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初中数学同步课程《一元一次方程》.1/13一元一次方程的应用1、列方程解应用题的基本步骤和方法：步骤要求注意事项审题读懂题目、弄清题意、找出能够表示应用题全部含义的相等关系审题是分析解题的过程，解答过程中不用体现出来设元①设未知数②把各个量用含未知数的代数式表示出来①设未知数一般是问什么，就直接设什么为x，即直接设元②直接设元有困难时，可以间接设元列方程根据等量关系列出方程避免列出恒等式解方程解这个方程，求出未知数的值如果是间接设元，求出的未知数还需要利用其他算式得到所求的量检验把方程的解代入方程检验，或根据实际问题进行检验列一元一次方程解应用题检验的步骤在解答过程中不用写出来方程的解要符合实际问题作答写出答案，作出结论这一步在列方程解应用题中必不可少，是一种规范要求注意：（1）初中列方程解应用题时，怎么列简单就怎么列（即所列的每一个方程都直接的表示题意），不用担心未知数过多，简化审题和列方程的步骤，把难度转移到解方程的步骤上．（2）解方程的步骤不用写出，直接写结果即可．（3）设未知数时，要标明单位，在列方程时，如果题中数据的单位不统一，必须把单位换算成统一单位，尤其是行程问题里需要注意这个问题．2、设未知数的方法：设未知数的方法一般来讲，有以下几种：（1）“直接设元”：题目里要求的未知量是什么，就把它设为未知数，多适用于要求的未知数只有一个的情况；（2）“间接设元”：有些应用题，若直接设未知数很难列出方程，或者所列的方程比较复杂，可以选择间接设未知数，而解得的间接未知数对确定所求的量起中介作用．（3）“辅助设元”：有些应用题不仅要直接设未知数，而且要增加辅助未知数，但这些辅助未知数本身并不需要求出，它们的作用只是为了帮助列方程，同时为了求出真正的未知量，可以在解题时消去．（4）“部分设元”与“整体设元”转换：当整体设元有困难时，可以考虑设其一部分为未知数，反之亦然，如：数字问题．初中数学同步课程《一元一次方程》.2/13模块一：数字问题（1）多位数字的表示方法：一个两位数的十位数字、个位数字分别为a、b，（其中a、b均为整数，19a，09b）则这个两位数可以表示为10ab．一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，（其中均为整数，且19a，09b，09c）则这个三位数表示为：10010abc．（2）奇数与偶数的表示方法：偶数可表示为2k，奇数可表示为21k（其中k表示整数）．（3）三个相邻的整数的表示方法：可设中间一个整数为a，则这三个相邻的整数可表示为1,,1aaa．【例1】一次数学测验中，小明认为自己可以得满分，不料卷子发下来一看得了96分，原来是由于粗心把一个题目的答案十位与个位数字写颠倒了，结果自己的答案比正确答案大了36，而正确答案的个位数字是十位数字的2倍．正确答案是多少?【解析】此题中数据96与列方程无关．与列方程有关的量就是小明粗心后所涉及的量．设正确答案的十位数字为x，则个位数字为2x，依题意，得(102)(102)36xxxx，解之得4x．于是28x．所以正确答案应为48．【答案】48【例2】某年份的号码是一个四位数，它的千位数字是2，如果把2移到个位上去，那么所得的新四位数比原四位数的2倍少6，求这个年份．【解析】设这个年份的百位数字、十位数字、个位数字组成的三位数为x，则这个四位数字可以表示为21000x，根据题意可列方程：1022210006xx，解得499x【答案】2499年【例3】有一个四位数，它的个位数字是8，如果将个位数字8调到千位上，则这个数就增加117，求这个四位数．【解析】设由原数中的千位数字、百位数字和十位数字组成的三位数为x，则这个四位数可以表示为108x，则调换后的新数可以表示为8000x，根据题意可列方程1088000117xx，解得875x，所以这个四位数为8758【答案】8758初中数学同步课程《一元一次方程》.3/13【例4】五一放假，小明的爸爸开车带着小明和妈妈去郊游，他们在公路上匀速行驶，下表是小明每隔1小时看到的路边里程碑上数的信息．你能确定小明在7:00时看到的里程碑上的数是多少吗？【解析】设小明在7:00时看到的两位数的十位数字是x，则个位数字是7x，根据题意可列方程：10071071071007xxxxxxxx，解得1x，所以76x．【答案】小明在7:00时看到的两位数是16．模块二：日历问题（1）、在日历问题中，横行相邻两数相差1，竖列相邻两数相差7．（2）、日历中一个竖列上相邻3个数的和的最小值时24，最大值时72，且这个和一定是3的倍数．（3）、一年中，每月的天数是有规律的，一、三、五、七、八、十、十二这七个月每月都是31天，四、六、九、十一这四个月每月都是30天，二月平年28天，闰年29天，所以，日历表中日期的取值是有范围的．【例5】下表是2011年12月的日历表，请解答问题：在表中用形如下图的平行四边形框框出4个数，（1）若框出的4个数的和为74，请你通过列方程的办法，求出它分别是哪4天？（2）框出的4个数的和可能是26吗？为什么？【解析】（1）设第一个数是x，则根据平行四边形框框出4个数得其他3天可分别表示为1x，6x，7x．根据题意可列方程：16774xxxx，解得15x；所以它分别是：15，16，21，22；（2）设第一个数为x，则41426x，3x，本月3号是周六，由平行四边形框框出4个数，得出结论：无法构成平行四边形．【答案】（1）15，16，21，22；（2）无法构成平行四边形．时间里程碑上数的特征7:00是一个两位数，它的个位数字与十位数字之和是78:00十位数字和个位数字与7:00时所看到的正好颠倒了9:00比7:00时看到的两位数中间多一个0初中数学同步课程《一元一次方程》.4/13【例6】如图，框内的四个数字的和为28，请通过平移长方形框的方法，使框内的数字之和为68，这样的长方形的位置有几个？