足球场上的数学：空间、时间

足球场上的数学：空间、时间摘要本文运用层次分析、随机抽样方法对当前国际比赛场地尺寸、比赛时间进行了合理性判定，并根据层次分析法得到的各指标的权重，建立模型，求出其他人群适合的足球场地尺寸和比赛时间。对于问题一，首先通过建立层次分析模型，得到影响球场尺寸、比赛时间的各个指标权重,再整理、综合各文献和专家意见，得到符合当前国际比赛场地各指标的最佳值，然后根据最佳值得到各指标的合理性评价标准。通过查找数据，计算出各指标的平均值，依据合理性评价标准，对各指标平均值打分。最后将各指标的权重与合理性评分相乘得到综合评分，即可判断球场大小、比赛时间的合理性。问题二，由于影响足球场尺寸大小、比赛时间的指标权重为恒定指数，在计算具体某一类人群对应的足球场尺寸大小和比赛时间时，只要获得其各个影响指标的具体值，代入模型2即可求出。问题三中，我们根据前两问的数据以及经验，估计各个年龄段的爱好者适宜的尺寸以及时间，可以让他们在一定的尺寸和时间内得到充分的运动。关键词：层次分析、随机抽样法一、问题的重述精彩的2014巴西世界杯决赛在两支最优秀的队伍（德国、阿根廷）之间展开并以德国夺冠而告终。在长达一个月的时间内，世界杯赛事吸引了无数足球爱好者。在足球比赛中，参赛人数、足球场的尺寸（包括球场的大小，大禁区、小禁区的大小以及球门的大小）、比赛的时间等在正式比赛中都有统一规定。这些数据除了足球发展的历史原因，也考虑了许多实际因素，如运动员的体力、运动员的技术、运动员的力量、比赛的精彩程度、进球的数量等等。（1）试利用国际专业赛事的相关数据，比如运动员身高体重、跑动能力，触球次数、传接球准确率、射门次数、进球数据等，建立适当的数学模型，说明当前的球场尺寸以及比赛时间是否合理，如果合理，原因是什么？如果不合理，应该如何调整？（2）除了足球专业运动员，其他人群，比如小学生、中学生、大学生、社会人员等，都在享受这项运动带来的快乐。利用已建立的模型，根据不同人群的身体特点，设定一些你认为合适的场地尺寸和比赛（练习）时间。（3）给出一份简短的说明，让不同层次的爱好者选择最适当的方式，并说明这样设计的原因和好处。二、问题分析在问题一中，根据相应的数据计算足球场的尺寸和时间的合理性，首先制定了一系列的因素来分别表示出对尺寸和时间的影响，查阅相应文献以及专家意见分别运用层次分析法satty九级标度列出比较矩阵，并且求出各个因素对尺寸和时间的权重。再根据随机抽样得到国际专业赛事相关因素的数据，与整理资料得到的最佳值进行合理性评价，进行平均评分，与之前的各个因素的权重相乘，得到综合评分，根据评分来判断球场大小和事件的合理性。在问题二中我们不同阶段人群的相应数据与国际标准数据进行比例分析，然后与各个因素的权重进行相乘，得到综合比重，再与国际专业赛事大小进行比较得到不同阶段的数据。问题三中，我们根据前两问的数据以及经验，估计各个年龄段的爱好者适宜的尺寸以及时间，可以让他们在一定的尺寸和时间内得到充分的运动。三、模型假设结合本题的实际，为了确保模型求解的准确性和合理性，我们排除了一些位置因素的干扰，提出以下几点假设：1、假设在该模型中不考虑天气等客观因素对运动员跑动能力、体能等的影响。2、假设各指标对足球场尺寸和大小的影响程度是不会随机变动的。3、假设在模型二中，只考虑11人制足球场的尺寸，不考虑其他情况的尺寸。4、假设在模型二中忽略极端值的情况，只取个阶段人群的平均。四、符号说明符号说明Aii=1表示球场尺寸的判断阵，i-2表示时间的判断阵Bj表示球场尺寸的第i个指标（1≤i≤4）Ck表示比赛时间的第k个指标（1≤k≤4）hi、wi、ri、li表示第i类人的身高、体重、跑动能力、长传h0、w0、r0、l0最佳身高、体重、跑动能力、长传is、ij、iq、in射门次数、进球、传球成功率、体能s、j、q、n最佳射门次数、进球、传球成功率、体能五、模型的建立与求解5.1问题一本题我们通过国际足球数据库查阅到相关数据，建立层次分析模型，得到影响球场尺寸、比赛时间的各个指标权重,再整理、综合各文献和专家意见，得到符合当前国际比赛场地（长必须≥100米且≤110米，宽必须≥64米且≤75米）各指标的最佳值，然后根据最佳值得到各指标的合理性评价标准。