直线一级倒立摆的牛顿—欧拉方法建模

直线一级倒立摆的牛顿—欧拉方法建模概述系统建模可以分为两种：实验建模和机理建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入—输出关系；机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入—状态关系。建模方法对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。但经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。系统模型在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图所示。XmI图1直线一级倒立摆系统bFMl系统模型我们不妨做以下假设：•M小车质量•m摆杆质量•b小车摩擦系数•l摆杆转动轴心到杆质心的长度•I摆杆惯量•F加在小车上的力•x小车位置•a摆杆与垂直向上方向的夹角XmI图1直线一级倒立摆系统bFMl微分方程的推导下面是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车和摆杆相互作用力的水平和垂直的分量。注意：图示方向为矢量正方向。FMPNXXXb图2小车隔离受力图图3摆杆隔离受力图NmgPlI微分方程的推导•分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：FMPNXXXb图2小车隔离受力图NxbFxM微分方程的推导•分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：NxbFxM)sin(22lxdtdmN图3摆杆隔离受力图NmgPlIsincos2mlmlxmN)1.1(sincos)(2FmlmlxbxmM•摆杆水平方向的受力进行分析，可以得到下面等式：即：•代入上式中，得到系统的第一个运动方程：微分方程的推导•分析摆杆垂直方向所受的合力，可以得到以下方程：)cos(22ldtdmmgPcossin2mlmlmgPINlPlcossin)2.1(cossin)(2xmlmglmlI图3摆杆隔离受力图NmgPlI即：•力矩平衡方程如下：•合并这两个方程，约去P和N，得到系统的第二个运动方程：微分方程的推导假设很小，即，则可以进行近似处理：0,sin,1cos0•用来代表被控对象的输入力，线性化后两个运动方程如下：F)3.1()()(2umlxbxmMxmlmglmlI传递函数对方程组(1.3)进行拉普拉斯变换，得到)4.1()()()()()()()()()(22222sUssmlssbXssXmMssmlXsmglssmlI整理消去X(s)后得到传递函数：(假设初始条件为0)sqbmglsqmglmMsqmlIbssqmlsUs23242)()()()(其中：)]())([(22mlmlImMq状态空间方程系统状态空间方程为：DuCXyBuAXXuMmlmMImlMmlmMImMmglxMmlmMImlbuMmlmMImlIMmlmMIglmxMmlmMIbmlIxxx2222222222)()()()()()()()()(方程组(1.3)对，解代数方程，得到解如下：x状态空间方程整理后得到系统状态空间方程：uMmlmMImlMmlmMImlIxxMmlmMImMmglMmlmMImlbMmlmMIglmMmlmMIbmlIxx2222222222)(0)(00)()()(010000)()()(00010uxxxy0001000001开环系统仿真实际系统的模型参数如下：M小车质量m摆杆质量b小车摩擦系数l摆杆转动轴心到杆质心的长度I摆杆惯量T采样频率Kg096.1Kg109.0sec//1.0mNm25.020034.0mkgsec005.0