数学校本教材

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材第1页共35页前言数学是地球上最古老的科学之一，早在人类文化的启蒙时期，就已有了数学的萌芽。对于数学的博大精深，古往今来许多圣哲、贤人作过不少精彩的论述，著名数学家陈省身先生曾写道：“我们欣赏数学，我们需要数学。”虽然朴实无华,却十分耐人寻味。创新教学的先行者里斯特伯先生指出：“学生学习数学就是要解决生活问题，只有极少数人才能攻克艰深的高级数学问题，我们不能只为了培养尖端人才而忽略或者牺牲大多数学生的利益，所以数学首先应该是生活概念。”在生活中学数学，以学生生活中实实在在的鲜活材料来吸引学生对数学的兴趣就是我们编写校本教材的目的。在素质教育已成为全社会共识的今天，能不能转变教育教学观念，将直接关系到素质教育的成败。我们深切感受到，只有立足本校实际，以课改理念为先导，以创新实践为动力，深入挖掘校本课程资源，不断丰富校园文化，让学生体会到数学就在身边，感受到数学的趣味和价值，体验到数学的魅力，从而培养学生的数学应用能力。愿数学校本课程能成为你数学学习的开胃苹果，让你每天喜欢数学更多一点，并最终提升数学发展的持续动力。“问渠那得清如许，为有源头活水来”。数学校本课程就是你数学活力的不竭源泉。广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材第2页共35页目录1.1数与式的运算1.1.1绝对值第3页1.1.2.乘法公式第4页1.1.3．二次根式第5-6页1.1.４．分式第7-8页1．2分解因式第9-10页2.1一元二次方程2.1.1根的判别式第11-12页2.1.2根与系数的关系（韦达定理）第13-16页2．2二次函数2.2.1二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质第17-21页2.2.2二次函数的三种表示方式第22-24页2.2.3二次函数的简单应用第25-27页2.3方程与不等式2.3.1二元二次方程组解法第28-29页2.3.2一元二次不等式解法第30-34页广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材第3页共35页1.1数与式的运算1.１.1．绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.aaaaaa绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：ba表示在数轴上，数a和数b之间的距离．例1解不等式：13xx＞4．解法一：由01x，得1x；由30x，得3x；①若1x，不等式可变为(1)(3)4xx，即24x＞4，解得x＜0，又x＜1，∴x＜0；②若12x，不等式可变为(1)(3)4xx，即1＞4，∴不存在满足条件的x；③若3x，不等式可变为(1)(3)4xx，即24x＞4，解得x＞4．又x≥3，∴x＞4．综上所述，原不等式的解为x＜0，或x＞4．解法二：如图1．1－1，1x表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|．所以，不等式13xx＞4的几何意义即为|PA|＋|PB|＞4．由|AB|＝2，可知点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧．x＜0，或x＞413ABx04CDxP|x－1||x－3|图1．1－1广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材第4页共35页1.1.2.乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式22()()ababab；（2）完全平方公式222()2abaabb．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式2233()()abaabbab；（2）立方差公式2233()()abaabbab；（3）三数和平方公式2222()2()abcabcabbcac；（4）两数和立方公式33223()33abaababb；（5）两数差立方公式33223()33abaababb．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1计算：22(1)(1)(1)(1)xxxxxx．解法一：原式=2222(1)(1)xxx=242(1)(1)xxx=61x．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)xxxxxx=33(1)(1)xx=61x．例2已知4abc，4abbcac，求222abc的值．解：2222()2()8abcabcabbcac广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材第5页共35页1.1.3．二次根式一般地，形如(0)aa的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如232aabb，22ab等是无理式，而22212xx，222xxyy，2a等是有理式．1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如2与2，3a与a，36与36，2332与2332，等等．一般地，ax与x，axby与axby，axb与axb互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式(0,0)ababab；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2．