第19章微积分与椭圆积分往事

第19章微积分与椭圆积分往事数学分析3课程快要接近尾声了，周老师不愧为数学系的王牌教师，上课高屋建瓴，讲得快还不压堂。今天讲了一点儿考试外内容，是关于微分流形的，包括微分结构，然后向我们展示出流形上的Stokes公式MMdωω∂=∫∫并且告诉我们：“这个公式把之前学过的Green公式，Gauss公式和Stokes公式统一起来，该公式是数学大师Thom认为最深刻的数学公式，但是可惜这门数学分析课时间不够了，我不能再多讲了。”往往离下课还有5分钟时，周老师则化身段子手，这不又调侃了理工科思维与文科的不同，说：“某内部会议，法学院某老师发完言，某工科大佬质问道，你学生发论文，你为什么不和他共同署名？这不利于你们系的学术发展啊！该法学老师回答说，因为我和他观点不同，所以不能署名。结果所有工科大佬都被这句话引爆了，质问道你的学生怎么可以和你观点不同？法学老师弱弱地说，我们是文科，都是这样的……这时校长出来圆场，咳咳，大家要尊重学科差异哈，咱们继续开会……”结果大家都被这个段子逗乐了，特别是前排的女生们，不顾形象地笑得发抖。不过，我听楚千羽说周老师带学生还是要求很严的，他师兄就被弄得灰头土脸的，我想这大概是严师出高徒吧。说起来，就算是同是理科的数学和物理，思维差距也很大。记得上物理课时老师就抱怨过，说是物理系的学生被数学分析的思维方式弄得“中毒”了，比如量子力学课上总有人问“存在性与唯一性”，弄得学生们没有物理思维，他们系老师讨论后得出的结论是：过深难度的数学课会影响物理思维的发展，从而使同学们的方向发生偏差。当然，数学系的老师们肯定不同意，可能会举出爱因斯坦和狄拉克等数学物理高手反驳。类似数学和物理老师们的争论也不乏亮点，楚大神就给我讲过他们系流传下来的著名段子：一群老师在开讨论会，甲老师说了一句数学是皇后，乙老师不同意数学是女的，认为数学应该是男的，是皇帝。甲老师反驳说皇帝不是皇后生的吗。丙老师哂笑，说你那个不是皇后是太后。然后讨论就blabla跑题了……下课后，我被蓝明月拦住，只见她莞尔一笑，说：“我今天晚上不想自习了，咱们去南门外咖啡厅讨论下问题，傍晚在南门见面。”我说好，心里倒是奇怪蓝明月有什么事情不在周末讨论，看来是急事吧。T大明月傍晚5:30，两人在南门外见面，蓝明月带我去了一个我此前没见过的咖啡厅，还带着她那个三星笔记本电脑。一进咖啡厅，给人少了几分都市时尚，多了几分古朴沧桑的怀旧感觉。可能是看出我的疑惑，蓝明月说周老师给他回邮件了，建议她那篇论文补上椭圆函数双周期性的证明，利用加法定理作形式推导即可，还说这篇论文将被收录，将来有机会放到数学分析精品课程里面。这次她想征求我的看法，提提意见。蓝明月：“我在王竹溪的《特殊函数概论》那本书里找到了推导雅可比椭圆函数双周期的细节，证明过程我抄在这个本子上了，你看一下。”我看了一下蓝明月的那个日记本，心里不由感叹女生的笔记就是工整细致，我是不是应该拿这个笔记复印一下。可能是看到我走神了，蓝明月不满地说道：“看了半天了，有什么意见？”我：“哦，这不挺好的吗，你把字母符号换一下不就行了。”蓝明月：“还以为你又有什么新主意呢，太敷衍了。”我：“唉，非得逼我使大招儿，拿笔和纸来。其实，证明4K是椭圆函数()uϕ的一个周期这个结论不利用加法定理也行，关键在于利用正弦函数的基本性质。”21022(1)(1)dxxkxK−−=∫蓝明月：“哦，说详细点儿。”我：“利用变换sinxϕ=可以将第一类椭圆积分化为三角函数积分0022222(1)(1)1sinzdxduxkxkφϕϕ==−−−∫∫记函数关系()Fuφ=,则sinsin():()zFuuφϕ===.考虑φπ+，则有222202021sin1sin1sindddkkkφπφπππϕϕϕϕϕϕ++=+−−−∫∫∫可以证明等式右边第一项是2K,第二项是u,所以(2)FuKφπ+=+又sin()sinφπφ+=−,所以(2)sin(2)sin()sin()uKFuKuϕφπφϕ+=+=+=−=−用2uK+替换u可知(4)()uKuϕϕ+=这不就证明了结论，而且没利用加法定理。”