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第1页（共16页）2019-2020学年四川省资阳市雁江区九年级（上）期末数学试卷一、单选题（每小题4分，共40分）1．（4分）下列计算正确的是（）A．3﹣＝3B．+＝6C．×＝2D．÷＝42．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），那么sinα的值是（）A．B．C．D．3．（4分）已知ab＜0，则化简后为（）A．﹣aB．﹣aC．aD．a4．（4分）电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（）A．3（1+x）＝10B．3（1+x）2＝10C．3+3（1+x）2＝10D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝105．（4分）若方程2x2+x﹣2m+1＝0有一正实根和一负实根，则m的取值范围是（）A．m≥B．m＞C．m＞D．m≥6．（4分）已知线段AB的两个端点的坐标分别是A（m，m），B（2n，n），以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小，则经过位似变换后，A的对应点A′的坐标是（）A．（m，n）B．（﹣m，﹣n）C．（m，n）或（﹣m，﹣n）D．（n，n）或（﹣n，﹣n）7．（4分）已知2+是关于x的方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则方程的另一个根与c的值是（）第2页（共16页）A．2﹣，1B．﹣6﹣，15﹣8C．﹣2，﹣1D．2+，7+48．（4分）如图所示图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为”赵爽弦图“．已知AE＝4，BE＝3，若向正方形ABCD内随意投掷飞镖（每次均落在正方形ABCD内，且落在正方形ABCD内任何一点的机会均等），则恰好落在正方形EFGH内的概率为（）A．B．C．D．9．（4分）将宽为2cm的长方形纸条折叠成如图的形状，那么折痕PQ的长是（）A．cmB．cmC．cmD．2cm10．（4分）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，其中∠ABC＝∠AED＝90°，CD与BE、AE分别交于点P、M．对于下列结论：①△CAM∽△DEM；②CD＝BE；③MP•MD＝MA•ME；④2CB2＝CP•CM．其中正确的是（）A．①②B．①②③C．①②③④D．①③④二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）当x时，在实数范围内有意义．12．（4分）已知方程（x2+y2）2﹣2（x2+y2）﹣3＝0，则x2+y2的值为．13．（4分）在△ABC中BC＝2，AB＝2，AC＝b，且关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为．第3页（共16页）14．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠ADE＝∠C，如果AE＝4，△ADE的面积为5，四边形BCED的面积为15，那么AB的长为15．（4分）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tanC＝．16．（4分）一组正方形按如图所示放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3…在x轴上．已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则正方形A2019B2019C2019D2019的边长是．三、解答题（8小题，共86分）17．（8分）计算：（）﹣1+（3.14﹣π）0﹣|﹣2|﹣2cos45°+18．（10分）解下列方程：（1）4x（1﹣x）＝1（2）2x2+6x﹣7＝0（用配方法解）19．（10分）如图，点C在△ADE的边DE上，AD与BC相交于点F，∠1＝∠2，．（1）试说明：△ABC∽△ADE；（2）试说明：AF•DF＝BF•CF．第4页（共16页）20．（10分）有A、B两个黑布袋，A布袋中有四个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0，1，2，3，B布袋中有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0，1，2．小明先从A布袋中随机取出一个小球，用m表示取出的球上标有的数字，再从B布袋中随机取出一个小球，用n表示取出的球上标有的数字．（1）用（m，n）表示小明取球时m与n的对应值，画出树状图（或列表），写出（m，n）的所有取值；（2）求关于x的一元二次方程没有实数根的概率．21．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0，（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根？（2）当Rt△ABC的斜边a＝，且两条直角边的长b和c恰好是这个方程的两个根时，求k的值．22．（12分）小明同学上周末对公园钟楼（AB）的高度进行了测量，如图，他站在点D处测得钟楼顶部点A的仰角为67°，然后他从点D沿着坡度为i＝1：的斜坡DF方向走20米到达点F，此时测得建筑物顶部点A的仰角为45°．已知该同学的视线距地面高度为1.6米（即CD＝EF＝1.6米），图中所有的点均在同一平面内，点B、D、G在同一条直线上，点E、F、G在同一条直线上，AB、CD、EF均垂直于BG．则钟楼AB的高约为？（精确到0.1）（参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）23．（12分）某商场销售一批小家电，平均每天可售出20台，每台盈利40元．为了去库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，在一定范围内，小家电的单价每降5元，商场平均每天可多售出10台．如果商场将这批小家电的单价降低x元，通过销售这批小家电每天盈利y元．（1）每天的销售量是台（用含x的代数式表示）；（2）求y与x之间的关系式；（3）如果商场通过销售这批小家电每天要盈利1050元，那么单价应降多少元？（4）若这批小家电的单价有三种降价方式：降价10元、降价20元、降价30元，如果你是商场经理，你准备采取哪种降价方式？说说理由．24．