无差异曲线的凸性

消费者选择理论•目标：市场需求曲线•方法：个人需求曲线加总–目标函数－偏好公理（第2章）–约束－预算约束线（第3章）–最优化－选择理论（第3章）–参数变化－个人需求曲线（第4章）12第3讲偏好和效用3理性选择公理•完备性–如果A和B是任意两种状态,一个人总是可以确切识别下列可能性之一:•A好于B•B好于A•A和B一样好4理性选择公理•传递性–如果A好于B,同时B好于C,那么A好于C–假定人们的选择具有内在一致性5理性选择公理•连续性–如果A好于B,那么足够“接近”A的状态也一定好于B–用于分析人们对于收入和价格微小变化的反应6效用•给定这些假设,可以证明人们能够将所有可能的状态进行排序•经济学家称这个排序为效用–如果A好于B,那么赋予A的效用超过赋予B的效用U(A)U(B)7效用•效用排序在本质上是序数的–它们表示了人们对于商品束的相对获得意愿•因为效用测量不是唯一的,考虑从A中可以比B多获得多少效用是没有意义的•也不可能在人们之间比较效用8效用•效用受到商品消费量、消费者心理态度、群体压力、个人经验和文化环境的影响•经济学家一般关注消费数量，假设其他影响效用的因素不变–其他条件不变假设9效用•假定消费者必须在消费品x1,x2,…,xn中选择•消费者的排序可以用如下形式的效用函数表示:效用=U(x1,x2,…,xn;其他因素)–这个函数对于保持排序不变的变换是唯一的10经济物品•在效用函数中,x被假设为“商品”–多比少好x的数量y的数量x*y*好于x*,y*??劣于x*,y*11无差异曲线•一条无差异曲线表示消费者看来无差异的商品束组成的集合x的数量y的数量x1y1y2x2U1组合(x1,y1)和(x2,y2)为消费者提供了相同水平的效用12边际替代率•随着x和y的变化，MRS随之变化–反映了消费者为了x而交易y的意愿x的数量y的数量x1y1y2x2U1在(x1,y1),无差异曲线比较陡峭。这表示为了获得额外一单位x人们愿意放弃更多的y。在(x2,y2),无差异曲线比较平缓.这表示为了获得额外一单位x人们愿意放弃较少的y。13无差异曲线图•每一点一定有一条无差异曲线通过x的数量y的数量U1U2U3U1U2U3效用增加14传递性•任意两条无差异曲线能相交吗?x的数量y的数量U1U2ABC消费者认为A和C无差异。同时，消费者认为B和C也没有差异。传递性要求消费者应该认为A和B没有差异但是，B好于A，这因为B比A包含了更多的x和y15边际商品替代率•无差异曲线任意一点斜率的负数被称作边际替代率(MRS)x的数量y的数量x1y1y2x2U11UUdxdyMRS16凸性•一个点集是凸集，如果任何两个点的连线还全部处于这个集合内。x的数量y的数量U1MRS递减的假设等价于假设所有好于x*和y*的x和y的组合构成一个凸集。x*y*17凸性•如果无差异曲线是凸的,那么组合(x1+x2)/2,(y1+y2)/2既好于(x1,y1)也好与(x2,y2)。x的数量y的数量U1x2y1y2x1这意味着“平衡的”商品束好于着重关注一种商品的消费束。(x1+x2)/2(y1+y2)/218效用和MRS•假设一个消费者对于汉堡(y)和软饮料(x)的偏好可以表示为10xy效用•解出yy=100/x•解出MRS=-dy/dx:MRS=-dy/dx=100/x219效用和MRSMRS=-dy/dx=100/x2•注意随着x的增加,MRS下降–x=5,MRS=4–x=20,MRS=0.2520边际效用•假设那个一个消费者具有下列形式的效用函数效用=U(x,y)•U的全微分是dyyUdxxUdU•在任何一条无差异曲线上,效用都是常数(dU=0)21推导MRS•因此,我们得到:UUdyxMRSUdxy常数•MRS是x的边际效用与y的边际效用的比率22边际效用递减和MRS•从直觉上看,边际效用递减假设和MRS递减有关联–递减的MRS要求效用函数是拟凹的•这不依赖于如何测量效用–递减的边际效用依赖于如何测量效用•因此,这两个概念是不同的23无差异曲线的凸性•假设效用函数是xy效用•我们可以通过对这个函数取对数来简化代数运算U*(x,y)=ln[U(x,y)]=0.5lnx+0.5lny24无差异曲线的凸性xyyxyUxUMRS5.05.0**•因此,25无差异曲线的凸性•如果效用函数是U(x,y)=x+xy+y•对于效用函数变形没有什么好处,因此xyyUxUMRS1126无差异曲线的凸性•假设效用函数是22xy效用•对于这个例子，如下的变形比较简单U*(x,y)=[U(x,y)]2=x2+y227无差异曲线的凸性yxyxyUxUMRS22**•因此,28效用函数的例子•柯布－道格拉斯效用函数效用=U(x,y)=xy其中和是正常数–和的相对大小表示了商品的相对重要程度29效用函数的例子•完全替代效用=U(x,y)=x+yx的数量y的数量U1U2U3无差异曲线是线性的。沿着无差异曲线，MRS是常数。30效用函数的例子•完全互补效用=U(x,y)=min(x,y)x的数量y的数量无差异曲线是L形的。仅仅当两种商品都增加的时候效用才增加。U1U2U331效用函数的例子•CES效用(常替代弹性)当0效用=U(x,y)=x/+y/当=0效用=U(x,y)=lnx+lny当–完全替代=1–柯布－道格拉斯=0–完全互补=-32位似偏好•如果MRS仅仅依赖两种商品数量的比率,不依赖于商品的绝对数量,效用函数就是位似的–完全替代MRS在每点都相同–完全互补如果y/x/那么MRS=,如果y/x=/就没有定义,并且如果y/x/那么MRS=033位似偏好•对于一般的柯布－道格拉斯函数,MRS为xyyxyxyUxUMRS1134非位似偏好•一些效用函数不表示位似偏好效用=U(x,y)=x+lnyyyyUxUMRS1135多商品情况•假定包含n种商品的效用函数为效用=U(x1,x2,…,xn)•U的全微分为nndxxUdxxUdxxUdU...221136多商品情况•通过令dU=0，我们可以得到任意两种商品之间的MRS()jiijijUdxxMRSxxUdxx对jjiidxxUdxxUdU0•整理可得37多商品无差异曲面•无差异曲面是n维点集，满足方程U(x1,x2,…xn)=k其中k是任意事先指定的常数38多商品无差异曲面•如果效用函数是拟凹的,满足Uk的点集是凸集–位于U=k这个无差异曲面上任意两点的连线都有Uk