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第1页，共13页高一数学必修一第二章《一元二次函数、方程和不等式》训练题(16)一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1.已知函数𝑓(𝑥)=−𝑥2+4𝑥，𝑥∈[𝑚,5]的值域是[−5,4]，则实数m的取值范围是()A.(−∞,−1)B.(−1,2]C.[−1,2]D.[2,5)2.已知函数𝑓(𝑥)=√𝑚𝑥2+𝑚𝑥+1的定义域是实数集R，则实数m的取值范围是()A.(0,4)B.[0,4]C.(0,4]D.[0,4)3.已知𝑎=log50.2，𝑏=50.2，𝑐=log0.24，则()A.𝑎𝑐𝑏B.𝑐𝑎𝑏C.𝑏𝑐𝑎D.𝑐𝑏𝑎4.已知函数𝑓(𝑥)=|𝑥+1|+|𝑥−3|，若对于任意的实数x，恒有𝑓(𝑥)≥2|𝑎−1|成立，则实数a的取值范围是()A.[−1,3)B.[1,3]C.[−1,3]D.[1,3)5.已知集合𝐴={−6,−3,−2,1，2，3，5}，𝐵={𝑥|5𝑥+6≥𝑥2,𝑥∈𝑍}，则𝐴∩𝐵=()A.{−6,−3,−2}B.{2,3}C.{1,5}D.{1,2，3，5}二、填空题（本大题共9小题，共45.0分）6.已知函数𝑓(𝑥)=2𝑎𝑥2+4(𝑎−3)𝑥+5在区间(−∞,3)上是减函数，则a的取值范围是________．7.若函数𝑦=𝑥2+𝑏𝑥+2𝑏−5(𝑥2)不是单调函数，则实数b的取值范围为________．8.在△𝐴𝐵𝐶中，设角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin𝐵=sin𝐴+sin𝐶2，则1sin𝐴+1sin𝐶的最小值为________．9.函数𝑓(𝑥)=𝑥2+1𝑥2−1(𝑥1)的最小值为______．10.对任意的𝑥∈(0,+∞)，不等式(𝑥−𝑎+ln𝑥𝑎)(−2𝑥2+𝑎𝑥+10)≤0恒成立，则实数a的取值范围是_______．11.已知圆锥的底面半径为2，高为4，在该圆锥内有一个内接圆柱，该圆柱的下底面在圆锥底面上，上底面的圆周在圆锥侧面上，则当该圆柱侧面积最大时，该圆柱的高为________．12.已知函数𝑓(𝑥)=4𝑥2+𝑘𝑥−8在[−1,2]上具有单调性，则实数k的取值范围是________．13.若实数x，y满足𝑥𝑦0，且log2𝑥+log2𝑦=1，则𝑥2+𝑦2𝑥−𝑦的最小值为________．14.已知等比数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，且𝑆𝑛=3𝑛+1+𝑡2，若对任意的𝑛∈𝑁∗，𝜆(2𝑆𝑛+3)≥27(𝑛−5)恒成立，则实数𝜆的取值范围是________．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15.求下列函数的值域：(1)𝑦=𝑥2+4𝑥−2，𝑥∈𝑅；(2)𝑦=𝑥2+4𝑥−2，𝑥∈[−5,0]；(3)𝑦=𝑥2+4𝑥−2，𝑥∈[−6,−3]；(4)𝑦=𝑥2+4𝑥−2，𝑥∈[0,2]．第2页，共13页16.已知在数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=4，𝑎𝑛+1−1=𝑎𝑛+2×3𝑛．(1)证明：数列{𝑎𝑛−3𝑛}为等差数列．(2)设𝑏𝑛=2log3(𝑎𝑛−𝑛)，记数列{𝑏𝑛}的前n项和为𝑇𝑛，令𝑐𝑛=𝑇𝑛+25𝑛，问：数列{𝑐𝑛}中的最小项是第几项，并求出该项的值．17.十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作．该地区有100户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为2万元．