能否使框内的四个数字之和为49？若能，请找出这样的位置；若不能，请说明理由．【解析】（1）设四个数字是a，1a，7a，8a，根据题意可列方程：17868aaaa，解得13a．则平移后的四个数是13、14、20、21．（2）设四个数字是x，1x，7x，8x，则41649x，334x．不合题意，舍去．【答案】平移后的四个数是13、14、20、21，这样的长方形的位置只有1个；不存在能使四个数字的和为49的长方形．【例7】把2012个正整数1，2，3，4，…，2012按如图方式排列成一个表．（1）用如图方式框住表中任意4个数，记左上角的一个数为x，则另三个数用含x的式子表示出来，从小到大依次是________________．（2）由（1）中能否框住这样的4个数，它们的和会等于244吗？若能，则求出x的值；若不能，则说明理由．【解析】（1）∵记左上角的一个数为x，∴另三个数用含x的式子表示为：8x，16x，24x．（2）不能．假设能够框住这样的4个数，则：81624244xxxx，解得49x．∵49是第七行最后一个数，∴不可以用如图方式框住．【答案】（1）8x，16x，24x；（2）不能．模块三：和差倍分问题和、差、倍问题关键要分清是几倍多几和几倍少几．（1）当较大量是较小量的几倍多几时，=较大量较小量倍数+多余量；（2）当较大量是较小量的几倍少几时，=较大量较小量倍数-所少量．初中数学同步课程《一元一次方程》.5/13【例8】一部拖拉机耕一片地，第一天耕了这片地的23；第二天耕了剩下部分的13，还剩下42公顷没耕完，则这片地共有多少公顷？【解析】设这片地共有x公顷，第一天耕了这片地的23，则耕地23x公顷，第二天耕了剩下部分的13，则第二天耕地1211339xx（公顷），根据题意可列方程：214239xxx，解得189x．【答案】189．【例9】牧羊人赶着一群羊寻找一个草长得茂盛的地方，一个过路人牵着一只肥羊从后面跟了上来，他对牧羊人说：“你赶的这群羊大概有100只吧!”牧羊人答道：“如果这群羊增加一倍，再加上原来这群羊的一半，又加上原来这群羊一半的一半，连你这只羊也算进去，才刚好凑满100只．”问牧羊人的这群羊共有多少只?【解析】设这群羊共有x只，根据题意可列方程：112110024xxx，解得36x.【答案】36【例10】有粗细不同的两支蜡烛，细蜡烛之长时粗蜡烛之长的2倍，细蜡烛点完需1小时，粗蜡烛点完需2小时，有一次停电，将这样的两支未使用过的蜡烛同时点燃，来电时，发现两支蜡烛所剩的长度一样，问停电的时间有多长？【解析】设停电时间为x小时，粗蜡烛长l米，则细蜡烛长2l米，那么细蜡烛每小时点燃2l米，粗蜡烛没小时点燃2l米，根据题意可列方程：222lllxlx，解得23x【答案】停电时间为23小时【例11】2006年我市在全国率先成为大面积实施“三免一补”的州市，据悉，2010年我市筹措农村义务教育经费与“三免一补”专项资金3.6亿元【由中央、省、市、县（区）四级共同投入，其中，中央投入的资金约2.98亿元，市级投入的资金分别是县（区）级、省级投入资金的1.5倍、18倍】，且2010年此项资金比2009年增加1.69亿元．（1）2009年我市筹措农村义务教育经费与“三免一补”专项资金多少亿元？（2）2010年省、市、县（区）各级投入的农村义务教育经费与“三免一补”专项资金各多少亿元？（3）如果按2009-2010年筹措此项资金的年平均增长率计算，预计2011年，我市大约需要筹措农村义务教育经费与“三免一补”专项资金多少亿元（结果保留一位小数）？【解析】（1）3.611.691.91（亿元）．（2）设市级投入x亿元，则县级投入23x亿元，省级投入118x亿元，由题意得：212.983.6318xx，解得0.36x．所以20.243x（亿元），10.0218x（亿元）．（3）1.693.616.81.91（亿元）．【答案】（1）1.91亿元；（2）省、市、县分别投入0.02亿元、0.36亿元、0.24亿元；（3）6.8亿元．初中数学同步课程《一元一次方程》.6/13模块四：行程问题一、行程问题路程=速度×时间相遇路程=速度和×相遇时间追及路程=速度差×追及时间二、流水行船问题顺流速度=静水速度+水流速度逆流速度=静水速度－水流速度水流速度=12×（顺流速度－逆流速度）三、火车过桥问题火车过桥问题是一种特殊的行程问题，需要注意从车头至桥起，到车尾离桥止，火车所行距离等于桥长加上车长，列车过桥问题的基本数量关系为：车速×过桥时间=车长+桥长．【例12】有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙背向而行．甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米．出发后，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇，求花圃的周长．【解析】设甲、乙相遇时间为t分钟，则甲、丙相遇时间为3t分钟，根据题意，由相遇路程相等可列方程383634036t【答案】8892米【例13】某人从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟，若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在此人打算在火车开车前10分钟到达火车站，则此人此时骑摩托车的速度应为多少？【解析】设此人从家里出发到火车开车的时间为x小时，根据题意可列方程：151530()18()6060xx，解得1x，此人打算在火车开车前10分钟到达，骑摩托车的速度应为1530(1)602710160（千米/时）【答案】27【例14】甲、乙两车同时从A，B两地出发，相向而行，在A，B两地之间不断往返行驶．甲车到达B地后，在B地停留了2个小时，然后返回A