指数与对数的运算

—合肥分部至善教育祝您的孩子成人!成才!成功!网址：指数与对数的运算【课标要求】（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。（3）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；【命题走向】指数与对数的性质和运算，在历年的高考中一般不单独命题。大多以指数函数、对数函数等基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。【要点精讲】1、整数指数幂的概念。（1）概念：*)(Nnaaaaan)0(10aa*),0(1Nnaaannn个a(2)运算性质：)()(),()(),(ZnbaabZnmaaZnmaaannnmnnmnmnm两点解释：①nmaa可看作nmaa∴nmaa=nmaa=nma②nba)(可看作nnba∴nba)(=nnba=nnba2、根式：（1）定义：若),1(Nnnaxn则x叫做a的n次方根。（2）求法：当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数记作：nax当n为偶数时，正数的n次方根有两个（互为相反数）记作：nax负数没有偶次方根0的任何次方根为0名称：na叫做根式n叫做根指数a叫做被开方数（3）公式：aann)(；当n为奇数时aann；当n为偶数时)0()0(aaaaaann3、分数指数幂（1）有关规定：事实上，knnkaa)(若设a0,*),1(Nnnnmk，mnnmnkaaa)()(由n次根式定义,naamnm的是次方根，即：nmnmaa—合肥分部至善教育祝您的孩子成人!成才!成功!网址：（2）同样规定：)1*,,0(1nNnmaaanmnm且；0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。（3）指数幂的性质：整数指数幂的运算性质推广到有理指数幂。),0,0()(),,0()(),,0(QrbabaabQsraaaQsraaaarrrrssrsrsr（注）上述性质对r、sR均适用。4、对数的概念（1）定义：如果)1,0(aaa且的b次幂等于N，就是Nab，那么数b称以a为底N的对数，记作,logbNa其中a称对数的底，N称真数。①以10为底的对数称常用对数，N10log记作Nlg；②以无理数)71828.2(ee为底的对数称自然对数，Nelog，记作Nln；（2）基本性质：①真数N为正数（负数和零无对数）；2）01loga；③1logaa；4）对数恒等式：NaNalog。（3）运算性质：如果,0,0,0,0NMaa则①NMMNaaaloglog)(log；②NMNMaaalogloglog；③nMnMana(loglogR）。（4）换底公式：),0,1,0,0,0(logloglogNmmaaaNNmma两个非常有用的结论①1loglogabba；②bmnbanamloglog。【注】新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆指数方程和对数方程主要有以下几种类型：(1)af(x)=bf(x)=logab,logaf(x)=bf(x)=ab;（定义法）(2)af(x)=ag(x)f(x)=g(x),logaf(x)=logag(x)f(x)=g(x)0新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（转化法）(3)af(x)=bg(x)f(x)logma=g(x)logmb新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(取对数法)(4)logaf(x)=logbg(x)logaf(x)=logag(x)/logab(换底法)【典例解析】题型1：指数运算—合肥分部至善教育祝您的孩子成人!成才!成功!网址：．（1）计算：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(；（2）化简32233（3）化简：5332332323323134)2(248aaaaabaaabbbaa。（4）化简：33323323134)21(428aabbababaa例2．已知11223xx，求22332223xxxx的值。题型2：对数运算例3．计算（1）2(lg2)lg2lg50lg25；（2）3948(log2log2)(log3log3)；（3）1.0lg21036.0lg21600lg)2(lg8000lg5lg23。—合肥分部至善教育祝您的孩子成人!成才!成功!网址：．设a、b、c为正数，且满足222abc新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（1）求证：22log(1)log(1)1bcacab；（2）若4log(1)1bca，82log()3abc，求a、b、c的值。例5。（1）已知log189=a,18b=5,求log3645（用a,b表示）（2）设1643tzyx求证：yxz2111题型4：指数、对数方程例6：解方程（1）1123log2122xxx（2）0logloglog432x—合肥分部至善教育祝您的孩子成人!成才!成功!网址：．设关于x的方程bbxx(0241R），（1）若方程有实数解，求实数b的取值范围；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。.【巩固练习】1..若0logloglogloglogloglogloglog324243432zyx，则zyx的值为A．50B．58C．89D．111（）2.若273291xx，则x=；3.已知3234xxy的值域为[1，7]，则x的取值范围是（）A.［２，４］B.)0,(C.]4,2[)1,0(D.]2,1[)0,(4若,310,210yx则2310yx5.已知1249a(a0)，则23loga.6.（1）222lg5lg8lg5lg20(lg2)3；（2）24525log5+log0.2log2+log0.5.7.若lglg2lg2lglgxyxyxy，求xy的值．8.解下列指数方程：(1)12882x(2)2592162xx—合肥分部至善教育祝您的孩子成人!成才!成功!网址：(3)4828127xx(4)05052352xx9.解下列对数方程(1))6(log3)2(log)14(log222xxx(2)23log)(log923xx(3))12lg(21155lgxx(4)01)](log[loglog232x10.如果函数)1,0(122aaaayxx在区间[-1，1]上的最大值是14，求a的值。11.设3421lg)(axfxx若]1,(x时)(xf有意义，求实数a的范围。【思维总结】1．bNNaaNabnlog,,（其中1,0,0aaN）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较—合肥分部至善教育祝您的孩子成人!成才!成功!网址：方便，而对数式一般应化为同应化为同底；2．要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验；3．解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识；【课后作业】1.计算。1）121121；（2）6256252.化简下列各式（结果用有理数指数幂表示）：（1）aaa432；（2）)0(313373329aaaaa；3.化简下列各式（结果用有理数指数幂表示）：（1）)3()6)(2(656131212132bababa；（2）31343114132)()(zyxzyx4.已知71aa，求下列各式的值：（1）2121aa；（2）22aa；（3）33aa；—合肥分部至善教育祝您的孩子成人!成才!成功!网址：计算：（1）12lg)2(lg5lg2lg)2(lg222；（2）5log2333338log932log2log2；（3）40lg5lg250lg2lg226.（1）已知2log3a，53b，用ba,表示30log3；（2）设ba3lg,2lg，用ba,表示12log5；7.设1x，1y，且2log2log30xyyx，求224Txy的最小值。8.（1）已知3643yx，求xyyx2的值。—合肥分部至善教育祝您的孩子成人!成才!成功!网址：：指数运算例1．解：（1）原式=41322132)10000625(]102450)81000()949()278[(922)2917(21]1024251253794[；（2）原式=33)33(2)13(2)33(23242)33(22=6226)3612(2)33)(33()33(22（注意复习，根式开平方）（3）原式=51312121323131231313123133133131)()(2)2()2()(])2()[(aaaaababbaabaa23231616531313131312)2(aaaaaabaabaa。（4）原式＝ababaaabaabbaabaa8)8(242)8(3131313