通过查找数据，计算出各指标的平均值，依据合理性评价标准，对各指标平均值打分。最后将各指标的权重与合理性评分相乘得到综合评分，即可判断球场大小、比赛时间的合理性。5.11模型建立：利用国际专业赛事的相关数据，说明当前的球场尺寸以及比赛时间是否合理。因此我们用足球运动员的身高、体重、跑动能力、长传这4个元素来判断球场尺寸的合理性；用射门次数、进球、传球成功率、体能4元素判断比赛时间的合理性。面对此类问题，首先把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型，复杂问题被分解为元素的组成部分。我们建立了两个层次结构模型分别说明球场尺寸、比赛时间是否合理，模型建立如下：图1：球场尺寸层次结构模型图2：比赛时间层次结构模型图1、2中第一层为目标层，第二层为准则层。设图1准则层的4个准则为:B1：身高，B2：体重，B3：跑动能量，B4：长传。设图2准则层的4个准则为：C1：射门次数，C2:进球，C3：传球成功率，C4:体能。相对于目标层球场尺寸、比赛时间两两比较打分，分别够造了2个判断矩阵为A1、A2：13/15731955/19/112/17/15/121432114321BBBBABBBB19759/1124/17/12/123/15/1431432124321CCCCACCCC5.12.模型的求解：5.12-1指标权重判断矩阵1A的特征问题WAWMAX,根据所得出的矩阵，运用Matlab对矩阵进行分析，根据随机一致性指标计算一致性比率判断矩阵元素的取值后，得到矩阵的特征向量为：TA3114.05574.00510.00802.01TA6631.00775.00623.01970.025.12-2各指标合理性阀值设定1）各指标平均值通过查找足球数据库，得到欧洲足球五大联赛和欧洲足球联合会冠军联赛六大国际联赛的数据，从每个联赛随机抽取15支球队，求出所有球队各指标的平均值[附表1]，即代表目前国际足球队的平均水平。2）各指标最佳值整理、综合各文献和专家意见，得到符合当前国际比赛场地（长必须≥100米，≤110米，宽必须≥64米，≤75米）各指标的最佳值,影响球场尺寸、比赛时间的指标最佳值分别见表2、表3。.表2影响球场尺寸的指标最佳值表3影响比赛时间的指标最佳值3）各指标合理性评价标准根据最佳值得到各指标的合理性评价标准。如下：指标合理基本合理不合理综合评价赋分100-8080-5050合理基本合理合理身高(cm)[175,185][170,175]||[185,190]其他100-8080-5050体重(kg)[70,80][65,70]||[80.85]其他跑动能力(km)[7,11][5，7]||[11-14]其他长传(m)[50,60][60,70]其他表3.1影响球场尺寸各指标合理性评价标准身高体重跑动能力长传180.4m75.6kg9km55m射门次数（次/场）进球（颗/场）传球成功率（%）体能（kg/m2)131.570127.5指标合理基本合理不合理综合评价赋分100-8080-5050合理基本合理不合理射门次数（次/场）[12,14][11,12]||[14,15]其他100-8080-5050进球（颗/场）[1,2][0.5,1]||[2,2.5]其他传球成功率（%）[60,80][50，60]||[80-90]其他体能(2/mkg)[125,130][120,125]||[130-135]其他表3.2影响比赛时间各指标合理性评价标准4）计算综合得分，判断合理性。