惯性力与非惯性系

惯性力与非惯性系摘要惯性力是非惯性系中的非真实力，本文证明了在非惯性系中将惯性力视为真实力计入后，惯性系下的所有力学规律在非惯性系下都能成立。当惯性力做功与路径无关时，可以引入惯性力势能，引入惯性力势能并计入系统总机械能后，机械能守恒体系中的条件与结论也仍然成立。关键字:非惯性系;惯性力;惯性力势能ABSTRACTInertiaforceisunrealpowerinnon-inertiasystem.Itprovesinthisarticlethatwheninertiaforceisaddedasrealpowerinnon-inertiasystem,allthemechanicallawswhichapplyininertiasystemalsodoinnon-inertialsystem.Wheninertiaforce’sdoingworkhasnothingtodowithpath,potentialenergycanbebroughtin.Theconditionsandconclusionsstillapplyinthesystemofconservationofmechanicalenergywhenitaddspotentialenergytothetotalmechanicalenergy.Keywords:Non-inertial;Inertia;Inertialforcepotentialenergy1非惯性系与惯性力我们在描绘物体的运动状态时，称选作参照场的物体或物体群，为参照系。又因为牛顿第一定律又称为惯性定律。所以凡适用用牛顿定律的参照系都可以称作惯性参照系。从伽俐若相对性原理中还得到：相对于惯性参照系作匀速直线运动的参照系来说，其力学过程是完全等价的。所以，一个参照系做匀速直线运动，都可以当做是惯性参照系。而当一参照系相对于惯性参照系做加速a0运动时，此时牛顿定律不再成立，我们将这样的参照系叫非惯性参照系。a0又叫做牵连加速度，设o1为惯性系，o2为非惯性系，o2相对于o1的加速度即为a0,得：a2=a1-a0又为了使加速参照系中牛顿定律仍然适用，我们可以假想在加速参照系中的一切物体都受有某种力，我们把它叫做惯性力f=-ma0。而在这种参照系中，物体所受的这种力没有施力物体的存在，所以惯性力为非真实力。如：设在一车厢内有一光滑平板，平板上放有一质量为m的小球，当车厢静止时，小球于车厢保持静止状态，不受力；当车厢匀速行驶时，小球与地面保持静止，而与车厢有相对运动，以车厢为参照系可以观察到小球匀速向反方向行驶，不受力；当车厢以a加速行驶时，以地面为参照系可知小球保持静止不动，当一小车为参照系时，可以看到小球在以相反的方向以-a的加速度向反方向行驶。如图：在上图中，以车厢为参照系的观察者（习惯于用牛顿第二定律来研究力和加速度的问题），虽然观测到这个加速度，但却未能找到引起这个加速度的力。于是他不得不设想有个假想力f作用在小球上，这个力使质量为m的小球获得以加速度-a，按照牛顿第二定律，f=-ma这个假想力就称为惯性力。2惯性系与非惯性系下的力学规律设有两个参照系o1和o2，o1为惯性系，o2为非惯性系：2.1惯性系下，即o1系下，有：a1=F/mdv1=a1dtdr1=v1dtdv1=a1dt=Fdt/m＝＞mdv1=Fdt＝＞d(mv1)=Fdt——冲量定理元功δw1=Fdr1=ma1v1dt=mv1dv1=d(mv12/2)——动能定理由d(mv12/2)=Fdr1=(F保+F非保)dr1=F保dr1+F非保dr1引入势能即F保dr1=-dU1d(mv12/2)=-dU1+F非保dr1d(mv12/2+U1)=F非保dr1——功能原理若F非保dr1=0＝＞mv12/2+U1=常量——机械能守恒2.2非惯性系下，即o2系下，有：a2=a1-a0=F/m+f/m=(F+f)/m=F总/mF总=F+ff为惯性力dv2=a2dt,dr2=v2dtdv2=a2dt=F总dt/m＝＞mdv2=F总dt＝＞d(mv2)=F总dt——冲量定理此式表明：尽管f非真实力，但在形式上计入力f的冲量后，惯性系下的冲量定理形式在非惯性系中得以成立。