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A1．哪些自然数除以6所得的商与余数相同？2．310被一个数两位数除，余数是37，这个两位数是多少？3．求12345678×56789的积除以9的余数。4．有一个自然数，用它分别去除63、90、130都有余数，三个余数的和为25，这三个余数中最小的一个是几？5．有一个整数，除300，262，205，得到相同的余数（且余数都不为0）。这个整数是多少？6．从1、2、3、……、49、50。这五十个数中，取出若干个数使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数？7．已知A=199119911991………1991，问A除以13的余数是几？1991个19918．将自然数从1到2005连续写成一个多位数1234……20042005，这个多位数除以3的余数是多少？9．有5个不同的自然数（0除外），它们当中任意3个数的和是3的倍数，任意4个数的和是4的倍数，为了使这5个数的和尽可能小，这5个数分别是多少？10．一个十几岁的男孩，把自己的岁数写有父亲的岁数之后，组成一个四位数，从这个四位数中减去他们两个人岁数之差和4289。男孩几岁？B1．71427和19的积被7除，余数是几？2．某数用3除余1，用5除余3，用7除余5，此数最小为多少？3．一个四位数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4……被10除余9，求出这样的四位数。12．有一个整数，用它去除63、91、129，所得的3个余数的和是25，这个整数是多少？4．32005的末两位数是多少?5．888888……88÷26的余数是多少？2001个86．某数除1186余1，除2609余2，除4263少3，这个数最大是多少？7．一个数除以11所得的余数是3，如果把这个数增加11后，除以13所得的商不变，且余数为0，这个数是多少？8．n=191919……1919，n被9除所得的商的个位数是多少？1919个19199．能被5除尽，被715除余10，被247除余140，被391除余245，被187除余109的最小整数是多少？10．将自然数N写在任意一个自然数的右面（例如：将2写在35的后面得352），如果得到的新数都能被N整除，那么N称为魔术数。小于1996的自然数中有多少个魔术数？解答A1．除以6商与余数相同的数一定是7的倍数，有7，14，21，28，35这样五个数。2．310－23=273=3×7×13大于37的两位约数有3×13=39，7×13=91，这样的两位数有两个：39和91。3．解：12345678能被9整除，所以积一定能被9整除，余数是0。4．解：（1）这个自然数一定小于63，不然的话它除63的余数就是63了；（2）这个自然数一定比9大，因为三个余数的平均数大于8；（3）根据同余的规律，这个自然数能被63＋90＋130－25的差258整除。所以只要找出258比9大，比63小的约数就可以了。258=2×3×43。258比9大，比63小的约数只有43。答：这个自然数是43。5．根据同余，300－262=38，262－205=57，这个数是（57，38）=19。6．在1到50各数中，除以7余1的数有8个；除以7余2的数有7个；除以7余3的数有7个；除以7余4的数有7个；除以7余5的数有7个；除以7余6的数有7个；除以7能整除的数也是7个。可以取出所有除以7余1的8个数，除以7余2的7个数，除以7余3的7个数，再取出一个除以7能整除的数，所以最多取出23个数。7．用若干个1991组成的多位数去除以13，看它的余数有什么规律。1991÷13余2，19911991÷13余8，199119911991÷13正好整除。而1991÷3余2，199119911991……1991除以13的余数与19911991÷13的余1991个1991数相同。本题答案是8。8．余数是1。连续的3个自然数，其各位数字之和一定是的倍数，组成的多位数也是3的倍数。从1到2004共2004个自然数写成的多位数1234……20032004能被3整除，本题只要看最后一个自然数2005除以3的余数就好了。2005除以3的余数是1。9．这五个数除以3的余数必须相同，除以4的余数也必须相同。考虑这5个数分别除以3、4余数都是1时为最小。那么这5个数最小是1，13，25，37，49。10．设父亲的年龄是x岁，儿子年龄是y岁，依题意得：100x＋y－（x－y）=4289即：4289=99x＋2y（1）如果用99去除4289可得4289÷99=43÷……32即：4289=99×43＋2×16（2）比较（1）式和（2）式可得：x=43，y=16岁。所以父亲的年龄是43岁，儿子年龄是16岁。B1．71427÷7余6，19÷7余5，两数的积被7除的余数是6×5÷7=4……2。所以余数是2。2．满足被3除余1的数是：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28……满足被5除余3的数是：3，8，13，18，23，28，33，38，43，48……同时满足被3除余1，满足被5除余3的数是：13，28，43……在这个数列中，再找出满足被7除余5的数最小是103。所以最小的数为103。这道题还可以从余数都与除数差2这一点上去想，这个数加上2就能被3、5、7同时整除。原数最小是[3，5，7]－2=105－2=103。3．这个四位数加上1后，能被2、3、4…、9、10全部整除，所以应求2，3，4，…，9，10的最小公倍数：（2，3，4，…，9，10）=2520该数是四位数，只有：2520×K－1，当K=1，2，3时，分别为2519，5039，7559。4．3的n次方123456789101112末两位数0309278143298761834947413的n次方1314151617181920212223…末两位数2369072163896701030927…从表中可知，3的n次方的末两位数出现的规律是每20个数一个周期。所以32005的末两位数与35的末两位数字相同，是43。5．888888÷26=341882001÷6=333……3即原数除以26的余数与888除以26的余数相同。所以余数是4。6．（1186－1），（2609－2），（4263＋3）一定能被某数整除。于是2607-1185=1422=2×3×3×79，4266-2607=1659=3×7×79这个数最大是3×79=237。7．设被除数为a，商为b，依题意得：a÷11=b……3即a=11b＋3（1）（a＋11）÷13=b即13b=a＋11（2）（1）代入（2）得：13b=11b＋3＋11所以2b=14b=7所以a=11b＋3=11×7＋3=808．原数的各位数字之和是（1＋9＋1＋9）×1919=38380，38380除以9的余数是4，则191919……191919191915能被9整除，所得的商的个位数1918个1919是5。9．被715除余10的数一定能被5整除，可见第一句话是多余的；因为原数是5的倍数，140也是5的倍数，所以由第三句话可直接导致该数被247×5=1235除余数为140，同理，由第四句话知该数被391×5=1955除余数为245。现在从被1995除余245，被1235除余140出发。245＋1955n220041556110806510020…(245＋1955n)÷1235r的余数9654501170655140……依次试除，发现10020被715除余10，而且被187除余109，10020即为所求的最小整数。10．设P为任意一个自然数，将魔术数N（N﹤1996）接后的PN，下面对N为一位数、两位数、三位数、四位数分别讨论：（1）当N为一位数时，PN=10P＋N，依题意N|PN，则N|10P，由于需对任意数P成立，故N|10，N=1，2，5。共3个。（2）当N为两位数时，PN=100P＋N，依题意N|PN，则N|100P，故N|100，N=10，20，25，50。共4个。（3）当N为三位数时，PN=1000P＋N，依题意N|PN，则N|1000P，故N|1000，N=100，125，200，250，500。共5个。（4）当N为四位数时，PN=100P＋N，同理可得N=1000，1250，2000，2500，5000。小于1996的有2个。综上所述，小于1996的魔术数的个数为14个。