（14分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，D是BC边上一动点，G是BC边上的一动点，GE∥AD分别交AC、BA或其延长线于F、E两点第5页（共16页）（1）如图1，当BC＝5BD时，求证：EG⊥BC；（2）如图2，当BD＝CD时，FG+EG是否发生变化？证明你的结论；（3）当BD＝CD，FG＝2EF时，DG的值＝．第6页（共16页）2019-2020学年四川省资阳市雁江区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（每小题4分，共40分）1．【解答】解：A、原式＝2，所以A选项错误；B、原式＝2，所以B选项错误；A、原式＝＝2，所以C选项正确；A、原式＝＝2，所以D选项错误；故选：C．2．【解答】解：作AB⊥x轴于B，如图，∵点A的坐标为（3，4），∴OB＝3，AB＝4，∴OA＝＝5，在Rt△AOB中，sinα＝＝．故选：C．3．【解答】解：∵ab＜0，﹣a2b≥0，∴a＞0，∴b＜0∴原式＝|a|，＝a，故选：D．4．【解答】解：设平均每天票房的增长率为x，根据题意得：3+3（1+x）+3（1+x）2＝10．故选：D．第7页（共16页）5．【解答】解：由根与系数的关系可知：﹣2m+1＜0，∴m＞，由△＝1﹣8（﹣2m+1）＞0，∴m＞，∴m＞，故选：B．6．【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小，A（m，m），∴A的对应点A′的坐标（m，n）或（﹣m，﹣n），故选：C．7．【解答】解：设方程x2﹣4x+c＝0的另一根为α，则α+2+＝4，解得α＝2﹣．所以c＝（2+）（2﹣）＝1．故选：A．8．【解答】解：∵AE＝4，BE＝3，∴AB＝5，∴正方形ABCD的面积：5×5＝25，正方形EFGH的面积：25﹣4×＝1，∴恰好落在正方形EFGH内的概率为，故选：A．9．【解答】解：如图，作PM⊥OQ，QN⊥OP，垂足为M、N，∵长方形纸条的宽为2cm，∴PM＝QN＝2cm，∴OQ＝OP，∵∠POQ＝60°，∴△POQ是等边三角形，在Rt△PQN中，PQ＝＝＝cm．第8页（共16页）故选：B．10．【解答】解：∵在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，∴∠BAC＝∠ADE＝45°，∴AC∥DE，∴△CAM∽△DEM，故①正确；∵AC＝AB，AD＝AE∴＝，∵∠BAC＝∠EAD＝45°，∴∠BAE＝∠CAD，∴△BAE∽△CAD，∴＝，∴CD＝BE，故②正确；∵△BAE∽△CAD，∴∠BEA＝∠CDA，∵∠PME＝∠AMD∴△PME∽△AMD∴，∴MP•MD＝MA•ME故③正确由③知MP•MD＝MA•ME，∠PMA＝∠DME，∴△PMA∽△EMD，∴∠APD＝∠AED＝90°，∵∠CAE＝180°﹣∠BAC﹣∠EAD＝90°，∴△CAP∽△CMA，∴AC2＝CP•CM，第9页（共16页）∵AC＝AB，∴2CB2＝CP•CM，所以④正确，故选：C．二、填空题（每小题4分，共24分）11．【解答】解：由题意得，x+1≥0，|x|﹣2≠0，解得，x≥﹣1且x≠2，故答案为：≥﹣1且x≠2．12．【解答】解：a＝x2+y2，则原方程变为a2﹣2a﹣3＝0，解得：a1＝﹣1，a2＝3，∵x2+y2≥0，∴x2+y2＝3．故答案为：3．13．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，∴△＝16﹣4b＝0，∴AC＝b＝4，∵BC＝2，AB＝2，∴BC2+AB2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，AC是斜边，∴AC边上的中线长＝AC＝2；故答案为：2．14．【解答】解：∵∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠CAB，∴△ADE∽△ACB，∴＝（）2，第10页（共16页）∵AE＝4，△ADE的面积为5，四边形BCED的面积为15，∴＝（）2，∴AB＝8．故答案为8．15．【解答】解：连接BD，∵E、F分别是AB、AD的中点，∴EF∥BD，且等于BD，∴BD＝4，∵BD＝4，BC＝5，CD＝3，∴△BDC是直角三角形，∴tanC＝＝，故答案为：16．【解答】解：∵∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，∴∠D1C1E1＝∠C2B2E2＝∠C3B3E4＝30°，∴D1E1＝C1D1sin30°＝，则B2C2＝＝＝（）1，同理可得：B3C3＝＝（）2，故正方形AnBn∁nDn的边长是：（）n﹣1．则正方形A2019B2019C2019D2019的边长是：（）2018．故答案为：（）2018．三、解答题（8小题，共86分）17．【解答】解：原式＝2019+1﹣2+﹣2×+2＝2020．第11页（共16页）18．【解答】解：（1）∵4x（1﹣x）＝1，∴4x2﹣4x+1＝0，∴（2x﹣1）2＝0，∴x1＝x2＝．（2）∵2x2+6x﹣7＝0，∴2（x2+3x）＝7，∴2（x+）2＝，∴x＝±19．【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，∴∠BAC＝∠DAE，∵＝，∴＝，∴△ABC∽△ADE；（2）证明：∵△ABC∽△ADE，∴∠B＝∠D，∵∠BFA＝∠DFC，∴△ABF∽△CDF，∴＝，∴AF•DF＝BF•CF．20．【解答】解：（1）列表为AB01230（0，0）（1，0）（2，0）（3，0）1（0，1）（1，1）（2，1）（3，1）2（0，2）（1，2）（2，2）（3，2）由列表知，（m，n）有12种可能；第12页（共16页）（2）由方程得△＝m2﹣2n，当（m，n）的对应值是（0，1），（0，2），（1，1），（1，2）时，△＜0，原方程没有实数根，故，答：关于x的一元二次方程没有实数根的概率为．21．【解答】（1）证明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（4k﹣3）＝4k2﹣12k+13＝（2k﹣3）2+4，∴无论k取什么实数值，总有＝（2k﹣3）2+4＞0，即△＞0，∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵两条直角边的长b和c恰好是方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0的两个根，得∴b+c＝2k+1，bc＝4k﹣3，又∵在直角△ABC中，根据勾股定理，得b2+c2＝a2，∴（b+c）2﹣2bc＝（）2，即（2