2020成人高考专升本数学复习(高数一)复习题及答案

第1页2020年成人高考专升本高等数学一复习试卷构成分析一、题型分布：试卷分选择、填空、解答三部分，分别占40分、40分、70分二、内容分布年份极限函数求导微分积分空间几何多元函数无穷级数常微分方程2019243238430418201824384442241420172838368228102016243638430414201520364003281420142444288221014难点：隐函数求导、全微分、多元函数极值、常微分方程复习方法：1、结合自身情况定目标2、分章节重点突破，多做题，做真题第2页第一部分极限与连续题型一：求极限方法一：直接代入法（代入后分母不为0都可以用）练习：1.2limxxxsin12＝_______2.xxxsinlim1＝______方法二：约去为零公因子法练习1.12lim221xxxx＝______练习2、lim𝑥→1𝑥4−1𝑥3−1=练习3.lim𝑥→1√5𝑥−4−√𝑥𝑥−1=方法三：分子分母同时除以最高次项（）练习1.xlim1132xx＝_______2.112lim55xxxx＝______练习3.lim𝑥→+∞(√𝑥2+2𝑥−√𝑥2−1)方法四：等价代换法（x→0时，sinx~xtanx~xarcsinx~xarctanx~xln(1+x)~x1−cos𝑥~12𝑥2）（等价代换只能用于乘除，不能用于加减）练习1.1limx1)1sin(2xx＝练习2.0limxxxxsincos1＝_______3.1)1arcsin(lim31xxx＝______方法五：洛必达法则（分子分母求导）第3页（）型或（00）型或其他变形形式练习1.xlim353xx＝_______2.112lim22nnnn＝______练习：3.1limx1lnxeexx＝_______4.12lim221xxxx＝______两个重要极限（背2个重要极限）练习1.1limx22)22sin(xx＝______2.xxx42sinlim0＝______练习3.0limxxx4sin2sin＝___4.xxx2tanlim0＝______(练习1-4也可以用等价无穷小法)练习5.xlimxx2)11(＝______6.xlimxx)211(＝______练习7.xlimxx)231(＝______8.xlimxx3)211(＝______练习9.0limxxx1)21(＝______10.0limxxx21)1(＝______无穷小量乘以有界函数＝无穷小量练习1.0limxxsinx1=________2.xlimx1sinx=________(什么是无穷小量？高阶无穷小，低阶无穷小，等阶无穷小，等价无穷小？)第4页题型二：连续性问题（可导/有极限）练习1.函数1,1,1ln)(2xxaxxxxf在x=1处连续，则a=______练习2.函数0,0,)1()(1xxaxxxfx在x=0处有极限，则a=______练习3.函数2,2,1)(2xxbxaxxf在x=2处可导，则a=______，b=______左极限＝右极限＝f(x0)在x0处连续左极限＝右极限在x0处有极限左导数＝右导数在x0处可导第5页第二部分一元函数微分学题型一：求导（背导数公式、导数的四则运算，复合函数求导公式）(y’=f’(x)=dxdy这三种是一个意思,如果求微分dy，就是dy=y’dx)练习1.f(x)=sinx+2cosx,则f’(2)=______练习2.y=xlnx,则dy=______练习3.y=xxcos12,则dxdy=______练习4.y=x4cosx+x1+ex,则y’=______练习5.y=cos4x,则y’=___6.y=sin（x3+1）,则dy=______练习7.y=xx2,则y’=______8.y=)ln(xx,则dy=______题型三中，一定要注意运算率(kv)’=______(uv)’=______)'(vu=_____f(g)’=_____一定要背好导数公式，在考试中占40分左右题型二：高阶导数与隐函数的求导练习1.y=x3+lnx,则y”=______2.y=cos2x,则y(4)=______练习3.y=ln（2x+1）,则y”=______4.y=xe2x,则y”(1)=______练习5.2x3+xy++y+y2=0,则dxdy=______6.ex+y=sinxy,则dxdy=______题型三.在某点处的切线或法线（斜率或方程）练习1.曲线y=2x3在点（1，2）处的切线的斜率为_______,切线方程为___________练习2.曲线y=sin(x+1)在x=-1处的切线方程为___________练习3.若y=ax2+2x在x=1处的切线与y=4x+3平行，则a=________练习4.双曲线y=1𝑥在点（12,2）处的法线方程为题型四：求驻点、极值点（极值）、拐点、单调区间、凹凸区间第6页1.求驻点、拐点、极值点练习1.曲线y=x3－3x的驻点为___________极值点为__________拐点为_______2.求单调区间与极值（大题）练习2.求1431)(3xxxf的单调区间、极值、凹凸区间和拐点（答案见11年高考）练习3.