高等数学笔记系统

12暨珠国商金工@雅豪Copyright©2014FuYaHao.Allrightsreserved第1页共27页前言笔记规则==——表示定义——收敛——发散所感所悟平时要适当练习，不然复习周鸭梨很大！平时的练习注意应写在一个本子上比较方便管理。如果老师作业多则写在纸上用活页文件夹装订。考试技巧考试做完题最重要的是...再把题读一遍，确保没有读错题的。（读题时用气声，不要陷入惯性思维不能发现错误！）第一章函数与极限初等函数==由五类基本初等函数经过有限次加减乘除及复合运算并能用一个式子表达的函数。定理（个人成果）设()fx、()gx是初等函数，则在()fx、()gx的公共定义域内，0000(),1()[()()(()())](),2fxxxxxhxfxgxfxgxgxxxxx也是初等函数。其中00xxxx称为定界系数。注意：显然该函数存在断点！最值函数==1Max(A,B)=(AB)21Min(A,B)=(AB)2ABAB三角函数定理22cos2222sin22tansec1sincos1cotcsc1xxxxxxxx指数函数极限原则()()()()gxbfxafxagxb12暨珠国商金工@雅豪Copyright©2014FuYaHao.Allrightsreserved第2页共27页隐蔽的函数关系1222211In(1)In(1)xxxxxxxx第二章导数与微分第三章微分中值定理与导数应用第四章不定积分三角函数微积分性质[arc]dxarcdxsinxcosx211xcosx过于复杂，不必背诵。一般采用分步积分法。cosxsinx211xsinxtanx2secx211xIncosxcscxcsccotxx？？？Incsccotxxsecxsectanxx？？？Insec+tanxxcotx2cscx211xInsinx记忆法则：s、t开头求导皆为正，积分皆为负；c开头反之。In同求导算。第五章定积分三角积分说明：nmZ、三角积分1原理：循环区间内积分为0cosdsind0nxxnxx三角积分2原理：奇偶函数之积cossind0mxnxx三角积分3原理：积化和差后，利用三角积分1证明：0,cosscosdsinssind,mnmxnxxmxnxxmn三角积分4原理：与三角积分3相似，积化和差后，利用三角积分1证明：000,cosscosdsinssind,mnmxnxxmxnxxmn三角积分5原理：利用分部积分法求出递推关系2200cosdsind0nInxxnxx12暨珠国商金工@雅豪Copyright©2014FuYaHao.Allrightsreserved第3页共27页21nnnIIn0134212531331n24222nnnnnInnInn（n为奇数）（为偶数）,第六章定积分的应用极坐标扇形面积21[()]d2A旋转体体积2[()]dbaVfx曲线弧长类型公式记忆图形参数方程22s=()()dbattt’’直角坐标2s=1dbayt1’极坐标22s=()()d’第七章微分方程微分方程基本概念微分方程==未知函数及其导数的关系式。微分方程的阶==微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。微分方程的解==能使微分方程恒成立的函数。微分方程的通解==含有与微分方程阶数相同个数的任意常数的解。微分方程的特解==确定了通解中的常数后的解。可分离变量微分方程可分离变量的微分方程==形式：gxdyfxdx（隐式）通解==GxFxc12暨珠国商金工@雅豪Copyright©2014FuYaHao.Allrightsreserved第4页共27页解法分离函数变量→两端积分→（解出y）齐次方程齐次方程==能化成()dyydxx的微分方程。解法()()()()dydyyuxuxdxdxdyydududxdudxuxudxxdxuuxuux代入yux即可。一阶线性微分方程一阶非齐次线性方程==形式：()()dyPxyQxdx若()0Qx则为一阶齐次线性方程。解法一阶齐次线性方程分离变量：()dyPxdxy两端积分：1In()dyPxxC化简：1()de(e)PxxcyCc一阶非齐次线性方程常数变易法：()d()de(()ed)PxxPxxyQxxC注意第一个指数积分有负号！12暨珠国商金工@雅豪Copyright©2014FuYaHao.Allrightsreserved第5页共27页可降价的高阶微分方程高阶微分方程==二阶及以上的微分方程。解法()()nyfx型连续积分n次即可。(,)yfxy型将y看作y，遂降级为一阶微分方程。(,)yfyy型将y看作自变量，y为因变量，ddyyyy为一阶导数与因变量之积，化为一阶微分方程。求出y、y的关系后，再将y作因变量求解。高阶线性微分方程二阶齐次线性方程==形式：()()0yPxyQxy定理齐次、非齐次解的关系齐通=1C奇特+2C奇特（两个奇特须线性无关）非齐通=齐通+非齐特→齐通=非齐通-非齐特非奇特=奇特+非齐特→奇特=非齐特-非齐特应用由3个线性无关的非齐特可求出非齐通：1132233(()(y))yCyyCyy非齐特奇特奇特齐通非齐通12暨珠国商金工@雅豪Copyright©2014FuYaHao.Allrightsreserved第6页共27页线性组合定理如果函数1()yx与2()yx是二阶齐次线性微分方程的解，那么1122()()yCyxCyx也是该方程的解。