论文浅谈多项式因式分解的方法

第1页共22页浅谈多项式因式分解的方法重庆师范大学涉外商贸学院数学与应用数学(师范)2008级徐传华指导教师：赵振华中文摘要：多项式的因式分解是多项式乘法的逆过程，是代数式恒等变形的一个重要组成部分，也是处理数学问题的重要手段和工具.因式分解在代数式的运算、解方程等方面有极其广泛的运用.本文通过对因式分解概念的阐述和方法的介绍来说明它在数学中的应用.关键词：多项式因式分解转化方法应用ChineseAbstract:polynomialfactorizationofpolynomialmultiplicationistheinverseprocess,arealgebraicidenticaldeformationisanimportantpartofsolvingmathematicalproblems,isalsotheimportantmeansandtools..Factorizationinalgebraicoperations,suchassolutionsofequationshasextremelyextensiveapplication.Basedonthefactorizationofconceptandmethodarepresentedtoillustrateitsapplicationinmathematics.Keywords:Factorizationofpolynomialtransformationmethodanditsapplication.在初等数学中，因式分解是一个十分重要的概念，在解题过程中有着广泛的应用，借助分解因式可解决计算、求值、说理等多方面的问题，因式分解也是整式乘法的一种重要变形，而转化是其中最重要的数学思想，即将高次的多项式分第2页共22页解转化为若干个较低次的因式的乘积.这种转化通常要通过观察、分析、尝试，应用提取公因式、乘法公式、分组分解等方法来达到目的.在解题过程中，问题变化万千，方法灵活多变.本文归纳总结因式分解的几种常用方法：提公因式法、运用公式法、分组分解法、简单的十字相乘法、拆、添项法、配方法、因式定理法、换元法、求根法、综合除法、整除法、图象法、主元法、特殊值法、待定系数法、双十字相乘法、综合法.1.定义定义把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）.因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用.学习它，既可以复习整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力.分解因式与整式乘法为相反变形.(a-b)(a+b)a2-b2整式乘法(a-b)(a+b)a2-b2因式分解同时也是解一元二次方程中公式法的重要步骤.2.基本方法2.1提公因式法第3页共22页如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式.例1分解因式bm-am+cm分析在多项式bm-am+cm中，每个单项式都含有字母m，故提出m就可以了.解bm-am+cm=m(b-a+c)例2分解因式a(x-y)+b(y-x)分析通过适当的变形可以找出公因式（x-y）或（y-x），再提出就可以了.解1a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)解2a(x-y)+b(y-x)=-a(y-x)+b(y-x)=(y-x)(b-a).2.2公式法若把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法.例3分解因式4a2-9b2分析①∵4a2=(2a)2,9b2=(3b)2,那么只要把2a和3b看作平方差公式中的a和b即可.②将两项交换后，这两项式是平方差的形式.解4a2-9b2=(2a)2-(3b)2=(2a+3b)(2a-3b)注为保证解题正确要将中间步骤(2a)2-(3b)2写上，即先化为公式的左边形式.例4分解因式(1)x(x2-1)-x2+1第4页共22页(2)(x2+x+2)(x2+x+7)-6分析(1)可看成二项式：将-x2+1变形为-(x2-1)则可提取公因式(x2-1)再将公因式用平方差公式分解.(2)题若将此式展开一定繁琐，注意到x2+x+2与x2+x+7的平均数为292xx，故可用换元法解：解(1)x(x2-1)-x2+1=x(x2-1)-(x2-1)=(x2-1)(x-1)=(x+1)(x-1)(x-1)=(x+1)(x-1)2(2)设y=2)7()2(22xxxx=292xx则(x2+x+2)(x2+x+7)-6=6)25)(25(yy=64252y=4492y=)27)(27(yy=)2729)(2729(22xxxx=(x2+x+8)(x2+x+1)注此题也可以展开式子(x2+x)2+9(x2+x)+8再应用十字相乘法进行.说明此题虽然题目中没有因式分解的要求，但是248-1是因式分解的平方差公式的基本形式.将其进行等价转化，逐步地运用平方差公式，直到出现26+1=65和26-1=63两个因式.例5分解因式(1)x2+6ax+9a2(2)-x2-4y2+4xy(3)9(a-b)2+6(a-b)+1第5页共22页分析这题的三个小题都为三项式，又都没有公因式，可考虑是否能用公式中的完全平方公式.(1)题的x2=(x)2，9a2=(3a)2，且这两项的符号相同，可写成平方和.这样x和3a就为公式中的a和b了.另外6ax正好是2(x)(3a)即公式中的2ab项，这样这题就可用和的完全平方公式分解.(2)题中的-x2-4y2，这两项符号相同，提取负号后可写成平方和，即-x2-4y2=-[x2+(2y)2]，4xy正好是2(x)(2y)是公式中的2ab项，此题可用完全平方公式.注意提取负号时4xy要变号为-4xy.(3)题9(a-b)2+1可写成平方和[3(a-b)]2+12，就找到公式中的a和b项为3(a-b)和1，6(a-b)正好是2×3(a-b)×1为公式中的2ab项，符合完全平方公式.