抛物线——简单几何性质

..抛物线的简单几何性质一、要点精讲抛物线的的简单几何性质二、课前热身1．抛物线xy102的焦点到准线的距离是（）(A)2.5(B)5(C)7.5(D)102．抛物线pxy220P上一点为0,6yQ，且Q点到抛物线焦点F的距离为10，则F到准线l的距离为(A)4(B)8(C)12(D)163.（15陕西）若抛物线22(0)ypxp的准线经过双曲线221xy的一个焦点，则p=．4、(2016新课标Ⅱ)设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=kx（k0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（A）12（B）1（C）32（D）2标准方程pxy220Ppxy220Ppyx220Ppyx220P图形性质范围0x，Ry0x，RyRx，0yRx，0y焦半径20pxPF20pxPF20pyPF20pyPF对称轴x轴y轴顶点0,0O离心率1e通径过焦点且与对称轴垂直的弦AB，pAB2..5．通过直线xy与圆0622xyx的交点，且对称轴是坐标轴的抛物线方程是.6．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，通径为线段AB，且4AOBS（O为坐标原点），求抛物线方程．三、典例精析类型一：求抛物线的方程1、求顶点在原点，以x轴为对称轴，且通径的长为8的抛物线的标准方程，并指出它的焦点坐标和准线方程．2.如图，过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为()A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝3x解：如图，分别过A，B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义知，|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，∴∠AFx＝60°.连接A1F，则△AA1F为等边三角形，过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，则|KF|＝|A1F1|＝12|AA1|＝12|AF|，即p＝32，∴抛物线方程为y2＝3x，故选C.3、已知圆0922xyx，与顶点在原点O，焦点在x轴上的抛物线交于A,B两点，△OAB的垂心恰为抛物线的焦点，求抛物线的方程．4、已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆422yx相交的公共弦长等于32，求这个抛物线的方程．..5、直线1l和2l相交于M，1l⊥2l，点N∈1l，以A,B为端点的曲线段C上任一点到2l的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形17AM，3AN，且6BN，建立适当坐标系，求曲线段C的方程．6、已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴正半轴上，设A,B是抛物线C上两个动点（AB不垂直于x轴），且8BFAF，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6,0)．求此抛物线的方程．类型二：抛物线的几何性质7．如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是()A.|BF|－1|AF|－1B.|BF|2－1|AF|2－1C.|BF|＋1|AF|＋1D.|BF|2＋1|AF|2＋1解析由题可知抛物线的准线方程为x＝－1.如图所示，过A作AA2⊥y轴于点A2，过B作BB2⊥y轴于点B2，则ACFBCFSS＝|BC||AC|＝|BB2||AA2|＝|BF|－1|AF|－1.8．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A．(0,2)B．[0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)解析设圆的半径为r，因为F(0,2)是圆心，抛物线C的准线方程为y＝－2，由圆与准线相交知4r，因为点M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，所以r＝|FM|＝y0＋24，所以y02.故选C.9.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面..积为()A.22B.2C.322D．22解析焦点F(1,0)，设A，B分别在第一、四象限，则点A到准线l：x＝－1的距离为3，得A的横坐标为2，纵坐标为22，AB的方程为y＝22(x－1)，与抛物线方程联立可得2x2－5x＋2＝0，所以B的横坐标为12，纵坐标为－2，S△AOB＝12×1×(22＋2)＝322.10．平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：12222byax(a0，b0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．解析由题意，双曲线的渐近线方程为y＝±bax，抛物线的焦点坐标为F2,0p.不妨设点A在第一象限，由y＝baxx2＝2py，解得x＝2pbay＝2pb2a2或x＝0y＝0，故A2pba，2pb2a2.所以kAF＝2pb2a2－p22pba＝4b2－a24ab.由已知F为△OAB的垂心，所以直线AF与另一条渐近线垂直，故kAF·ab＝－1，即4b2－a24ab×ab＝－1，整理得b2＝54a2，所以c2＝a2＋b2＝94a2，故c＝32a，即e＝ca＝32.11．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A的坐标为()A．(2,22)B．(2，－22)C．(2，±2)D．(2，±22)解析如图所示，由题意，可得|OF|＝1，由抛物线的定义，得|AF|＝|AM|，∵△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1，∴3sin21sin21MAFAFOFMAFAMAFSSAOFAMF，∴|AF|＝|AM|＝3，设A020,4yy，∴y204＋1＝3，解得y0＝±22.