电动力学三二(磁标势)

1在一般情况下磁场不能用标势描述，而需要矢势描述。矢势描述虽然是普遍的，但解矢势A的边值问题比较复杂，因此，我们考虑在某些条件下是否仍然存在着引入标势的可能性。1、标势的引入L为S的边界。如果回路L环着电流，即有电流穿过L所围曲面S，则2,SLSdJldH由磁场环路定律得,0LldH在这种情况下H和力学中的非保守力场相似，因而不能引入标势。3,0LldH在解决实际问题时，我不考虑整个空间中的磁场，而只求某个区域的磁场。如果所有回路都没有链环着电流，则因而在这个区域内可以引入标势。0H4问题的提出：如果所讨论的区域没有传导的电流，那么是否就一定可以采用类似电势的磁势来描述静磁场？答案：否5分析这样一个例子：除了载流线圈所处的位置，空间任意一点的磁场强度满足0H6对于积分回路L1这个结果与麦克斯韦方程之相一致。7对于积分回路,假设回路L2上的每一点的磁势都有定义,则：由麦克斯韦方程组之一，得：相矛盾！8如果我们挖去线圈所围着的一个壳形区域之后，则剩下的空间V中任一闭合回路都不链环着电流（如图）。因此，在除去这个壳形区域之后，在空间中就可以引入磁标势来描述磁场9例如空间一根无限长载流直导线，导线外的空间中不存在电流，但在导线外空间中仍可作出连环着电流的闭合曲线。为了使导线外空间满足可以用标势描述的条件，我们需要去掉含导线在内的整个半无限大平面。这时闭合曲线L，由于去掉了在半无限大平面上的点，就不再是闭合的了。其余空间中任何一条闭合曲线都不会再连环着电流。从物理上看上述作法相当于把磁场由横场变为纵场。由于去掉的部分切断了原来闭合的磁力线，使磁力线从从半无限大平面一侧发出，终止在另一侧上，就好象一面分布有正磁荷，而另一面上有负磁荷，这样磁力线就成为由正磁荷发出，终止在负磁荷上的纵场。因此可以用标势描写。10又例如电磁铁，我们想求出两磁极间隙处的磁场，在这个区域内也可以引入磁标势。至于永磁体，它的磁场都是由分子电流激发的，没有任何自由电流，因此永磁体的磁场甚至在空间（包括磁铁内部）都可以用磁标势来描述。11总结起来，在某区域内能够引入磁标势的条件是该区域内的任何回路都不被电流所链环，就是说该区域是没有自由电流分布的单连通区域。12在J=0的区域内，磁场满足方程0H0B)()(0HfMHB2·公式推导此式表示一般的函数关系，是由于在铁磁性物质中，线性关系B=H不成立。磁标势法的一个重要应用是求铁磁体的磁场，则此式中函数f(H)不是单值，它依赖于磁化过程。13MH分子电流看作由一对假想磁荷组成的磁偶极子，则物质磁化后就出现假想磁荷分布，和电场值中P=－P对应，假想磁荷密度为.0Mm0B)()(0HfMHB因14在J=0区域内，所满足的微分方程0/mH0H静电场微分方程0/)(pfE0E两组方程对比，差别仅在于没有自由磁荷，这是由于磁荷都是由分子电流的磁偶极矩假想而来的，到目前为止实验还没有发现以磁单极子形式存在的自由磁荷。15mH用磁标势法时，H和电场中的E相对应。由此，可以引入磁标势m，使02/mm1617磁标势在两介质交界面上的边值关系可以从普遍磁场的边值关系得出。0)(12BBnfaHHn)(12122100()msmsffnHH(进行分量展开)则磁标势边值关系：mH)(0MHB把代入得出另一边值关系：2100021()mmmmnnnMM18对于非铁磁质来说，，故得到HμBSm11Sm22nμnμ19例1：一个半径为R0的均匀带电薄导体球壳，绕自身某直径以角速度ω旋转，给定球壳上的总电荷Q，求球壳内外空间中磁场。fvr解：取球心为原点、极轴沿转轴的球坐标系。