蓝明月：“哇，张大侠你好厉害，我好崇拜你哦！”我：“那是当然！还不斟茶，不，上咖啡。”蓝明月：“啧啧啧，假装夸你两句，尾巴就翘上天了，我怎么看见一群牛在天上飞啊。”我：“我就说嘛，某人今天怎么表现得很淑女。”蓝明月：“怎么，嫌弃我了，某人后悔来不及了。”我：“开玩笑呢，我说的玩笑真的就那么不好笑吗？”蓝明月：“吓你呢。对了，你怎么对椭圆积分这么熟悉？”我：“你忘了吗？我的数学3大作业就是关于椭圆积分的呀。”当我说完这句话时，我发现蓝明月突然变得沉默了，一脸黯然，我心中一惊：莫非刚才说错话了？便试探性问道：“你怎么了，哪里不舒服吗？”蓝明月：“没什么……我，作为女朋友，我是不是很不称职？你相当熟悉我的数分大作业，我却对你的数分大作业过问很少。”我：“我当是什么事儿呢，这和女朋友又有什么关系，话题转得太远了吧。”蓝明月：“昨天我室友小楠又哭了，说她男朋友整天就知道打游戏，也不关心她。小楠就说她男朋友两句，她男朋友就凶她，弄得小楠很伤心。”我：“清官难断家务事，这跟你我有什么关系啊。”蓝明月：“因为对比之下，我觉得你好太多了。你对我那么好，以前我还经常故意对你发脾气，甚至咬过你，你当时一定很痛吧。”我：“你才看出来啊，我可真失败。另外，那次倒不是很痛，因为我小时候经常被小红欺负，被咬过好几次，习惯了。”蓝明月下意识皱眉，问道：“小红是谁？”我：“小红啊，就是隔壁王婆家的哈士奇啊。”蓝明月：“好啊，张辰，你这是拐着弯的骂我。哼！”进过这一闹，我发现蓝明月的神色缓和不少，便正色说道：“你刚才能说出那一番话，我就很满足了，觉得以前的付出值了，没什么怨言。至于你室友她男朋友的事情，估计是个渣男，没有代表性，你也别多想了。”蓝明月：“嗯，你真好！”我看到蓝明月还是显得有些心情沉重，便决定岔开话题，于是拿出手机，说：“说到椭圆函数，我昀近恰好看到一组恶搞初等超越‘含树’（函数）的搞笑图片，你看看好笑不？”对树含树+三角含树+指树含树蓝明月难得笑了，说：“呵呵，怪不得大家这么怕微积分，原来是怕‘含树’啊。张辰，你哪来的这些搞笑图片啊，每次都有。”我：“不要崇拜哥，哥不生产图片，我们只是搞笑图片的搬运工。”蓝明月：“哈哈，农夫山泉广告词儿被你恶搞了。”我：“其实是网友们有才，我看到搞笑的好图片就收藏了，积少成多。真正要感谢的是那些分享快乐的网友们！”蓝明月：“嗯，对。”我：“嗯……你不皱眉的样子更好看，为什么总见你锁着眉头。眉间放一字宽，看一段人间风光，不是更好吗？”这张图片最接近蓝明月原型蓝明月：“看来你的嘴越来越甜，说话也文绉绉多了。我这个锁眉习惯可能是因为我小时候父母经常出差不在家，而我爷爷又是一个老古董的缘故吧。”我：“老古董？你爷爷不会重男轻女吧？”蓝明月：“还是我奶奶对我最好。”我决定换一个话题，便问道：“对了，我一直想知道，你当初是怎么注意到我的？”蓝明月：“数分3期中考试，你用柯西积分公式求出那道重积分题，方法很精彩！”221cos?yxyexdxdy+≤=∫∫我：“就这么简单？”蓝明月：“我奶奶以前是教工科复变函数的，所以我小时候对复变函数耳濡目染，稍微了解一些。记得奶奶说过，柯西当年是在研究重积分时发现复变函数的，本质上利用了Green公式。奶奶还说，能玩转复变函数的人数学一定很厉害。”我：“听你这么说，我真不知道是应该感谢柯西，还是感谢你奶奶的。”蓝明月：“去你的，你奶奶的。你知道吗，最初我还很BS你呢。”我：“啊，此话怎讲？”蓝明月：“周老师当初说有五个外院的人选了数学分析3课程。我自然觉得这五个人多半不知道数分之难，到时候还得退选，真是无知者无畏。”我：“没曾想，这五个人中竟然隐藏着一位微积分高手，令数学系蓝大美女看走眼了。”蓝明月：“哈哈哈，你真自恋。”看到蓝明月开心地笑了，我的心也放下了，接着问：“对了，我一直奇怪你为什么选椭圆函数这个题材，不会真的因为你偶像阿贝尔长得帅吧。”