立体几何求角、距离的解法

1立体几何求角、距离的解法考点一、空间中的夹角空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各种角的概念定义和取值范围，其范围依次为(0°，90°]、[0°，90°]和[0°，180°]。（1）两条异面直线所成的角求法：○1先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；○2通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是]2,0(，向量所成的角范围是],0[，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角（2）直线和平面所成的角求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。除特殊位置外，主要是指平面的斜线与平面所成的角，根据定义采用“射影转化法”（3）二面角的度量是通过其平面角来实现的解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手，所以作二面角的平面角就成为解题的关键。通常的作法有：（Ⅰ）定义法；（Ⅱ）利用三垂线定理或逆定理；（Ⅲ）自空间一点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法．此外，当作二面角的平面角有困难时，可用射影面积法解之，cos＝SS，其中S为斜面面积，S′为射影面积，为斜面与射影面所成的二面角例题1：已知边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O、O1是上下底面正方形的中心，求二面角O1-BC-O的大小。2：已知边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F为A1D1、C1D1的中点，求平面EFCA与底面ABCD所成的二面角。点评：利用平面角定义法求二面角大小，在棱上取一点常常是取特殊点，所作两垂线也是题中特殊位置的线段。3：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面ACD1与平面BDC1所成的二面角。解：设AC与BD交于E，CD1与C1D交于F，连EF是所求二面角B-EF-C的棱，连A1C，易证A1C⊥平面BDC1，垂足为H，取AD1中点O，连OC交EF于G，连GH。∵EF∥AD1，OC⊥AD1∴OC⊥EF即CG⊥EF。HOGFEADD1C1B1A1CBO1OEADD1C1B1A1CB2根据三垂线定理逆定理得GH⊥EF∴∠CGH是所求二面角的平面角。先求得:CG=21OC=46)22()2(2122CH=31A1C=33)2(13122∴sin∠CGH=3224633CGCH∴所求二面角θ=arctan322。点评：利用三垂线定理寻求作二面角的平面角要注意取点。4：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B-A1C-D的大小。点评：利用线面垂直法要根据条件寻作棱的特殊位置上的垂面，并找准面面交线所成的平面角。5：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，G、E、F是所在棱的中点，求平面EFG与平面ABCD所成的二面角。点评：平行移动法求二面角要注意所移动的平面是以图中特殊线来平行移动为宜。6：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，求平面AED1与平面ABCD所成二面角。点评：利用投影面积法求二面角的大小无须寻作二面角的平面角，解题方便。EGFO1OADD1C1B1A1CBEADD1C1B1A1CBHGFOEADD1C1B1A1CBHADD1C1B1A1CB3考点二、空间中的距离空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。求法：○1“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。○2等体积法。1、已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面边长都相等，1A在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与1CC所成的角的余弦值为C(A)34(B)54(C)74(D)343、如图，四棱锥ABCDS的底面是正方形，SA底面ABCD，E是SC上一点．（1）求证：平面EBD平面SAC；（2）设4SA，2AB，求点A到平面SBD的距离；点评：求点到面的距离，经常采用等体积法，利用同一个几何体，体积相等，体现了转化思想．4、正方体ABCD—A1B1C1D1，棱长为a，E，F分别为棱的中点，求点B到平面C1EAF的距离。（关键找出经过点B垂直平面AFC1E的平面，注意图形特征）EDCBAS4可证：（射影）平面平面1111,BCEFACEFEAFCABC作BHAC1交AC1于H，∴BH平面AFC1EBH为所求距离，a36或用体积法关键找出经过点B垂直平面AFC1E的平面，注意图形特征。解法在正方体AC1中，取AB的中点G连EG，BC1EF∵EF分别为A1B1，DC的中点∴AFGE为菱形∴BBEG1||FGAB∵B1B平面ABCD∴EG平面ABCD∴EFAB∵AFGE为菱形∴EFAC1又AC1∩AB=A∴EF平面ABC1∵EF平面AFC1E∴平面AFC1E平面ABC1交线为AC1作BHAC1垂足是为H∴BH平面AFC1E∴BH为点B到平面AFGE的距离Rt△ABC1中BH=aaaaACBCAB363211解法二等体积法：连FB作EGAB于G，设三棱锥BAEF的高为h∵正方体A1C∴面A1B面AC∴EF面ACVE-AFB=VB-AEF等积法：连FBC1B的距离为a32即点B到平面C1EAF∴h=a36h=a162∴a265=aa23261=hAGEF212131=361a=GFEFABx211