人教版高中数学双曲线及其基本方程精品课件

第二章圆锥曲线与方程2．2双曲线第二章第二章第1课时双曲线及其标准方程学习要点点拨课前自主预习课堂典例讲练课后强化作业课堂巩固练习课程目标解读1．了解双曲线的定义，会推导双曲线的标准方程．2．会用待定系数法求双曲线的标准方程．重点难点展示本节重点：双曲线的定义及其标准方程．本节难点：双曲线标准方程的推导．学习要点点拨1．对于双曲线定义的理解，要抓住双曲线上的点所要满足的条件，即双曲线上点的几何性质，可以类比椭圆的定义来理解．还要注意到对“定值”的限定．即定值大于零且小于|F1F2|.这样就能避免两种特殊情况，即：“当定值等于|F1F2|时，轨迹是两条射线；当定值大于|F1F2|时，点不存在．”2．类比椭圆标准方程的推导方法，建立适当坐标系，推导出双曲线的标准方程，但要注意在椭圆标准方程推导中，是令b2＝a2－c2，而在双曲线标准方程的推导过程中，是令b2＝c2－a2.3．用待定系数法求双曲线方程(1)利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下①确定焦点位置：根据条件判定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两坐标轴都有可能．②确定方程的形式：根据上述判断设方程为x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．③确立参数的关系式：根据已知条件列出关于a、b、c的方程组．④解方程组：解上述方程组，得到参数a、b、c的值，代入所设方程即为所求．(2)利用待定系数法求双曲线的标准方程时，应先判断焦点所在位置，不能确定时应分类讨论．在求过两定点的椭圆方程时，我们曾经将椭圆方程设为mx2＋my2＝1(m0，n0)以简化运算，同理求经过两定点的双曲线方程也可设为mx2＋ny2＝1，但这里应有m·n0.4．在椭圆的研究中我们已经体验了定义在解决有关曲线上的点到焦点距离问题中的作用，同样在双曲线中也应注意定义的应用．已知双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题，往往利用正弦定理、余弦定理以及双曲线的定义列出关系式．5．在椭圆的标准方程中，判断焦点在哪个轴上是看x2、y2项分母的大小，而在双曲线标准方程中，判断焦点在哪个轴上，是看x2，y2系数的符号．课前自主预习1．在平面内到两个定点F1、F2距离之差的绝对值等于定值2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做______．这两个定点叫做双曲线的_____，两焦点之间的距离叫做双曲线的____．2．在双曲线的定义中，条件02a|F1F2|不应忽视，若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是_________；若2a|F1F2|，则动点的轨迹是__________．双曲线焦点焦距两条射线不存在3．双曲线定义中应注意关键词“________”，若去掉定义中“________”三个字，动点轨迹只能是______________．4．焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．5．在双曲线的标准方程中a、b、c的关系为__________.绝对值绝对值双曲线一支a2＋b2＝c26．对比是学习数学中常用的有效的学习方法，应用对比的学习方法常能起到巩固旧知识，深化对新知识的理解的作用，也能有效的解决知识的混淆．在学习双曲线知识时，要时时留意与椭圆进行对比．椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系.椭圆双曲线定义|MF1|＋|MF2|＝2a定义|MF1|－|MF2|＝±2a因为ac0，所以令a2－c2＝b2(b0)因为0ac，所以令c2－a2＝b2(b0)x2a2＋y2b2＝1或y2a2＋x2b2＝1(ab0)x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a0，b0，a不一定大于b)课堂典例讲练思路方法技巧[例1](1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，－42)和(94，5)，求双曲线的标准方程；(2)求与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程．命题方向待定系数法求双曲线的标准方程[分析]可先设出双曲线的标准方程，再构造关于a、b的方程组，求得a、b，从而求得双曲线的标准方程．注意对平方关系c2＝a2＋b2的运用．[解析](1)由已知可设所求双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，则32a2－9b2＝125a2－8116b2＝1，解得a2＝16b2＝9.∴双曲线的标准方程为y216－x29＝1.(2)解法一：设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，由题意易求得c＝25.又双曲线过点(32，2)，∴322a2－4b2＝1.又∵a2＋b2＝(25)2，∴a2＝12，b2＝8.故所求双曲线的方程为x212－y28＝1.解法二：设双曲线方程为x216－k－y24＋k＝1，将点(32，2)代入得k＝4，∴所求双曲线方程为x212－y28＝1.[点评]求双曲线标准方程的步骤：(1)定位置：根据双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种都有可能；(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，焦点不定时，亦可设为mx2＋ny2＝1(m·n0)；(3)寻关系：根据已知条件列出关于a、b(或m、n)的方程组；(4)得方程：解方程组，将a、b、c(或m、n)的值代入所设方程即为所求．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)双曲线的一个焦点坐标是(0，－6)，经过点A(－5，6)；(2)与椭圆x216＋y225＝1共焦点，且过点(－2，10)．[解析](1)解法一：由已知得，c＝6，且焦点在y轴上，则另一焦点坐标是(0,6)．因为点A(－5,6)在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a，即2a＝|－52＋6＋62－－52＋6－62|＝|13－5|＝8，得a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.因此，所求的双曲线标准方程是y216－x220＝1.解法二：由焦点坐标知c＝6，∴a2＋b2＝36，∴双曲线方程为y2a2－x236－a2＝1.∵双曲线过点A(－5,6)，∴36a2－2536－a2＝1，∴a2＝16，b2＝20.