蓝明月：“去你的，我是那么肤浅的人吗。其实我还准备了另外两个题目，一个是关于重积分变量代换公式的。设Ωm⊂R是一个开集，:Ωmϕ→R是一个连续可微映射，ΩE⊂是一个闭若尔当可测集。如果（1）雅可比行列式det()0,intDttEϕ≠∀∈；（2）ϕ在intE中是单射。那么()Eϕ也是一个闭若尔当可测集，并且对于任何在()Eϕ上连续的函数()fx都有()()(())|det()|EEfxdxftDtdtϕϕϕ=∫∫.另一个是关于Riemann-Lebesgue引理的。”设(),()fxgx是黎曼可积函数,()()gxTgx+=是周期函数。则0001lim()()()()TTTnfxgnxdxgxdxfxdxT→∞=∫∫∫我：“这两个题目确实不错。”蓝明月：“题目是挺好，但我们寝室的小娟，就是上次被某人BS的我们系探花，她已经选了重积分变量代换公式了，我不想和她撞车，就放弃该题目。”我：“能别总提这事儿吗，我那时也是随便说说。”蓝明月：“好好好，我不提总可以了吧。关于Riemann-Lebesgue引理我感到缺乏新的见解，不知道怎样写才有特色。恰巧你在QQ上说你打算写椭圆积分方面的文章，我就决定写椭圆函数了，想和你比一比。”我：“其实推广之后的Riemann-Lebesgue引理是显然的。”蓝明月：“啧啧啧，又来装高深了，还请张大侠赐教。”我：“把笔和纸递给我，我来给你演示下思维痕迹。这玩意说难也难，说简单也简单，想通之后其实挺自然的。”贝塞尔不等式2222011()()2nnnaabfxdxπππ∞−=++≤∑∫2lim0lim0nnnnaa→∞→∞=⇒=lim()sin0xfxnxdxππ→∞−=∫猜想0lim()()0Txfxgnxdx→∞=∫取()1fx≡,则00011()()()0TnTTgnxdxgtdtngtdtnn==⋅→∫∫∫猜想成立的必要条件0()0Tgxdx=∫但一般有0()0Tgxdx≠∫（比如()1singxx=+）考虑新的周期函数()xψ,满足00()()0()()?()0TTgxgxdxxgxCxdxψψ→≠↓↓=+←=∫∫对()()xgxCψ=+等式两边积分，得0000()()TTTxdxgxdxCdxψ==+∫∫∫01()TCgxdxT=−∫猜想0lim()()0Tnfxnxdxψ→∞=∫000000lim()()lim()[()]lim()()lim()1()()TTnnTTnnTTfxgnxdxfxnxCdxfxnxdxCfxdxgxdxfxdxTψψ→∞→∞→∞→∞=−=−⋅=∫∫∫∫∫∫一口气写完之后，我继续补充道：“你看，就这样吧。通俗地说，将周期函数()gx适当向上（或向下）平移C个单位之后，得到的新周期函数()()xgxCψ=+满足周期积分为0，在积分和极限过程中()gx对应的振荡部分消去了，剩下含常数C的那部分。”未见佳人喜，但见蓝明月幽幽地叹了一口气，说：“和你在一起总是很打击人，弄得我都不想和你讨论数学分析问题了，总感觉和你不在一个层次上。”我：“尺有所短，寸有所长。我可能微积分比你水平高，但是抽象代数不如你啊。再说，我听楚千羽说过，你们系王东的代数水平似乎不比他差。”蓝明月：“确实，王东就是数分偏科拖后腿，其实他的代数水平比我和小娟高多了。”我：“你看，王东代数天赋高，楚千羽就算了，还被天赋不如他的你和你室友压制，那他得多郁闷啊。”蓝明月：“嘻嘻，王东躺着也中枪。张辰，谢谢你的开导！对了，你那个箭头方法看起来很新颖。”我：“这是本人自创的圡法绝招儿，叫做联想思维链，NB吧。”蓝明月：“啧啧，什么联想思维链，我看就是数分大串烧。”我：“哦，‘数分大串烧’，好名字，你真有才。”根据《男友的自我修养》这本手册，女朋友的事情没有小事，有时候为讨女朋友开心还得自黑。当然，黑别人也行，但不要太过。比如王东同学一不小心就中枪了，这里只能抱歉了。此后，我建议两人看看优酷上淮秀帮和胥渡吧的配音恶搞视频，缓解下气氛，两人就这样看着笑着。不过，蓝明