(0.3)《信号分析与处理》备课教案(第二章)(2)

《信号分析与处理》教案第二章：单输入单输出系统的时域分析上海大学机自学院自动化系朱晓锦43上次课回顾：1．介绍了“差分方程”经典解法的基本思路、规则和求解方法，总结了具体的求解过程和步骤，并举例进行了求解演示。2．介绍了“冲激响应”和“单位样值响应”的基本概念和实质，对“单位样值响应”的求解基本思路、规则和求解方法进行了详细说明，总结了具体的求解过程和步骤，并举例进行了求解演示。上次课“思考题”：1．在上次课例题中求系统的“零状态响应”时，能否用0)4()3(yy作为“零状态响应意义下”的初始条件来求解待定系数。2．在上次课例题中求系统的“冲激响应”时，求解1C和2C能否用1)0(h和0)1(h作为初始条件来求解？能否用0)2()1(yh作为初始条件来求解？2.5.卷积积分基本思想：在时域中，为便于求得线性时不变LTI连续时间系统的“零状态响应”，可以考虑将任意信号分解为单元信号，如果每一个单元信号在系统中产生的零状态响应易于求得，那么根据系统的“线性时不变”特性，就可以利用叠加原理方便求得原信号在系统中产生的零状态响应，这就是卷积积分方法的基本思想。依据这一基本思想，一般可以将任意激励信号分解为冲击信号之和，然后利用系统的冲击响应（就是冲击信号激励系统而产生的响应），就可以方便地求得系统对任意信号的零状态响应。《信号分析与处理》教案第二章：单输入单输出系统的时域分析上海大学机自学院自动化系朱晓锦44一、信号的时域分解与卷积积分1、信号的时域分解问)(1tf？)(tP由此可见，对于类似于)(1tf这样的矩形脉冲信号，只要它的宽度与)(tP信号的宽度相同，那么总有：)()(1tPAtf在0的极限情况下，n变为，变为d，而)(ntP就变成)()(tnt，原式也变为积分式：dtfntnftftfn)()()()()()(ˆlimlim00《信号分析与处理》教案第二章：单输入单输出系统的时域分析上海大学机自学院自动化系朱晓锦45上式表明，时域里任一函数)(tf可以近似地分解为一系列矩形窄脉冲之和，并且当上述矩形窄脉冲的脉宽趋于无限小时，)(tf实质上已经可认为是分解为一系列冲激函数之和，以积分形式进行描述表明，时域里任一函数)(tf就等于该函数与单位冲激函数的卷积。2、任意信号作用下的零状态响应3、卷积积分的定义上式表明：对于一给定线性时不变连续时间系统，它的零状态响应《信号分析与处理》教案第二章：单输入单输出系统的时域分析上海大学机自学院自动化系朱晓锦46)(tyf，可以通过该系统的冲激响应)(th与激励信号)(tf的卷积运算求得。例已知一线性时不变系统的冲击响应)()(tetht，系统的激励为单位阶跃信号)()(ttf，试求该系统的零状态响应)(tyf。解：dtethtftytf)()()()()()(，注意积分变量为。因为，0时，0)(；而t时，0)(t，因此积分限应为：t0，故)(tyf为)()1(1)()()(000)()(tedeedeededtetyttttttttf二、卷积积分的图解法)()(tetht激励)(tf响应)(tyf=?《信号分析与处理》教案第二章：单输入单输出系统的时域分析上海大学机自学院自动化系朱晓锦47卷积是一种数学运算，利用图解法可以使其运算关系形象直观，便于理解。知道了两个卷积信号的图形，可以利用图解法直接求出其卷积值。设有两函数)(1tf和)(2tf，其图形分别如图(a),(b)所示。假设)(1tf与)(2tf的卷积为)(tf,则有：dtfftftftf)()()()()(2121注意：t为参变量，积分变量为。在进行图解运算前首先将)(1tf和)(2tf变换为)(1f和)(2f，它们与原始信号波形完全相同，只是横坐标变为。为求得任意t时刻的卷积值，图解方法的卷积过程可分解为如下六步：（1）换元：t换为得到)(1f和)(2f，如图(a)。（2）反褶：将)(2f以纵轴为对称轴进行反褶得到)(2f，如图(b)。（3）平移：将)(2f自左向右平移t得到)(2tf，如图(c)。（4）相乘：)(1f与)(2tf相乘。波形重叠有值，不重叠为零，如图(d)。（5）积分：)(1f与)(2tf乘积曲线下的面积即为t时刻的卷积值，见图(d)中的阴影部分。（6）绘图：以t为横坐标，将与t对应的积分值绘成曲线，就是卷积积分)()()(21tftftf的图形，如图(e)所示。《信号分析与处理》教案第二章：单输入单输出系统的时域分析上海大学机自学院自动化系朱晓锦48《信号分析与处理》教案第二章：单输入单输出系统的时域分析上海大学机自学院自动化系朱晓锦49三、卷积积分的重要性质卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质(或运算规则)，灵活地运用它们能简化卷积运算。下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。一、卷积代数特性二、奇异函数的卷积特性1．)()()()()(tftftttf)()()()()(000ttftftttttf)()()()()(211221tttfttfttttttf2．)()()(tfttf3．tdfdtfttf)()()()()(三、卷积的微积分特性1．nnnnnndttfdtftfdttfdtftfdtd)()()()()()(2121212．])([)()(])([)()(212121tttdftftfdfdff3．tdfdttdftftftftftf)()()()()()()(21)1(2)1(121《信号分析与处理》教案第二章：单输入单输出系统的时域分析上海大学机自学院自动化系朱晓锦50解：因为，tdfdttdftftftftf)()()()()()(21)1(2)1(121所以，)2()()()1(1tttf)()1()()()()(00)1(2tetetdedetftttt故，)2(]1[)()1()()()2(21tetetftftt总结：求解卷积的方法可归纳为：（1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。（2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。（3）利用性质。比较灵活。三者常常结合起来使用。要求：P40例2-14、P42例2-15《信号分析与处理》教案第二章：单输入单输出系统的时域分析上海大学机自学院自动化系朱晓锦51思考题：1．卷积积分用于时域分析的本质是什么？2．到现在为止，求解线性时不变连续时间系统的“零状态响应”有几种方法？它们分别在什么情况下使用？预习内容：P46“卷积和“，具体内容包括：1．“卷积和“的基本思想、概念和定义。2．利用“卷积和”定义求解离散时间系统的零状态响应。3．“卷积和”的图解法。4．“卷积和”的重要性质作业：1．P502-52．P512-6(3)(4)3．P512-74.P512-85.P512-12