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数量关系常用公式总结：（可可整理）1.行程问题基础公式：路程=速度*时间一、相遇追及型追及问题：追及距离=（大速度-小速度）×追及时间相遇问题：相遇距离=（大速度+小速度）×相遇时间背离问题：背离距离=（大速度+小速度）×背离时间二、环形运动型反向运动：第N次相遇路程和为N个周长，环形周长=（大速度+小速度）×相遇时间同向运动：第N次相遇路程差为N个周长，环形周长=（大速度-小速度）×相遇时间三、流水行船型顺流路程=（船速+水速）×顺流时间逆流路程=（船速-水速）×逆流时间静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2四、扶梯上下型扶梯总长=人走的阶数×[1±（V梯÷V人）]，顺行用加法，逆行用减法解析:设扶梯为s级，速度为v，根据公式带入S=30×1×(1+v÷1)解得v=1S=20×2×(1+v÷2)s=60，所以选择B。五、队伍行进型队头→队尾：队伍长度=（人速+队伍速度）×时间队尾→队头：队伍长度=（人速-队伍速度）×时间解析：假设通讯员和队伍的速度分别为v和u，所求时间为t,则：600=（v-u）×3解得v=250600=v×(2+24÷60）u=50600=（v+u）×tt=2,所以选择D六、往返相遇型左右点出发：第N次迎面相遇，路程和=全程×（2N-1）第N次追上相遇，路程差=全程×（2N-1）同一点出发：第N次迎面相遇，路程和=全程×2N第N次追上相遇，路程差=全程×2N解析：a汽车第二次从甲地出发后与b汽车相遇，实际上是两辆车第3次迎面相遇，根据公式，路程和为5个全程，即5×210=1050（公里），使用的时间为1050÷（90+120）=5（小时），所以b汽车共行驶了120×5=600（公里），选择B七、典型行程模型等距离平均速度=（2速度1×速度2）÷（速度1+速度2）（调和平均数公式）（速度1和速度2分别代表往﹑返的速度）解析：代入公式v=2×60×120÷（60+120）=80等发车前后过车：发车间隔T=(2t1×t2)÷(t1+t2);V车/V人=(t2+t1)÷(t2-t1)例：某人沿电车线路匀速行走，每分钟有一辆电车从后面追上，每4分钟有一辆电车迎面开来，假设两个起点站的发车间隔相同，则这个发车间隔为多少？解析：依据公式，发车间隔T=(2t1×t2)÷(t1+t2)=2×12×4÷（12+4）=6（分钟）。推导原型：设每隔t1分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，每隔t2分钟就有辆公共汽车从后面超过该人，有方程组：S=（V车+V人）×t1→V车=(S/t1+S/t2)÷2→S=（V车-V人）×t2V人=(S/t1-S/t2)÷2T=S/V车=2t1t2/(t1+t2)N=V车/V人=（t2+t1）/（t2-t1）（S表示发车间距，T为发车间隔时间，V车为车速，V人为人速，N为车速与人速的比）不间歇多次相遇：单岸型：S=（3S1+S2）/2（S表示两岸的距离）推导原型：设第一次相遇地点距离A地S1，第二次相遇地点距离A地S2，则V甲/V乙=S1/(S-S1)=(2S-S2)/（S+S2）→S=（3S1+S2）/2（注：单岸指的是S1、S2都是距离同一出发地的距离）解析：假设AB两地相距S,第一次相遇时，甲、乙各走了80、(S-80),根据时间相同，速度和路程成正比可得，V甲/V乙=80/(S-80),第二次相遇时，甲、乙各走了(2S-60)、(S+60),同理可得，V甲/V乙=(2S-60)/(S+60)，综上80/(S-80)=(2S-60)/(S+60)，解得S=150。选择B注：直接代入单岸型公式S=（3×80+60）/2=150。两岸型：S=3S1-S2推导原型：设第一次相遇地点距离A地S1，第二次相遇地点距离B地S2，则V甲/V乙=S1/(S-S1)=(S+S2)/（2S-S2）→S=3S1-S2解析：假设AB两地相距S,第一次相遇时，甲、乙各走了6、(S-6),根据时间相同，速度和路程成正比可得，V甲/V乙=6/(S-6),第二次相遇时，甲、乙各走了(S+3)、(2S-3),同理可得，V甲/V乙=(S+3)/(2S-3)，综上6/(S-6)=(S+3)/(2S-3)，解得S=15。