根据评价标准，得出表1各指标平均值的得分，将影响球场尺寸各指标得分记向量1D，影响比赛时间各指标得分记为向量2D,如下：529394941D974591942D设球场大小的合理性综合评分为1C，比赛时间的合理性综合评分为2C，则111DAC，222DAC。计算得到：4.801C，0.922C，因为1C、2C均大于80，那么可以认为当前的球场尺寸以及比赛时间合理。5.13模型的检验：为了保证层次单排序的可信性，需要对判断矩阵的一致性进行检验，亦即要计算随机一致性比率，一致性指标：CI=1-nn一致性比率：RICICR当CR0.1，认为层次单排结果满意。对于1A、2A特征向量，Matlab算出其一致性比率分别是：0.0723、0.0810。均小于0.1，所以认为结果满意，得到的特征向量为权重向量。5.2问题二：由于影响足球场尺寸大小、比赛时间的指标权重为恒定指数，在计算具体某一类人群对应的足球场尺寸大小和比赛时间时，只要获得其各个影响指标的具体值，代入模型2即可求出。5.21模型的建立1）假设一某一类人群的身高、体重、跑动能力、长传分别为hi、wi、ri、li,通过问题一得到的最佳身高、体重、跑动能力、长传分别为：h0、w0、r0、l0。将对应指标相比得到矩阵1p。2）假设这类人群的射门次数、进球、传球成功率、体能分别为：is、ij、iq、in,同样根据问题一得到的最佳射门次数、进球、传球成功率、体能分别为：s、j、q、n，再将对应指标相比得到矩阵2p。3）假设需要求得足球场的长、宽、比赛时间分别为1a、1b、1t,根据问题一得到的当前国际足球场地的长宽、比赛时间为a、b、t。根据如上假设的参数，将矩阵1p与1A相乘，2p与2A相乘，可建立如下模型，求出具体某一类人群所适合的足球场尺寸大小、比赛时间bbaaAllrrwwhhTiiii///,/,/,/1110000ttAnnqqjjssTiiii//,/,/,/12）（5.3问题三：因为在第一问中我们根据国际专业赛事中的数据统计和分析知道当前足球场的尺寸及比赛时间的确定是合理的，而在第二问中我们建立的模型可以得出相应的关系向量，再根据查阅的相关资料可以得出适应于不同阶段的足球爱好者的足球场的尺寸。适合小学生足球爱好者的足球场的尺寸可以设为长80米宽20米或者是长60米宽40米，考虑到小学生的体能等因素比较差，所以其比赛时间可以设定的比正常情况的比赛时间稍微短一些，可以设为60分钟。适合中学生足球爱好者的足球场可以设定为长80米宽40米或者长90米宽30米尺寸大小的足球场。中学生的体能、技术等都比小学生要，所以其比赛时间可以设定为80分钟。对于大学生和社会人这一群体，考虑到他们已经成年，且一般爱好者都有一定的球技，所以我们把足球场的尺寸设为长90-110米,宽45-90米的标准尺寸，比赛时间也为标准时间90分钟。这样设计的原因是充分考虑不同阶段的足球爱好者的身体、技术等个方面的情况，给出适合他们阶段爱好者的尺寸和时间。其好处是可以使不同阶段的足球爱好者都能够选择合适自己的足球场踢足球，充分享受足球这项运动所带来的快乐。六、模型的评价与改进1．模型的优点（1）利用了国际足球比赛数据库的数据，采用随机抽样的方法，较好的完成了数据的提取。（2）本文的模型在处理问题上简洁、清晰、合理，操作简单易懂，且具有可信度，基本符合事实规律。（3）采用Excel、Matlab和SPSS软件对数据进行恰当处理，降低运算量，加快运算速度，同时可操作性强。（4）结合实际情况，全面考虑各种因素对当前球场尺寸、比赛时间的影响情况，同时又结合数学公式将实际问题显得更加形象化。（5）文中给出大量的图像表格，使读者对文章清晰易懂。2、模型的缺点（1）在模型2中，由于考虑因素比较单一，该模型不能完全符合标准足球场大小、比赛时间。（2）对某些数据处理过于理想化。（3）对结果误差考虑较少。七、参考文献[1]腾讯，国际足球数据库，，201