2019年四川省成都市树德中学外地生自主招生考试数学试题及答案

2019年成都树德中学外地生自主招生考试数学（总分：150分时间：120分钟）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．2．请考生用规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题卷上，在试题卷上作答无效．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．当1a时，化简31aa的结果是（）A．1aaB．1aaC．aaaD．aaa2．满足2221xxx的所有实数x的和为（）A．3B．4C．5D．63．五张如图所示的长为a，宽为bab的小长方形纸片，按如图的方式不重叠地放在矩形ABCD中，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足的关系式为（）A．2abB．3abC．32abD．231ab4．如图ABC△为圆O的内接三角形，D为BC中点，E为OA中点，40ABC，80BCA，则OED的大小为（）A．15B．18C．20D．225．如图所示，将形状、大小完全相同的“·”和线段按照一定规律摆成下列形状，第1幅图形中“·”的个数为1a，第2幅图形中“·”的个数为2a，第3幅图形中“·”的个数为3a，…，以此类推，则123201111+aaaa…的值为（）A．2021B．6184C．589840D．3254626．如图，菱形ABCD中，2AB，60B，M为AB的中点．动点P在菱形的边上从点B出发，沿BCD的方向运动，到达点D时停止．连接MP，设点P运动的路程为x，2MPy，则表示y与x的函数关系的图像大致为（）A．B．C．D．7．某校初三年级有四个班，每班挑选乒乓球男女队员各一人，组成年级混合双打代表队，那么四对混合双打中，没有一队选手是同班同学的概率是（）A．512B．49C．38D．258．如图，以0,1G为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CFAE于F．当点E从B出发顺时针运动到D时，点F所经过的路径长为（）A．32B．33C．34D．369．设a、b、c为实数，且0a，抛物线2yaxbxc，顶点在2y上，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，当ABC△为直角三角形时，ABCS△的最大值是（）A．1B．3C．3D．410．设11112018201920202050M…，则1M的整数部分是（）A．61B．62C．63D．64第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）11．已知x，y都是非负数，且满足222120xxyyxy，则1xy－的最大值为________．12．已知210aa，则874aa________．13．如图，O是正方形ABCD边上一点，以O为圆心，OB为半径画圆与AD交与点E，过点E作⊙O的切线交CD于F，将DEF△沿EF对折，点D的对称点'D恰好落在⊙O上，若6AB，则OB的长为________．14．已知a、b是实数，且225aabb．若22aabb的最大值是m，最小值是n，则mn的值是________．15．如图，菱形ABCD中，2AB，60C，菱形ABCD在直线L上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60叫一次操作，则经过45次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为__________．（结果保留）16．如图，平行四边形ABCD中，:4:3ABBC，120ABC，E是AB的中点，F在BC上，且:2:1BFFC，过D分别作DGCE于H，则:DGDH__________．三、解答题：（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分10分）（1）已知2410aa，且42321533amaamaa，求m的值．（2）解方程：22232331xxxxx18．（本小题满分10分）一条笔直的公路L穿过草原，公路边有一卫生站A距公路30km的地方有一居民点B，A、B之间的距离为90km．一天某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点．已知汽车在公路上行驶的最快速度是60km/h，在草地上行驶的最快速度是30km/h．问司机应在公路上行驶多少千米?全部所用的行车时间最短?最短时间为多少?19．（本小题满分12分）已知m，n，p为正整数，mn．设0Am,， ,0Bn，0Cp,，O为坐标原点．若90ACB，且2223OAOBOCOAOBOC．（1）求图象经过A，B，C三段的二次函数的解析式；（2）点D是抛物线上的一动点，直线AD交线段BC（杰少备注：这里原来是直线AD交BC，总觉得有歧义）于点Q，若ACQ△，ABQ△的面积ACQS△，ABQS△满足13ACQABQSS:＝:△△，求此时点D的坐标．20．（本小题满分12分）如图，在扇形OAB中，90AOB，12OA，点C在OA上，4AC，点D为OB的中点，点E为弧AB上的动点，OE与CD的交点为F．（1）当四边形ODEC的面积S最大时，求EF；（2）求2CEDE的最小值．