（其中1C、2C为任意常数）即，n阶齐次方程只须获得n个特解（线性无关）即可求出其通解。和函数定理若非齐次线性方程右端()fx为两函数之和，即12()()()()yPxyQxyfxfx而*1()yx、*2()yx分别为方程1()()()yPxyQxyfx与2()()()yPxyQxyfx的特解，那么**12()()yxyx是原方程的特解。常系数齐次微分方程二阶常系数齐次线性微分方程==0ypyqy解法解的形式：erxy代入得：2()e0rxrprq第一步特征方程：20rprq第二步求解特征方程第三步1r、2r是两个不相等实根：1212eerxrxyCC12暨珠国商金工@雅豪Copyright©2014FuYaHao.Allrightsreserved第7页共27页1r、2r是两个相等实根：112()erxyCCx1r、2r是两个共轭复根：12e(cos()sin())xyCxCx常系数非齐次微分方程二阶常系数非齐次微分方程==()ypyyfx求解方法：求出齐次方程的通解即非齐次方程的特解即可求特解方法()e()xmfxPx型*()ekxmyxQx令=0k，将*y代入微分方程，使其左端与右端同次数系数相同，解出解的所有常系数。其中按照是否为特征根方程的解决定k值：20py时：k=02=0py、2+0p时：k=12=0py、2+=0p时：k=2()e[()cos()sin]xlnfxPxxPxx型*e[()cos()sin]kxlnyxRxxRxx令=0k，将*y代入微分方程，使其左端与右端同次数系数相同，解出解的所有常系数。根据+i不是、是特征方程的单根依次取0、1第八章空间几何向量及其线性运算向量概念==有方向、有大小的量单位向量==模=1的向量零向量==模=0的向量向量a、b夹角记作：()a,b向量平行==向量共线定理：0ab//a存在唯一实数，使=ba四象、八卦12暨珠国商金工@雅豪Copyright©2014FuYaHao.Allrightsreserved第8页共27页方向角与方向余弦方向角==非零向量r与3条坐标轴夹角、、称为向量r的方向角。方向余弦==方向角的余弦222222222(cos,coscos)(,,)xyzxyzxyzxyz,222coscoscos1+向量的投影向量在平面的投影==是其投影向量的模长（是一个数而非向量！）r在平面u上的投影记作Prjur或()urr性质1：()=cosurrr性质2：()()()uuuabab性质3：()()uuaa数量积、向量积、混合积数量积（点积、内积）满足交换律、分配率、数与向量的结合律向量积（叉积、外积）sinabab，结果为向量，方向垂直于原向量所在平面，与原向量按顺序满足右手规则。abxyzxyzijk=aaabbb满足变号交换律、分配率、数与向量的结合律12暨珠国商金工@雅豪Copyright©2014FuYaHao.Allrightsreserved第9页共27页混合积[]()xyzxyzxyzaaaabcabc=bbbccc表示平行六面体体积，可以用于判定3向量或4点共面。曲面及其方程旋转曲面旋转曲面==一条平面曲线绕该平面上的一条特定直线旋转一周所形成的曲面。旋转轴==以上特定直线。柱面柱面==平行直线l沿特定轨迹C移动所形成的轨迹。准线==以上C。母线==以上l。二次曲面二次曲面==曲面方程为三元二次方程。球面222000()()()0xxyyzz椭球面2222221xyzabc旋转单叶双曲面2222221xyzabc旋转双叶双曲面2222221xyzabc椭圆锥面22222xyzab椭圆抛物面2222xyzab双曲抛物面2222xyzab12暨珠国商金工@雅豪Copyright©2014FuYaHao.Allrightsreserved第10页共27页经验z正为球面，否则有常数y正为单叶，y负为双叶；无常数有二次项为圆锥，有一次项为抛物面，y正为椭圆，y负为双曲。空间曲线及其方程空间曲线一般方程(,,)0(,,)0FxyzGxyz空间曲线参数方程()()()xxtyytzzt螺线cossinxatybtzvt空间曲线在坐标面上的投影以在z轴投影为例，将曲线方程消去变量z后与z=0联立即可。平面与直线方程说明(,,)mnps为直线l的方向向量。形式方程备注空间一般式0AxByCzD点法式000()()()0AxxByyCzz12暨珠国商金工@雅豪Copyright©2014FuYaHao.Allrightsreserved第11页共27页平面三点式1112121213131310xxyyzzxxyyzzxxyyzz截距式1xyzabc点线式12000(,,z)(,,)0(,,)fxyfxyzxyz上式为过直线平面束，下式为过定点，代入求出即得平面。空间直线一般式1111222200AxByCzDAxByCzD对称式000xxyyzztmnpm、n、p可以为0，，无数学分母意义。x、y、z系数必为1！两点式111212121xxyyzzxxyyzz参数式000xxmtyyntzzpt当s为方向向量时，t为点到000(,,)xyz的距离。夹角定理cos(,)ababab应用：二面角（余弦）、线面角（正弦）、线线角（余弦）影长定理1MMsdsd表示1MM在直s上的投影。应用平行面距离、异面直线距离。射长定理[FYH]1M