差分方程讲解--老师

差分方程从数列谈起§1数列的差分§2一阶线性差分方程§3一阶线性差分方程组一.数列的概念二.数列差分的概念三.差分表的性质§1数列的差分一.数列的概念一个数列就是实数的任何(有限或无限的)有序集.这些数称为数列的项或元素.用an来表示数列的第n项,称之为数列的通项.§1数列的差分定义1.1一个数列是一个函数,其定义域为全体正整数(有时,为方便计,是全体非负整数集合),其值域包含在全体实数集中.数列的表示:1.列举法:§1数列的差分{2,4,6,8,10,}A1234,,,,2345C数列的表示:2.通项法:§1数列的差分2,nAan.1nnCcn数列的表示:§1数列的差分3.图象法:序列的项通过标出点(n,an)图示.直观,具有可视化的效果.4.描述法:数列的一些例子1.假如你开了一个10000元的银行帐户,银行每月付给2%的利息.假如你既不加进存款也不取钱,那么每个月后的存款余额就构成一个数列.§1数列的差分§1数列的差分2.兔子出生以后两个月就能生小兔,若每次不多不少恰好生一对(一雌一雄).假如养了初生的小兔一对,则每个月小兔的对数也构成一个数列(假设生下的小兔都不死)斐波那契(Fibonacci意大利约1170-1250本名Leonardo)1,1,2,3,5,8,13,21,34,…二.数列差分的概念数列相邻项的差,称为数列的差分.§1数列的差分定义1.2对任何数列A{a1,a2,},其差分算子(读作delta)定义如下:a1a2a1,a2a3a2,a3a4a3,,一般地,对任何n有anan1an,应用这个算子,从原来的数列A构成一个新的数列A,从数列A可得到数列2A{2an},这里2an(an)an1anan2an1an1anan22an1an,称之为数列A的二阶差分,二阶差分2an的差分3an称为三阶差分,二阶及二阶以上的差分称为高阶差分,而称an为一阶差分.§1数列的差分差分的物理和几何意义:在物理方面,一阶差分表示物体运动的平均速度,二阶差分表示平均加速度.在几何方面,一阶差分表示数列图形中相邻两点连线的斜率.§1数列的差分例.外出汽车旅行,每小时记录下里程表的读数.设A{an}{22322,22352,22401,22456,22479,22511},A{an}{30,49,55,23,32},例.假设我们有数列{an}{3n5},并考虑由表给出的关于n1,2,3,的数列.我们按函数值列表,并考虑相邻项的差.§1数列的差分3333333-21471013161912345678nnana§1数列的差分定理1.1若c和b为常数且对所有n1,2,3,有ancnb,则:1.对所有n,数列{an}的差分为常数;2.当画an关于n的图形时,这些点都落在一条直线上.§1数列的差分定理1.2若anc,其中c是一个与n无关的常数,则有一个an的线性函数(即存在常数b使ancnb).§1数列的差分例.对二次多项式数列,当时造差分表.2{}{35}nann1,2,,6nn12345633591523024682222nana2na定理1.3若数列{an}由一个二次多项式定义,则该数列具有性质:其二阶差分为常数,2anc.§1数列的差分定理1.4若数列{an}具有性质:对一切n有2anc,c为一个常数,则该数列的项遵从二次变化模式,而且表达其通项的公式是一个二次多项式.注:一般地,由k次多项式定义的数列的k1阶差分为零,反之,若数列{an}的k1阶差分为零,则存在一个生成该数列的k次多项式.例考虑数列{an}{1,3,6,10,15,21,},则有{an}{2,3,4,5,6,}以及{2an}{1,1,1,1,1,}.令anAn2BnC,§1数列的差分12A12B0C2111(1)222nannnn例求数列{an}{n2}{12,22,32,42,52,62,}前n项和Sn,即n个正整数平方和.由于{Sn}{(n1)2}{22,32,42,52,},{2Sn}{2n3}{5,7,9,11,}以及{3Sn}{2,2,2,2,}令SnAn3Bn2CnD.§1数列的差分由S11,S25,S314,S430得ABCD1,8A4B2CD5(23A22B2CD5),27A9B3CD14(33A32B3CD14),64A16B4CD30(43A42B4CD30),§1数列的差分321111(1)(21).3266nSnnnnnn解关于A,B,C和D的方程组可得A1/3,B1/2,C1/6,D0,则三.差分表的性质和应用§1数列的差分定义1.3数列A{an}在第k项处是增的,若akak1(或用算子记号,ak0).数列A在第k项处是减的,若akak1(或ak0).数列A在第k项处达到相对极大,若akak1而akak1(或用算子记号,ak10而ak0).数列A在第k项处达到相对极小,若akak1而akak1(或ak10而ak0).§1数列的差分数列A在第k项处上凹,若akak1(或用二阶差分的算子记号,2ak10).数列A在第k项处下凹,若akak1(或2ak10).注意:在k1处的二阶差分决定了k项处的凹性.决定凹性的另一种看法是:当一阶差分增加时数列上凹,而当一阶差分减小时数列下凹.定义1.4数列A在第k项处有一个拐点,倘若2ak和2ak1有不同的正负号.§1数列的差分§1数列的差分例讨论数列{n24n3}的性质构造ann24n3的前7个数列值的差分表,并用该表确定数列在何处增加、减少,达到相对极大或极小,上凹、下凹以及是否有拐点.n101221123032435258726159724na2nana§1数列的差分一.差分方程的基本概念二.齐次线性差分方程的解析解§2一阶线性差分方程一.