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第一章建立数学模型一.数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学数学的特点:概念抽象、逻辑严密、结论明确、应用广泛。随着计算机的发展，数学的应用更广泛渗透到科学技术和现实生活的各个领域。恩格斯曾经对数学的评价是：“在刚体力学中是绝对的，在气体力学中是近似的，在液体力学中就已经比较困难了，在物理学中是试验性的和相对的，在化学中是最简单的一次方程式，在生物学中等于0”。二.数学模型模型：是人类用来认识、理解、表示、模拟现实世界中的事、物、现象的一种方法和手段。分为：具体模型、抽象模型。数学模型是抽象模型的一种。模型可以帮助我们认识事物，但它并非现实。数学模型：是运用数学的语言和工具（符号、公式、图表）等，对现实世界的某一信息（现象、数据、规律，….）加以翻译、抽象、归纳、简化的产物，用它可以研究信息的本质属性与内在规律，经过演绎、推断、计算，给出数学的分析、预报、决策或控制。数学模型主要有：解释、决策、预见三大功能。三.例例1.孟德尔遗传规律奥地利遗传学家孟德尔为研究物种的遗传基因的遗传规律，对碗豆的不同品种进行杂交实验，他选两种碗豆进行杂交，一种绿荚碗豆，另一种黄荚碗豆，杂交后的子代均为绿荚，这种绿荚比黄荚占优的性状，孟德尔称“显性”性状，黄色称“隐性”，问：“隐性”是否永远不出现？孟德尔将收获的杂交种子再种下去，产生第三代果实，结果发现绿荚和黄荚的比例是3：1，同时在八年的实验中，观察其它性状，也得到类似的比例，“3：1”这个比例载入了生物学史册。RRrrRrRRRrrRrr通过实验孟德尔推测，碗豆的每一遗传性状由二个“遗传因子”确定，一个显性R，一个隐性r，父本、母本将其中一个传给子一代，而子二代将产生分离，比例3：1。这一结论可由概率论的知识作出解释。两种植株杂交的子一代记为F1，F1产生的子二代记为F2，父本与母本分别独立以1/2的概率将R、r传给子代，A、B、C表示F2分别为RR、Rr、rr型D1、D2分别为父本传给F2为R、rRRrrE1、E2分别为母本传给F2为R、r∴P(A)=P(D1E1)=P(D1)P(E1)=1/4P(B)=P(D1E2)+P(D2E1)=1/2RrP(C)=P(D2E2)=1/4∵R是显性∴绿豆荚的概率为1/4+1/2=3/4黄豆荚的概率为1/4RRRrrRrr同理，可验证：“自由组合定律”例2放射性废物的处理美国原子能委员会将核废料装入密封圆桶中，扔到３００英尺（９１．４３７米）深的海里。这样做是否会造成核泄露，引起生态学家与社会各界的关注。原子能委员会保证桶非常坚固，不会破损。但一些科学家认为桶与海底相撞时可能破裂，双方争执不下。科学家进行了大量破坏性实验，发现圆桶在４０英尺／秒的冲击下会破裂。原子能委员会使用的是５５加仑（约２５０升）的圆桶，装满废料约重W=527.436磅（239kg），受到海水的浮力B=470.327磅，阻力D=cv。实验可得c=0.08由海平面向下建坐标系，由牛顿第二定律，秒英尺秒英尺用数值方法可解得秒英尺的解为满足/40/1.45)300(ln)/(86.713)(lim)1(0)0()(,222vWgyBWcvBWcBWcvdyWgcvBWvdvcvBWdydvmvvdydvdtdvtvecBWvvBWWgvWcgdtdvdtdyccvDgWmDBWdtydmttWcgoy秒英尺秒英尺用数值方法可解得秒英尺的解为满足/40/1.45)300(ln)/(86.713)(lim)1(0)0()(,222vWgyBWcvBWcBWcvdyWgcvBWvdvcvBWdydvmvvdydvdtdvtvecBWvvBWWgvWcgdtdvdtdyccvDgWmDBWdtydmttWcg科学家打赢了官司。现美国核能委员会禁止将核废料抛入海中。例3谷神星的发现1764年，瑞士人波奈特（哲学家）与德国人提丢斯得到了太阳到当时发现的六颗行星的距离公式（天文单位）,称为“提丢斯-波德”定则。n=-10，0，1，2，4，5分别对应水、金、地、火、土星。n=3？1801年1月1日夜，意大利人皮亚齐发现了一颗新天体，观察六星期后失踪。德国数学家高斯根据皮亚齐的观测资料与万有引力定律计算出新行星的轨道，在火、木星之间。1802年元旦，根据高斯的计算结果，找到了这颗星，被命名为谷神星（小行星）。后来海王星、冥王星的发现均是先推算它们的存在和位置，再找到的。)234(101nR四、数学模型的分类数学模型的分类没有统一的标准。按数学方法：初等模型、微分方程、优化、控制、统计等；按实际问题：人口、生态、交通、经济、物理、金融等；按变量的性质：确定性、随机性、连续性、离散；按系统的性质：微观、宏观、集中参数、分布参数、定常、时变；按建模方法：理论、经验；按了解：白箱、灰箱、黑箱。五、建立数学模型的一般步骤1.了解问题，明确目的(准备);2.对问题进行简化和假设;3.建立模型，数学公式、表格、图形、公式等；4.对模型进行分析、计算、检验、修正；5.模型的应用。六.数学建模的重要意义•电子计算机的出现及飞速发展；•数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。•在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；•在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；•数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。数学建模的具体应用•分析与设计•预报与决策•控制与优化•规划与管理数学建模计算机技术知识经济?如虎添翼七.怎样学习数学建模数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则想像力洞察力判断力•学习、分析、评价、改进别人作过的模型•亲自动手，认真作几个实际题目1．人人都能做到：哥伦布与鸡蛋２．分析思维与综合思维的对比：一杯咖啡与一杯牛奶３．对称性：登山问题４．滑雪场问题５．地铁悖论６．棋盘问题７．高速问题８．信息的充分性：狗的悖论９．增加复杂性无效10．快速不雅但有效：Gordian结