同样，因f非真实力，我们把包含f在内的所有力做的功合称为视在功。视在元功δw2=F总dr2=ma2v2dt=mv2dv2=d(mv22/2)——动能定理此式亦表明：虽然f为非真实力，但引入视在功并计入总功内，惯性力下动能定理形式在非惯性系下得以成立。由d(mv22/2)=F总dr2=(F保+F非保+f)dr2=F保dr2+F非保dr2+fdr2引入势能即F保dr2=-dU2d(mv22/2)=-dU2+F非保dr2+fdr2d(mv22/2+U2)=(F非保+f)dr2——功能原理若(F非保+f)dr2=0＝＞mv22/2+U2=常量——机械能守恒此两式又表明：即使f为非真实力，但在形式上计入力f后，惯性系下机械能守恒定律形式在非惯性系中也得以成立。可见：引入惯性力f并将其视为真实力计入后，惯性系下的力学规律仍然适用于非惯性系。3惯性力势能类似于真实保守力的势能，若惯性力做功与路径无关，我们也可以考虑引入惯性力势能。3．1惯性力做功与路径无关的例子设有一平面圆台，绕过圆心且垂直于台面的轴以定角速度ω转动，质量为m的质点处于园面上，以圆台为参考系，以o点为原点。由于这是一个非惯性系，质点的惯性力为f=mrω2.以o点为原点，台面上任一点位置矢量为r.则惯性力的元功为dW=fdr,＝＞W=ABrrmrω2dr=mω2(rB2-rA2)/2可见，惯性力的功W于路径无关3．2惯性力势能的定义当惯性力做功与路径无关，类似于保守力的势能，定义惯性力的功等于惯性势能增量的负值，即F惯dr=-dU惯在上例中，设o点（r=0）处惯性力势能为零，则系中任一点r处的惯性力势能可表示为U(r)=-W=-mω2(r2-0)/2=-mω2r2/23．3运用惯性力势能处理非惯性系的力学问题的实例：在一光滑水平直管内有一质量为m的小球，此管以匀角速度ω绕通过其一端的竖直轴转动。开始时，球距转动轴的距离为b，球相对于管的速度为零，管总长为2b，求球刚要离开管口时的相对速度和绝对速度。解：取与管固定连接的坐标系为参考系o’，球在管内相对o’的运动即球相对管的运动乃是惯性力作用的结果，而球所受压力、重力等均与其运动方向垂直，它们所做的功为零。1.利用惯性力势能解该题球受到的惯性力的功属于前述“惯性力作功与路径无关”的情形，可引入惯性力势能U(r)=-mω2r2/2,并且在o’系看，其机械能守恒。至球刚要离开时，其相对速度v’满足-mb2ω2/2=-m(2b)2ω2/2+mv’2/2所以v’2=3b2ω2v’=31/2bωv’的方向沿管方向且指向管外球的牵连速度vt=r×ω,vt=rω.至要离开管时，r=2b,vt=2bω球的绝对速度为v=(v’2+vt2)1/2=(3b2ω2+4b2ω2)1/2=71/2bω2.不引入惯性力势能求解在这个过程中，我们可以知道物体在o’中只有惯性力做功，我们可以根据动量定理，即fΔt=mΔv’f=mω2r可以写出元动量fdt=mdv’又dr=v’dt代入上式，得fdr/v’=mdv’＝＞mω2rdr=mv’dv’两边同时积分后，可得到v’=31/2bω其他过程，同上。比较以上不同的两种不同的解法，可以看到利用惯性力势能解题要简便一些。结束语：根据上面的讨论知道：在非惯性系中，将惯性力视为真实力计入后，成立于惯性系的冲量定理、动能定理、功能原理、机械能守恒等都得以在非惯性系下成立。而在惯性力做功与路径无关的条件下，还可以引入惯性力势能，让总机械能中包含惯性力势能，在除惯性力以外的其它非保守力做功为零的条件下，在非惯性系中，包括惯性力势能在内的机械能也守恒。参考文献[1]程守诛，江之永，胡盘新，等．普通物理学[M]．北京：高等教育出版社l998．[2]梁绍荣，管靖，张萍．基础物理学[M]．北京：高等教育出版社，2002．[3]周衍柏．理论力学[M]．北京：高等教育出版社，1979[4]袁芳经典力学中的功能原理2007