拓扑学习题

一、选择题.1、在实数空间中，有理数集Q的内部oQ是（A）A、；B、Q；C、RQ；D、R.2、在实数空间中，有理数集Q的边界Q是（D）A、；B、Q；C、RQ；D、R.3、设X是一个拓扑空间，,AB是X的子集，则下列关系正确的是（A）A、()()()dABdAdB；B、ABAB；C、()()()dABdAdB；D、AA.4、设X是一个拓扑空间，,AB是X的子集，则下列关系错误的是（C）A、()()()dABdAdB；B、ABAB；C、()()()dABdAdB；D、AA.5、平庸空间的任一非空子集为（D）A、开集；B、闭集；C、既开又闭；D、非开非闭.6、离散空间的任一子集为（C）A、开集；B、闭集；C、既开又闭；D、非开非闭.7、设{1,2,3}X，{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}TX是X的拓扑，则X的子空间{1,3}A的拓扑为（B）A、{,{1},{3},{1,3}}T；B、{,,{1}}TA；C、{,,{1},{3},{1,3}}TX；D、{,,{1}}TX.8、设{1,2,3}X，{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}TX是X的拓扑，则X的子空间{2,3}A的拓扑为（B）A、{,{3},{2,3}}T；B、{,,{2},{3}}TA；C、{,,{2},{3},{2,3}}TX；D、{,,{3}}TX.9、设126XXXX…是拓扑空间126,,,XXX…的积空间，p是X到1X的投射，则p是（D）A、单射；B、连续的单射；C、满的连续闭映射；D、满的连续开映射.10、设R是实数空间，Z是整数集，则R的子空间Z的拓扑为（B）A、{,}TZ；B、TP()Z；C、TZ；D、{}TZ.11、有理数集Q是实数空间R的一个（A）A、不连通子集；B、连通子集；C、开集；D、以上都不对.12、整数集Z是实数空间R的一个（A）A、不连通子集；B、连通子集；C、开集；D、以上都不对.13、设12,XX是离散空间，则积空间12XX是（C）A、离散空间；B、不一定是离散空间；C、平庸空间；D、不连通空间.14、设12,XX是平庸空间，则积空间12XX是（C）A、离散空间；B、不一定是离散空间；C、平庸空间；D、不连通空间.15、实数空间R中的连通子集E为（D）A、开区间；B、闭区间；C、区间；D、以上都不对.16、实数空间R中的不少于两点连通子集E为（A）A、开区间；B、闭区间；C、区间；D、以上都不对.二、填空题.1、同胚的拓扑空间所共有的性质叫（拓扑不变性质）.2、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则()dA（X）,A（X）.3、{1,2,3}X的拓扑{,,{2},{2,3}}TX，则X的子集{1,2}A的内部为（{2}）.4、设{,,}Xabc，则X的平庸拓扑为（{,}TX）.5、:fXY是拓扑空间X到Y的一个映射，如果它是一个满射，并且Y的拓扑是对于映射f而言的商拓扑，则称f是一个（商映射）.6、设,XY是两个拓扑空间，:fXY是一个映射，若X中任何一个开集U的像集()fU是Y中的一个开集，则称映射f是一个（开映射）.7、若拓扑空间X存在两个非空的闭子集,AB使得,ABABX，则X是一个（不连通空间）.8、若任意n≥1个拓扑空间12,,,nXXX…都具有性质P，且积空间12nXXX…也具有性质P，则性质P称为（有限可积性质）.三、判断.1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射.（√）2、设12,TT是集合X的两个拓扑，则12TT不一定是X的拓扑.（×）3、设A为离散拓扑空间X的任意子集，则()dA.（√）4、若拓扑空间X中存在一个既开又闭的非空真子集，则X是一个不连通空间.（√）四、证明题.1、设,XY是两个拓扑空间，:fXY是一个映射，则以下条件等价：（1）f是一个连续映射；（2）Y中的任何一个闭集B的原像1()fB是一个闭集；（3）对于X中的任何一个子集A，()()fAfA；（4）对于Y中的任何一个子集B，11()()fBfB.2、设,XY是两个拓扑空间，:fXY，则映射f连续对于每一点xX，映射f在点x处连续.3、设A是一个由非空集合构成的族，并且A中的元素两两不相交，则存在集合C使得对每一个AA，CA是一个单点集.4、设:fXY是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射，则()fX是Y的一个连通子集.5、设Y是拓扑空间X的一个连通子集，证明：如果A和B是X的两个无交的闭集使得YAB，则或者YA，或者YB.6、设Y是拓扑空间X的一个连通子集，证明：如果,AB是X的两个无交的开集使得YAB，则或者YA，或者YB.7、设Y是拓扑空间X的一个连通子集，ZX满足YZY，则Z也是X的一个连通子集.8、设,XY是两个集合，又设:fXY是一个一一映射，则1f便是一个从Y到X的一一映射，且有1Xffi.