若f(x)=ax3+bx2+x在x=1处取得极大值5，求a,b第7页第三部分一元函数积分学题型一：求不定积分基础计算（背好公式：原函数、不定积分的性质、基本积分公式）练习1：f(x)=3e2x则dxxf)('＝______练习2：f(x)的一个原函数是x3，则f’(x)=___练习3：x2是f(x)的一个原函数，则f(x)=_____练习4：）21(dxdxdx=__练习5：dxxx)(＝______练习6：dxx)1(2＝______练习7：dxexxxx)11cos2(＝______题型二：凑微分法求积分练习1：2xxedx=___练习2：12xedx=___练习3：x321dx=__练习4：22xxdx=__练习5：)2cos(2xxdx=___练习6：xxlndx=___练习7：xx)sin(lndx=___练习8：12xxdx=___题型三：分部积分法求积分公式：______________________练习1：xlndx=___练习2：xxlndx=___练习3：xex2dx=___练习4：xxsindx=___练习5：xxsin2dx=___题型四：求定积分基础计算练习1：22sinxdx=___练习2：1021(）xdx=___第8页练习3：1021(dxd）xdx=___练习4：edxx11=___练习5：＝则202f(x)dy,21,210,)(xxxxxf_________练习6：exx1lndx=___题型五：广义积分练习1：12xedx=___练习2：0211xdx=___题型六：平面图形的面积与旋转体的体积（有可能大题）练习1.设D为曲线y=1-x2，直线y=x+1及x轴所围成的平面区域，如图（1）求平面图形的面积（2）求平面图形D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积Vx还有一道2013年26题见课本第9页第四部分空间解析几何题型一：求直线方程或法向量练习1、一平面过点（1,-1,0）且与向量{2,1,3}垂直，则该平面方程应为=练习2、一平面过点（1,0,2）且与平面2x−y+4z−1=0平行，则该平面方程为练习3、已知两平面π1:𝑘𝑥−2𝑦+3𝑧−2=0与平面：π2:3𝑥−2𝑦−𝑧+5=0垂直；则k=练习4、过两点A（1,2,1）,B（-1,3,0）的直线方程为练习5、直线𝑥−13=𝑦+1−1=𝑧−21与平面x+2y-z+3=0位置关系是（）A、直线垂直于平面B、直线平行于平面，但不在平面上C、直线与平面斜交D、直线在平面内题型二：二次曲面练习1、试确定球面x2+𝑦2+𝑧2−2𝑥+2𝑦+4𝑧+2=0的球心与半径。练习2、指出下列方程字空间直角坐标系中所表示曲面的名称（）（1）x2+𝑦2=1（2）2x2+𝑦2−𝑧2=0（3）2x2+𝑦2=z（4）z=𝑦2（5）x24+𝑦21+𝑧29=1（6）（x−1）2+（𝑦+1）2+𝑧2=1练习3、在空间直角坐标系中，方程x2−4(y−1)2=0表示（）A、两个平面B、双曲柱面C、椭圆柱面D、圆柱面练习4、方程2z=x2+𝑦2表示的二次曲面是（）A、椭球面B、柱面C、圆锥面D、抛物面第10页第五部分多元函数微分学题型一：偏导数练习1z=x3+x2y+3y4,yz___________xz____________22xz___________yxz2___________22yz_________练习2z=ln(2x+3y)+tan(xy),)2,1(xz____________题型二：全微分练习3z=x2ey+3,dz=____________题型三：隐函数练习1（一元）1=x3+x2y+3y4,dxdy=____________练习2（二元）0=x3+y3-ez+z2+z,xz=____________题型四：二元函数（有条件，无条件）极值练习1求二元函数f(x,y)=x2+y2+2y的极值（2012年）练习2求二元函数f(x,y)=x2+y2在条件2x+3y=1的极值（2013年）第11页题型五：二重积分及应用练习1、设D为圆环域{(x,y)|1≤x2+𝑦2≤9}则∬1𝑑𝜎.𝐷=练习2、设积分区域D是由曲线y=0，y=√2−x2围成的平面区域，则∬2𝑑𝜎𝐷=练习3、∬√9−x2−𝑦2x2+𝑦2≤9𝑑𝜎=练习4、∬√1−x2−𝑦2x2+𝑦2≤1𝑑𝜎=练习5、∫dx∫𝑥2sin𝑦𝑑𝑦1−110=（矩形区域）练习6、计算下列二重积分（直角坐标系）（1）∬（x2+𝑦）dx𝑑𝑦𝐷，D由y=x2与y2=𝑥围成（2）∬𝑦𝑥dx𝑑𝑦𝐷，D由y=x，y=2𝑥，x=2与x=4围成练习6、计算下列二重积分（极坐标）（1）∬（1−x2−y2）dx𝑑𝑦𝐷，D是由y=x，y=0，x2+𝑦2=1在第一象限内所围成的区域。（2）∬acrtan𝑦𝑥dx𝑑𝑦𝐷，D={(x,y)|1≤x2+𝑦2≤4，x≥0，y≥0}第12页第六部分无穷级数题型一：判断收敛性、绝对收敛、条件收敛练习1、在条件（）时，级数∑𝑢𝑛∞𝑛=1收敛。A、lim𝑛→∞𝑢𝑛=0B、{𝑢𝑛}收敛C、{𝑆𝑛}收敛D、{𝑆𝑛}单调练习2、若级数∑𝑢𝑛∞𝑛=1收敛，下列级数收敛的是（）A、∑(𝑢𝑛+2∞𝑛=1)B、∑(𝑢𝑛∞𝑛=1−1)C、∑𝑢𝑛+2∞𝑛=1D、∑1𝑢𝑛∞𝑛=1练习3、判定下列级数的敛散性（1）∑𝑛2+𝑛2∞𝑛=1（2）∑1√𝑛4+1∞𝑛=1（3）∑3𝑛𝑛!∞𝑛=1练习4、下列级数中为条件收敛的是（）A、∑(−1)𝑛𝑛𝑛+1∞𝑛=1B、∑(−1)𝑛√𝑛∞𝑛=1C、∑(−1)𝑛1√𝑛∞𝑛=1D、∑(−1)𝑛1𝑛2∞𝑛=1练习5、当满足条件（）时，∑(−1)𝑛−1𝑢𝑛∞𝑛=1（𝑢𝑛0）收敛A、𝑢𝑛+1𝑢𝑛（n=1,2,3……）B、limn→∞𝑢𝑛=0C、𝑢𝑛+1≤𝑢𝑛(n=1,2,3……)，limn→∞𝑢𝑛=0D、limn→∞𝑢𝑛𝑢𝑛+11练习6、判定级数∑cos𝑛𝜋𝑛∞𝑛=1的敛散性第13页题型二：幂级数的收敛半径、收敛区间练习1、求∑(−1)𝑛3𝑛−