选择D注：直接代入两岸型公式S=3×6-3=15。无动力顺水漂流：漂流所需时间=2T逆T顺÷（T逆-T顺）（其中T逆T顺分别代表船逆流和顺流所需的时间）解析：根据公式：漂流所需时间=2T逆T顺÷（T逆-T顺）=2×7×5÷（7-5）=35（天），选择B2.排列组合问题排列：与顺序有关，用A组合：与顺序无关，用C排列公式：Anm=n﹗/(n-m)﹗=n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1)(简单记忆就是从n开始，连续乘以m个数)组合公式：Cnm=n﹗/(n-m)﹗m﹗=n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1)/m×(m-1)×(m-2)×(m-3)×…×1一、相邻问题-捆绑法6人排成一队，ab要排在一起：A22*A55（先排ab，再捆在一起与剩下的4人一起排队）二、不相邻-插空法6人排队，ab不排在一起：A44*A52（先排除了ab之外的4人，4人排好后有5个空位，再选择其中2个排ab两人）三、围成一圈6人围成一圈：A55（选定6人中其中一人标定位置，其余5人按顺序排队）四、几对夫妻排队4对夫妻排队：A88（相当于8人排队）五、夫妻要排一起4对夫妻排队，并且夫妻要排在一起：（A22*A22*A22*A22）*A44(先把每对夫妻排好，再将每队夫妻捆绑在一起排队)六、夫妻坐在一起圆桌吃饭4对夫妻坐在圆桌上吃饭，并且每队夫妻要坐在一起：（（A22*A22*A22*A22）*A33）七、错位排列型N个封信和N个信封，每一封信都不装在自己的信封里，可能的种数为Dn，则D1=0，D2=1，D3=2,D4=9,D5=44。八、分配插板○将8个苹果，分给3个小朋友，每人至少一个，共有多少种分法？答：C72。（8个苹果排成一排，除两头外共有7个空档，选择2个空档插入）○将8个苹果，分给3个小朋友，每人至少2个，共有多少种分法？答：C42。（8个苹果先给每个小朋友分1个，剩下5个苹果排队，除去两头外共有4个空档，选择2个空档插入）3.牛吃草问题核心公式：y=(N-x)*Ty代表草量，N代表牛的数量,x代表草长的速度，T代表吃完草需要的时间表格法解牛吃草问题例：一片草地（草匀速生长），240只羊可以吃6天，200只羊可以吃10天，则这片草可供190只羊吃多少天？1905012N3N3-xT320060102000N1N1-xT1N1*T124010061440N2N2-xT2N2*T21404560x=右两项之商T1-T2N1*T1-N2*T2y=（N3-x）*T3=（N1-x）*T1=（N2-x）*T2注：题目中有牛有羊时，可将其全部转换成牛或羊；如果草场面积有区别，如M头牛吃W亩草时，N可用M/W带入，N代表单位面积上的牛数。4.钟表问题基本常识：时针每分钟走0.5°，分钟每分钟走6°；24h内，时针和分钟重合22次，垂直44次；钟表上每两格之间为30°钟表问题追及公式：T=To+（1/11）To,其中T为追及时间，To为静态时间，及假设时针不动，分针和时针达到条件要求时的虚拟时间。例：时针和分针在7点多少分重合？假设时针不动，分钟需要走35分钟才能与时针重合（7点时分钟和时间间间隔35分钟的空格），所以To为35分钟，带入公式，T=35+35/115.余数同于问题核心口诀：余同取余，和同加和，差同减差，公倍数作周期。（1）余同：一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1，则取1，表示为60n+1。（60为4,5,6的最小公倍数，可取60的任意整倍数）（2）和同：一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1，则取7，表示为60n+7。（3）差同：一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3，则取3，表示为60n-3。注：n的取值范围为整数，可为负值，也可以取0。6.