二次根式2a的意义2aa,0,,0.aaaa例1将下列式子化为最简二次根式：（1）12b；（2）2(0)aba；（3）64(0)xyx．解：（1）1223bb；（2）2(0)abababa；（3）633422(0)xyxyxyx．例2计算：3(33)．解法一：3(33)＝333＝3(33)(33)(33)＝33393＝3(31)6＝312．广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材第6页共35页解法二：3(33)＝333＝33(31)＝131＝31(31)(31)＝312．例3试比较下列各组数的大小：（1）1211和1110；（2）264和226－.解：（1）∵1211(1211)(1211)11211112111211，1110(1110)(1110)11110111101110，又12111110，∴1211＜1110．（2）∵226(226)(226)2226,1226226－－+－++又4＞22，∴6＋4＞6＋22，∴264＜226－.例4化简：20042005(32)(32)．解：20042005(32)(32)＝20042004(32)(32)(32)＝2004(32)(32)(32)＝20041(32)＝32．例5化简：（1）945；（2）2212(01)xxx．解：（1）原式545422(5)22522(25)2552．（2）原式=21()xx1xx，∵01x，∴11xx，所以，原式＝1xx．例6已知3232,3232xy，求22353xxyy的值．解：∵223232(32)(32)103232xy，323213232xy，∴22223533()1131011289xxyyxyxy．广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材第7页共35页1.1.４．分式1．分式的意义形如AB的式子，若B中含有字母，且0B，则称AB为分式．当M≠0时，分式AB具有下列性质：AAMBBM；AAMBBM．上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式像abcd，2mnpmnp这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．例1若54(2)2xABxxxx，求常数,AB的值．解：∵(2)()2542(2)(2)(2)ABAxBxABxAxxxxxxxxx，∴5,24,ABA解得2,3AB．例2（1）试证：111(1)1nnnn（其中n是正整数）；（2）计算：1111223910；（3）证明：对任意大于1的正整数n，有11112334(1)2nn．（1）证明：∵11(1)11(1)(1)nnnnnnnn，∴111(1)1nnnn（其中n是正整数）成立．（2）解：由（1）可知111122391011111(1)()()2239101110＝910．广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材第8页共35页（3）证明：∵1112334(1)nn＝111111()()()23341nn＝1121n，又n≥2，且n是正整数，∴1n＋1一定为正数，∴1112334(1)nn＜12．例3设cea，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．解：在2c2－5ac＋2a2＝0两边同除以a2，得2e2－5e＋2＝0，∴(2e－1)(e－2)＝0，∴e＝12＜1，舍去；或e＝2．∴e＝2．广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材第9页共35页1．2分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1分解因式：（1）x2－3x＋2；（2）x2＋4x－12；（3）22()xabxyaby；（4）1xyxy．解：（1）如图1．2－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x用1来表示（如图1．2－2所示）．（2）由图1．2－3，得x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．（3）由图1．2－4，得22()xabxyaby＝()()xayxby（4）1xyxy＝xy＋(x－y)－1＝(x－1)(y+1)（如图1．2－5所示）．－1－2xx图1．2－1－1－211图1．2－2－2611图1．2－3－ay－byxx图1．2－4－11xy图1．2－5广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材第10页共35页2．提取公因式法与分组分解法例2分解因式：（1）32933xxx；（2）222456xxyyxy．解：（1）32933xxx=32(3)(39)xxx=2(3)3(3)xxx=2(3)(3)xx．或32933xxx＝32(331)8xxx＝3(1)8x＝33(1)2x＝22[(1)2][(1)(1)22]xxx＝2(3)(3)xx．（2）222456xxyyxy=222(4)56xyxyy=22(4)(2)(3)xyxyy=(22)(3)xyxy．或222456xxyyxy=22(2)(45)6xxyyxy=(2)()(45)6xyxyxy=(22)(3)xyxy．3．关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．若关于x的方程20(0)axbxca的两个实数根是1x、2x，则二次三项式