双曲线方程为y216－x220＝1.(2)由x216＋y225＝1知焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)．设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，则有10a2－4b2＝1a2＋b2＝9，∴a2＝5，b2＝4.∴所求的双曲线的方程为y25－x24＝1.命题方向双曲线的定义[例2]已知两定点F1(－3,0)、F2(3,0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是()A．||PF1|－|PF2||＝5B．||PF1|－|PF2||＝6C．||PF1|－|PF2||＝7D．||PF1|－|PF2||＝0[解析]A中，∵|F1F2|＝6，∴||PF1|－|PF2||＝5|F1F2|，故运点P的轨迹是双曲线；B中，∵||PF1|－|PF2||＝6＝|F1F2|，∴动点P的轨迹是以F1或F2为端点的射线(含端点)；C中，∵||PF1|－|PF2||＝7|F1F2|，∴动点P的轨迹不存在；D中，∵||PF1|－|PF2||＝0，即|PF1|＝|PF2|，根据线段垂直平分线的性质，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线，故选A.[答案]A[点评]注意双曲线定义中的“小于|F1F2|”这一限制条件，其依据是“三角形两边之差小于第三边”．实际上，(1)若2a＝|F1F1|，即||PF1|－|PF2||＝|F1F2|，根据平面几何知识，当|PF1|－|PF2|＝|F1F2|时，动点轨迹是以F2为端点的一条射线；当|PF2|－|PF1|＝|F1F2|时，动点轨迹是以F1为端点的一条射线；(2)若2a|F1F2|，即||PF1|－|PF2|||F1F2|，则与“三角形两边之差小于第三边”相矛盾，故动点轨迹不存在；(3)特别的当2a＝0时，|PF1|＝|PF2|，根据线段垂直平分线的性质，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．P是双曲线x264－y236＝1上一点，F1、F2是双曲线的两个焦点，且|PF1|＝17，则|PF2|的值为________．[答案]33[解析]在双曲线x264－y236＝1中，a＝8，b＝6，故c＝10.由P是双曲线上一点得，||PF1|－|PF2||＝16.∴|PF2|＝1或|PF2|＝33.又|PF2|≥c－a＝2，∴|PF2|＝33.命题方向曲线类型的讨论[例3]已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型．[分析]解答本题可依据所学的各种曲线的标准形式的系数应满足的条件进行分类讨论．建模应用引路[解析](1)当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；(2)当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k0时，方程为y24－x2－4k＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；(4)当0k1时，方程为x24k＋y24＝1，表示焦点在x轴上的椭圆；(5)当k1时，方程为x24k＋y24＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．[点评]解决这类题的基本方法是分类讨论，在分类讨论的过程中应做到不重不漏，选择适当的分界点．在讨论过程中应说出该方程表示的是哪种曲线及其特征．(2012～2013学年度陕西宝鸡中学高二期末测试)讨论方程x25－m＋y22－m＝1(m3)所表示的曲线类型．[解析]当2m3时，5－m0,2－m0，此时方程x25－m＋y22－m＝1表示焦点在x轴上的双曲线；当m2时，5－m2－m0，此时方程x25－m＋y22－m＝1表示焦点在x轴上的椭圆.探索延拓创新[例4]若F1、F2是双曲线x29－y216＝1的两个焦点，P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．命题方向双曲线的焦点三角形问题[解析]由双曲线的对称性，可设点P在第一象限，由双曲线的方程，知a＝3，b＝4，∴c＝5.由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a＝6.上式两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋64＝100，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝100－1002|PF1|·|PF2|＝0.∴∠F1PF2＝90°.[点评]在焦点三角形中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义等是经常使用的知识点．另外，还经常结合|PF1|－|PF2|＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1|·|PF2|的联系，请同学们多加注意．设P为双曲线x216－y29＝1上一点，F1、F2该双曲线的两个焦点，若∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积．[解析]由方程x216－y29＝1，得a＝4，b＝3，故c＝16＋9＝5，∴|F1F2|＝2c＝10.又由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝8，两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝64.①在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°，即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝100.②①－②，得|PF1||PF2|＝36，∴S△PF1F2＝12|PF1||PF2|sin60°＝12×36×32＝93.名师辨误做答[例5]已知双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，求k的值．[错解]将双曲线方程化为标准方程x21k－y28k＝1.因为焦点在y轴上，所以a2＝8k，b2＝1k，所以c＝a2－b2＝8k－1k＝3，即7k＝9，所以k＝79.[辨析]上述解法有两处错误：一是a2、b2确定错误，应该是a2＝－8k，b2＝－1k；二是a、b、c的关系式用错了．在双曲线中应为c2＝a2＋b2.[正解]将双曲线方程化为kx2－k8y2＝1，即x21k－y28k＝1.因为一个焦点是(0,3)，所以焦点在y轴上，所以c＝3，a2＝－8