容斥原理两集合标准型核心公式：满足条件I的个数+满足条件II的个数-两者都满足的个数=总个数-两者都不满足的个数三集合标准型核心公式：︱A∪B∪C︱=︱A︱+︱B︱+︱C︱-︱A∩B︱-︱A∩C︱-︱B∩C︱+︱A∩B∩C︱三集合整体重复型核心公式：BW=x+y+zA+B+C=x×1+y×2+z×3AC其中满足三个条件的元素数量分别为A、B、C，而至少满足三个条件之一的元素总量为W，满足一个条件的元素数量为x，满足两个条件的元素数量为y，满足三个条件的元素数量为y。例：一个班级共有55个学生，暑假参加特长培训班，35人参加书法，28人参加美术，31人参加舞蹈，其中以上三种培训班都参加的有6人，则有多少人只参加一种培训班？22解答：W=55，z=6，A=35，B=28，C=31，代入公式55=x+y+6解得x=2235+28+31=x×1+y×2+6×3y=277.几何问题模块周长计算公式：正方形周长=4a；长方形周长=2(a+b)；圆周长=2πR；扇形周长=2πR×（n/360°）面积计算公式：正方形面积=a2；菱形面积=对角线乘积的一半；长方形面积=ab；圆面积=πR2；扇形面积=πR2×（n/360°）；三角形面积=1/2ah=1/2absinC；平行四边形=ah；梯形面积=1/2（a+b）h；正方体表面积=6a2；长方体表面积=2ab+2ac+2bc；球表面积=4πR2=πD2体积计算公式：正方体体积=a2；长方体体积=ab；球体积=3/4πR2；棱柱体积=sh；圆柱体积=sh=πR2h；棱锥体积=1/3sh；圆锥体积=1/3sh=1/3πR2h勾股定理：a2+b2=c2几何特性：①等比放缩一个几何图形，其尺寸变为原来的m倍，则：1.所有对应角度不发生改变2.所有对应长度变为原来的m倍3.所有对应面积变为原来的m2倍4.所有对应体积变为原来的m3倍②几何最值1.平面图形中，若周长一定，越接近于圆，面积越大。2.平面图形中，若面积一定，越接近于圆，周长越小。3.立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大。4.立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越小。③三角形三边关系两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。几何边端：①植树型1.单边线型植树公式：棵数=总长÷间隔+1；总长=（棵数-1）×间隔2.单边环形植树公式：棵数=总长÷间隔；总长=棵数×间隔3.单边楼间植树公式：棵数=总长÷间隔-1；总长=（棵数+1）×间隔4.双边植树问题公式：响应单边植树问题所需棵数的2倍②方阵型（N为每边人数）三角形方阵：总人数=3N-3四边形方阵：总人数=4N-4五边形方阵：总人数=5N-5六边形方阵：总人数=6N-6M排N列实心方阵：总人数=M×N，外围人数=2M+2N-4N排N列实心方阵：总人数=N×N，外围人数=4N-4规律总结：1.无论是方阵还是长方阵，相邻两圈的人数都满足：外圈比内圈多8人。2.在方阵中，总人数=N2=（外圈人数÷4+1）28.其他一些常用公式：1.前n个奇数之和为n2；2.等差数列公式：和=（首项+末项）×项数÷2=平均数（中位数）×项数；项数=（末项-首项）÷公差+13.等比数列公式：an=a1×qn-1；sn=a1×(qn-1/q-1)4.三位数的页码公式：页码=（数字+111）÷3-1=数字÷3+36（数字代表用了多少个数字，如115，用了2个1和1个5，共3个数字）5.四位数页码公式：页码=（数字+1111）÷4-16.如果所有的年不是闰年，那么N年之后星期几相当于N天之后星期几7.空瓶换酒型，讲M个空瓶换N瓶酒转化为(M-N)个空瓶换N个（无瓶）酒例：超市规定每3个空汽水瓶可换一瓶汽水，小李有11个空汽水瓶，最多可以换几瓶汽水？解析：3空瓶=1瓶汽水=1空瓶+1汽水，可得2空瓶=1汽水，11÷2=5.5，所以最多可换5瓶汽水。李委明老师懒人专供部分：1.ABCAC-相对效率问题例：小王和小刘一起手工制作一种工艺品，每个工艺品由甲部件和乙部件组成，小王每天可制作150个甲部件，或者制作75个乙部件，