21．（本小题满分12分）阅读下列两则材料，回答问题：材料一：我们将ab与ab称为一对“对偶式”，因为22abababab，所以构造“对俩式”相乘可以有效地将ab与ab中的“”去掉．例如：已知25152xx，求2515xx的值．解：25152515251510xxxxxx∵25152xx∴25155xx材料二：如图，点11,Axy，点22,Bxy，以AB为斜边作RtABC△，则21,Cxy，于是12ACxx－，12BCyy－，所以221212ABxxyy．反之，可将代数式221212xxyy的值看作点11,xy到点22,xy的距离．例如：22222222121xxyyxxyy2222111+1xyxy所以可将代数式22222xxyy的值看作是点,xy到点1,1的距离．（1）利用材料一，解关于x的方程：2042xx，其中4x≤；（2）①利用材料二，求代数式222221665448xxyyxxyy的最小值，并求出此时y与x的函数关系式，写出x的取值范围；②将①所得的y与x的函数关系式和x的取值范围代入222512236yxxxx中解出x，求出x的值．22．（本小题满分14分）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”，例如：如图，四边形ABCD是“等对角四边形”，AC，75A，85D，则115C．（1）已知：在“等对角四边形”ABCD中，60DAB，90ABC，4AB，3AD，求对角线AC的长；（2）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是“等对角四边形”，其中2,0A，2,0C，1,3B，点D在y轴上，抛物线20yaxbxca过点A、C，点P在抛物线上，满足12APCADC的P点至少有3个时，总有不等式292216824nca≤成立，求n的取值范围．2019年成都树德中学外地生自主招生考试数学参考答案一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．【答案】B【解析】∵1a，∴10a－，∴30a，从而0a，∴3111aaaaaaaa，故选B．2．【答案】A【解析】分三种情况讨论：1当 21x时，1x，满足方程；2当21x时，3x，此时224xx为偶数，满足方程；3当 20x，且220xx时，得1x，或2x（舍）；综上所述，x的和为1＋3＋（－1）＝3．故选A．3．【答案】A【解析】如图，易得3xaby，∴3yxab，∴222323Sbxaybxaxababxaab＝，∵a、b、S为定值，∴20ab，∴2ab，故选A．4．【答案】C【解析】如图，连接OC，取OC中点F，连接EF、DF，∴280AOCABC，∴50OEOFOFE，显然180408060DOCBAC，∵D为BC中点，∴ODDC，又F为OC中点，∴OFFD＝，∴OFD△为等边三角形，∴ODOFOE，∴1302FEDFOD，∴503020OED．故选C．5．【答案】D【解析】由已知21212112nannnnnn……，∴111122nann，∴123201111111113252122122462aaaa…故选D．6．【答案】B【解析】（1）当102x≤≤时，过M作MEBC与E，∵M为AB的中点，2AB，∴1BM，∵60B，∴12BE，32ME，12PEx，在RtBME△中，由勾股定理得：222MPMEPE，∴22231122yxxx；（2）当122x≤时，过M作MEBC与E，由（1）知1BM，60B，∴12BE，32ME，12PEx，∴222MPMEPE，∴22231122yxxx；（3）当24x≤时，连2MC，∵1BM，2BCAB，60B，∴90BMC，2213MC，∵ABDC∥，∴90MCDBMC，∴222MPMCPC，∴2223247yxxx；综合（1）（2）（3），只有B选项符合题意．故选B．7．【答案】C【解析】解法1：∵先把四个女运动员任意排列，设为ABCD，和A配合的男运动员有4个选择；和B配合的男运动员剩下3种选择；和C配合的男运动员剩下2种选择；最后一个和D配合．∴4男4女组成四队混合双打的情况共有：43224种，设一、二、三、四班的男、女选手分别为1A、B≤、2A、2B、3A、3B、4A、4B，则四队混合双打中，没有一对选手是同班同学的情景如下：由上得共有9种情形．故四对混合双打中，没有一对选手是同班同学的概率是：93248．解法2：（杰少强烈推荐）：11111341!112!3!4!8nkkPnk；解法3：（杰少强烈推荐）：n组配对，没有一对配对成功的递推公式为：1213nnnanaan≥，其中10a，21a，∴32a，49a，∴4934!4!8aPnn．故选C．8．【答案】B【解析】连接AC，AG，∵GOAB，∴O为AB的中点，即12AOBOAB，∵01G,，即1OG，∴在RtAOG△中，根据勾股定理得：223AOAGOG，∴223ABAO，又213COCGGO，∴在RtAOG△中，根据勾股定理得：2223ACAOCO，∵CFAE，∴ACF△始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，当E位于点B时，COAE，此时F与O重合；当E位于D时，CAAE，此时F与A重合，∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长AO，在RtACO△中，3tan3AOACOCO，∴30ACO，∴AO度数为60，∵直径23