋10，则q＝－an＋1－an∈(0,1)，∴a10,0q1.故选A.7．设