∴y204＝2，∴点A的坐标是(2，±22)．..类型二：与抛物线有关的最值问题12.已知点M(－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y2＝2x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小值是()A.72B．3C.52D．2解:抛物线准线方程为x＝－12，当MQ∥x轴时，|MQ|－|QF|取得最小值，此时|QM|－|QF|＝3－12＝52，选C.13．已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值是________．解析由题意知，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0,4)，半径为1，抛物线的焦点为F(1,0)．根据抛物线的定义，点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和即点P到点Q的距离与点P到抛物线焦点的距离之和，因此|PQ|＋|PF|≥|PC|＋|PF|－1≥|CF|－1＝17－1.14、若点P在xy2上，点Q在1322yx上，则PQ的最小值为（）(A)13(B)1210(C)2(D)1211点P到点Q的距离的最小值可用点P到圆心距离的最小值减去圆的半径来求15．已知圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0，抛物线y2＝8x的准线为l，设抛物线上任意一点P到直线l的距离为m，则m＋|PC|的最小值为________．解析由题意得圆C的方程为(x＋3)2＋(y＋4)2＝4，圆心C坐标为(－3，－4)．由抛物线定义知，当m＋|PC|最小时，为圆心与抛物线焦点间的距离，即(m＋|PC|)min＝－3－2＋－2＝41.16、在抛物线y2＝4x上求一点P，使点P到直线y=x+3的距离最小.该命题可转化为求一条平行于y=x+3的直线y=x+b与抛物线y2=4x相切，求出切点，此时点P到直线y=x+3的距离最短，联立方程24yxbyx得x2+（2b-4）x+b2=0，令△=0，即（2b-4）2-4b2=0，∴b=1，故x=1，y=2，P为（1，2）∴抛物线y2=4x上一点P（1，2），使得点P到直线y=x+3的距离最短．17、AB为抛物线2xy上的动弦，且aAB(a为常数且1a)，求弦AB的中点M离x轴的最近距离．..18、已知点P为抛物线xy22上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是4,27A，则PMPA的最小值是（）(A)211(B)4(C)29(D)519.已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为()A.522＋2B.522＋1C.522－2D.522－1解析因为抛物线的方程为y2＝4x，所以焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1，因为点P到y轴的距离为d1，所以到准线的距离为d1＋1，又d1＋1＝|PF|，所以d1＋d2＝d1＋1＋d2－1＝|PF|＋d2－1，焦点F到直线l的距离d＝|1－0＋4|2＝52＝522，而|PF|＋d2≥d＝522，所以d1＋d2＝|PF|＋d2－1≥522－1，选D.20.已知直线1:4360lxy和直线2:1lx，抛物线24yx上一动点P到直线1l和直线2l的距离之和的最小值是A.2B.3C.115D.3716解：如下图，由题意可知22|3106|234d21、（2016四川）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线22(p0)ypx上任意一点，M是线段PF上的点，且PM=2MF,则直线OM的斜率的最大值为（A）33（B）23（C）22（D）1法一：设22,2,,PptptMxy（不妨设0t），则22,2.2pFPptpt由已知得13FMFP，22,2362,3pppxtpty，22,332,3ppxtpty，2211212121222OMtkttt，max22OMk，故选C.法二：ypyP,22，则3,362yppyM，后面同法一考点四：定点问题..22.设抛物线过定点A(2,0)，且以直线x＝-2为准线．(1)求抛物线顶点的轨迹C的方程；(2)已知点B(0,-5)，轨迹C上是否存在满足0NBMB的M,N两点？证明你的结论．分析：先判断直线与椭圆相交时的斜率的取值范围23、如图，A、B是抛物线y2＝2px(p＞0)上的两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)．（1）求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；（2）求证：直线AB过定点．（3）求弦AB中点P的轨迹方程；解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点P(x0，y0)．(1)kOA＝y1x1，kOB＝y2x2.因为OA⊥OB，所以kOA·kOB＝－1，所以x1x2＋y1y2＝0.因为y21＝2px1，y22＝2px2，所以y212p·y222p＋y1y2＝0.因为y1≠0，y2≠0，所以y1y2＝－4p2，所以x1x2＝4p2.(2)证明：因为y22－y21＝(y2＋y1)(y2－y1)＝2p(x2－x1)，又x1≠x2，所以y2－y1x2－x1＝2py1＋y2.所以直线AB的方程为y－y1＝2py1＋y2(x－x1)＝2py1＋y2(x－y212p)，所以y＝2py1＋y2x－y21y1＋y2＋y1＝2py1＋y2x＋y1y2y1＋y2＝2py1＋y2x－4p2y1＋y2＝2py1＋y2(x－2p)．所以直线AB过定点(2p,0)．（3）设P(x，y)，则122xxx，122yyy。由y21＝2px1，y22＝2px2，得212121222yyyypxx以2222422yppx，即222ypxp24、已知(10)(10)ABP，,，,知是平面上