差分方程的基本概念§2一阶线性差分方程定义2.1差分方程是一种方程,该方程表明数列中的任意项如何用前一项或几项来计算.初始条件是该数列的第一项.出现在差分方程中的项的最大下标减去最小下标得到的数称为差分方程的阶.223,nnaan15,nnaa21346,nnnaaa21,nnaa21.nnnaaa§2一阶线性差分方程定义2.2如果差分方程中包含数列变量(即包含an)的项不包含数列变量的乘积,不包含数列变量的幂,也不包含数列变量的诸如指数,对数或三角函数在内的函数,那么我们称该差分方程是线性的.否则差分方程就是非线性的.注意这种限制只适用于包含数列变量的项,而不能用于不包含数列变量的其它项.223,nnaan15,nnaa21346,nnnaaa21,nnaa21.nnnaaa线性的非线性的§2一阶线性差分方程定义2.3线性差分方程称为齐次的,如果它只包含数列变量的项.如果略掉非齐次方程中不包含数列变量的项,就得到一个齐次方程,称之为与原方程相应的齐次方程.23,nnaa15,nnaa21340,nnnaaa齐次的223,nnaan21346,nnnaaa§2一阶线性差分方程对于差分方程的研究主要是差分方程的求解(当可以求解的时候)以及讨论解的性质.能够给出解析解的差分方程是为数很少的一部分,大多数差分方程是不能给出解析解的,此时,只能对其解的性质给出一定的讨论,讨论解的性质(解的变化趋势,是周期的还是非周期的或混沌的)有两种方法:一是数值计算方法,二是定性或定性定量结合的方法.§2一阶线性差分方程差分方程的解具有不同的形式:数值,图形,公式定义2.4数值解是从一个或多个初值出发迭代差分方程得到的一张数值表.§2一阶线性差分方程例如,在银行帐户上以7%的利息积累起来的钱数是由差分方程an1an0.07an来确定,其中an表示n个月后银行中的存款数.月本金利息nan0$1000.000$70.000011070.00074.900021144.90080.143031225.04385.753041310.79691.755751402.55298.178661500.730105.0510716.5.781112.405081718.186120.273091838.459128.6920101967.151137.7010§2一阶线性差分方程定义2.5差分方程的一个解析解是一个函数,当把它代入差分方程时就得到一个恒等式,而且还满足任何给定的初始条件.差分方程an1an0.07an若把函数ak(0.07)kc,其中c为任意常数,代入差分方程就得到一个恒等式:11(1.07)(1.07)0.07(1.07),kkkkaccc11(1.07)(1.07)kkcc§2一阶线性差分方程定义2.6差分方程的一个通解是一个函数,当代入特定值后就得到相应于不同初值的特解.ak(0.07)kc称为差分方程an1an0.07an的通解,因为代入c的特定值就给出与不同的初值a0相应的特解.§2一阶线性差分方程数值解与解析解的比较:在求银行模型的数值解时只需要一个差分方程和一个初值.这是数值解的一个强有力的性质—求数值解时无须要求差分方程具有特殊的性质.只要从一个或多个初值开始进行迭代计算就行了.另一方面,因为没有第k项的一个一般的公式,每一项必须从前一项或几项算得.从一个数值解来预测解的长期性态可能是困难的.§2一阶线性差分方程解析解给出了一个我们可以直接计算数列中任何特定项的函数.解析解的另一个优点是,当我们求得一个解析解时,通常也同时得到了通解.相比之下,用迭代计算求得的解只从属于某个初始条件.二.齐次线性差分方程的解析解§2一阶线性差分方程定理2.1一阶线性差分方程an1ranb的解为,1nnbacrranbnc,若r1.若r1.1市场经济中的蛛网模型2减肥计划——节食与运动3差分形式的阻滞增长模型4按年龄分组的种群增长差分方程模型1市场经济中的蛛网模型问题供大于求现象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定价格下降减少产量增加产量价格上涨供不应求描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡蛛网模型gx0y0P0fxy0xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格消费者的需求关系)(kkxfy生产者的供应关系减函数增函数供应函数需求函数f与g的交点P0(x0,y0)~平衡点一旦xk=x0，则yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0)(1kkyhx)(1kkxgyxy0fgy0x0P0设x1偏离x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y332211xyxyx0321PPPP00,yyxxkkP0是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点gfKKxy0y0x0P0fg)(kkxfy)(1kkyhx)(1kkxgy00,yyxxkkgfKK曲线斜率蛛网模型0321PPPP)(kkxfy)(1kkyhx在P0点附近用直线近似曲线)0()(00xxyykk)0()(001yyxxkk)(001xxxxkk)()(0101xxxxkk1P0稳定P0不稳定0xxkkxfKgK/1)/1()/1(1方程模型gfKKgfKK方程模型与蛛网模型的一致)(00xxyykk~商品数量减少1