解(1)x2+6ax+9a2=(x)2+2(x)(3a)+(3a)2=(x+3a)2注再写第一步的三个项的和时实际上先写x2和(3a)2项，再写固定的“2”常数再将公式中的a、b数即x和3a写进二个括号内；计算出来为6ax，即原题中的中间项.(2)-x2-4y2+4xy=-(x2-4xy+4y2)=-[x2-2(x)(2y)+(2y)2]=-(x-2y)2(3)9(a-b)2+6(a-b)+1=[3(a-b)]2+2×3(a-b)×1+12=[3(a-b)+1]2=(3a-3b+1)2例6分解因式(m2+n2+1)2-4m2n2分析本题是一个二项式，符合平方差公式.用平方差公式分解后的两个多项第6页共22页式的因式后，都可分别先用完全平方公式再用平方差公式.解(m2+n2-1)2-4m2n2=(m2+n2-1+2mn)(m2+n2-1-2mn)=[(m2+2mn+n2)-1][(m2-2mn+n2)-1]=[(m+n)2-12][(m-n)2-12]=(m+n+1)(m+n-1)(m-n+1)(m-n-1)例7把下列多项式分解因式（1）a3＋8（2）27－8y3分析（1）因为8=23，故这是形如a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)，就完全可以运用立方和公式.（2）通过变形就可以运用立方差公式a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2).解（1）a3＋8=a3+23=（a+2）(a2-2a+22)=(a+2)(a2-2a+4)（2）27－8y3=33-(2y)3=(3-2y)[(32+6y+(2y)2)]=(3-2y)(9+6y+4y2)注运用公式法分解因式时，先观察多项式的特征，主要看它的项数、次数，然后尝试选择何种公式进行分解，并记住公式的结构特点和应用条件，不要把因式中的符号和系数搞错了2.3分组分解法能分组分解的多项式有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法.第7页共22页例8把多项式ax+ay+bx+by分解因式分析通过观察、分析，发现此题应用二二分法：把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配.解ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)同样，这道题也可以这样做.ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)例9把多项式x²-x-y²-y分解因式分析利用二二分法，再利用公式法a²-b²=(a+b)(a-b)，然后相合解决.解x²-x-y²-y=(x²-y²)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1)例10把45am2-20ax2+20axy-5ay2分解因式.分析这个多项式的各项有公因式5a,先提取公因式,再观察余下的因式,可以按“一、三”分组原则进行分组，然后运用公式法分解因式.解45am2-20ax2+20axy-5ay2=5a(9a2-4x2+4xy-y2)=5a[9a2-(4x2-4xy+y2)]=5a[(3a)2-(2x-y)2]=5a(3a-2x+y)(3a+2x-y).2.4十字相乘法第8页共22页十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数.一般地，对于二次三项式ax+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1×a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1×c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：a1c1╳a2c2按斜线交叉相乘，再相加，得到a1×c2+a2×c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1×c2+a2×c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.但十字相乘法只能把某些二次三项式分解因式，而在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程.当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号.例11把多项式x2+2x-15分解因式分析通过观察，此题采用十字相乘法就可以了.解1-3╳151×5+1×(-3)=2所以x+2x-15=(x-3)(x+5).例12把2x²-7x+3分解因式.分析先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.第9页共22页分解二次项系数(只取正因数因为取负因数的结果与正因数结果相同！2=1×2=2×1；分解常数项：3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况：11╳231×3+2×1=513╳211×1+2×3=71-1╳2-31×(-3)+2×(-1)=-51-3╳2-11×(-1)+2×(-3)=-7经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.解2x²-7x+3=(x-3)(2x-1)例13把多项式(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.分析这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解，但用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?通过观察发现第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字相第10页共22页乘法分解因