球壳上有面电流电流仅有方向分量，并且电流分布与角无关。显然问题具有轴对称e0R有限的边界条件。mR0m球转动时在球面上形成传导面电流，将球内外分成两个区，每一个区都可以用磁标势．由于球内外都是真空，所以球内外的磁标势都满足拉普拉斯方程．以球心为原点，ω方向为球坐标极轴，磁标势是(R,θ)的函数。考虑到：ff0()RR0()RR2122例2：设x0半空间充满磁导率为的均匀介质，x0的半空间为真空。有线电流I沿z轴流动。求磁感应强度和磁化电流分布。xyz0n1mmmmrzeeeHrrz磁化电流Im在z轴,介质面上无磁化电流。空间磁场由I、Im共同决定。磁场应正比于1/r，与z、无关。因H正比于1/rm常数选020m解：将线电流表面及x=0,y0的界面挖去设x0,；；x0，。它们均满足拉普拉斯方程。2m1m在柱坐标中：确定常数：20,0m0D1/22/2||mm/212/20/2||mm0()/2BACAC由安培环路定理：LHdlI/ACI00,()AI00,()BI0()CI代入即可得到解。然后利用0()mLBdlII00mII得磁化电流1mAB2mCD设25例1证明的磁性物质表面为等磁势面。26001212HHn,BBn,111202HBHB以及式中n和t分别表示法向和切向分量。,,12120ttnnHHHH可得解以角标1代表磁性物质，2代表真空，由磁场边界条件27011022ntntHHHH在该磁性物质外面，H2与表面垂直，因而表面为等磁势面两式相除得28例2求磁化矢量为M0的均匀磁化铁球产生的磁场。290MM000Mm因此磁荷只分布在铁球表面上。球外磁势1和球内磁势2都满足拉普拉斯方程，.0,02212解铁球内和铁球外两均匀区域。在铁球外没有磁荷。在铁球内由于均匀磁化，则有30由于球外磁势随距离的增大而减小，所以1展开式只含R负幂次项nnnnPRb)(cos11而球内磁势2只含R正次幂项).(cos2nnnnPRa31铁球表面边界条件为当R=R0(R0为铁球半径)时，且设球外为真空，则有RRBB21012BBn3221HH21或012HHn33cos)(coscos001000200202MPRnaMRMHBnnnnRRR),(cos)1(2010101nnnnRRPRbnRHB34)cos)(cos)(cos)1(101020PMPRnaPRbnnnnnnnnn).(cos)(cos010nnnnnnnnPRaPRb通过比较得1.n0,.31,31300101nnbaRMbMa由RRBB212135于是得,3cos3303023001RRMRRRM.31cos31002RMRMnnnnPRb)(cos11).(cos2nnnnPRa1.n0,.31,31300101nnbaRMbMa36铁球外的磁场是磁偶极子产生的场，磁矩为VMMRm3430球内磁场是.32)(,31000002MMHBMHV为铁球的体积,3cos3303023001RRMRRRM.31cos31002RMRM3738例3求电流线圈的磁标势39设电流线圈载有电流I，它可以看作线圈所围的一个曲面上许多载电流I的小线圈组合而成。设位于x点上的小线圈的面元为dS’，它的磁矩为'ddSIm解40磁偶极子的磁标势为,d4d44dd3'3IrSrIrrmmd为面元dS’对场点x张开的立体角。41整个电流线圈产生的磁标势为,4ImΩ为线圈对场点x所长开的立体角42如图，若x点在线圈所围曲面的上方时，则0；若x点在曲面下方，则0。当x点跨越曲面时,有不连续值=4，因此，用磁标势法描述电流的磁场时，必须除去线圈所围的一个曲面。