为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员𝑥(𝑥0)户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高2𝑥%，而从事水果加工的农民平均每户收入将为2(𝑎−9𝑥50),(𝑎0)万元．(1)若动员x户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x的取值范围；(2)在(1)的条件下，要使这100户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a的最大值．18.已知函数𝑓(𝑥)=|𝑥+2|−|2𝑥−1|．(1)解不等式𝑓(𝑥)⩾−5；(2)当𝑥∈[1,3]，不等式𝑓(𝑥)⩾|ax−1|恒成立，求实数a的取值范围．第3页，共13页19.设S是不等式𝑥2−𝑥−6≤0的解集，整数m，𝑛∈𝑆．(1)设“使得𝑚+𝑛=0成立的有序数组(𝑚,𝑛)”为事件A，试列举事件A包含的基本事件；(2)设𝜉=𝑚2，求𝜉的分布列．20.已知△𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且𝑎tan𝐴=√3(𝑐cos𝐵+𝑏cos𝐶)．(Ⅰ)求角A；(Ⅱ)若点D满足𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，且𝐵𝐷=3，求2𝑏+𝑐的最大值．第4页，共13页--------答案与解析--------1.答案：C解析：【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，利用了配方法，数形结合是解决本题的关键．根据二次函数的图象和性质，即可确定m的取值范围．【解答】解：∵𝑓(𝑥)=−𝑥2+4𝑥=−(𝑥−2)2+4，∴当𝑥=2时，𝑓(2)=4，由𝑓(𝑥)=−𝑥2+4𝑥=−5，得𝑥2−4𝑥−5=0，即𝑥=5或𝑥=−1，∴要使函数在[𝑚,5]的值域是[−5,4]，则−1≤𝑚≤2，故选C．2.答案：B解析：【分析】第5页，共13页本题考查的是一元二次不等式的解法，考查分类讨论的数学思想方法，是容易题.本题的易错点是没有分𝑚=0和𝑚0．【解答】解：因为函数𝑓(𝑥)=√𝑚𝑥2+𝑚𝑥+1的定义域是实数集R，所以𝑚≥0，当𝑚=0时，函数𝑓(𝑥)=1，其定义域是实数集R；当𝑚0时，则𝛥=𝑚2−4𝑚≤0，解得0𝑚≤4．综上所述，实数m的取值范围是0≤𝑚≤4．故选B．3.答案：A解析：【分析】本题主要考查了对数函数和指数函数及其大小比较，考查计算能力和推理能力，属于基础题．根据对数函数和指数函数的性质即可推出a，b，c的范围，从而得到它们之间的关系．【解答】解：因为𝑎=log50.2=log515=−1，𝑏=50.20，𝑐=log0.240，又𝑐=log0.24log0.25=log155=−1，所以𝑎𝑐𝑏．故选A．4.答案：C解析：【分析】本题考查绝对值不等式，考查不等式恒成立问题，属于中档题．先求出𝑓(𝑥)=|𝑥+1|+|𝑥−3|的最小值，利用对于任意的实数x，恒有𝑓(𝑥)≥2|𝑎−1|成立，得到求解即可．【解答】解：，(当且仅当−1≤𝑥≤3时等号成立)，对于任意的实数x，恒有𝑓(𝑥)≥2|𝑎−1|成立，则即2|𝑎−1|⩽4，解得−1≤𝑎≤3．故选C．5.答案：D解析：【分析】本题考查集合的交集运算，属于基础题．第6页，共13页求出集合B，继而可得到𝐴∩𝐵．【解答】解：因为𝐵={𝑥|5𝑥+6≥𝑥2,𝑥∈𝑍}={𝑥|−1⩽𝑥⩽6,𝑥∈𝑍}={−1,0，1，2，3，4，5，6}．所以𝐴∩𝐵={1,2，3，5}．故选D．6.答案：[0,34]解析：解：(1)当𝑎=0时，函数为一次函数𝑓(𝑥)=−12𝑥+5为递减函数，(2)当𝑎0时，二次函数开口向上，先减后增，故函数对称轴𝑥=3−𝑎𝑎≥ 3，解得𝑎≤34；当𝑎0时，函数开口向下，先增后减，函数对称轴𝑥=3−𝑎𝑎3，解得𝑎34，又𝑎0，故舍去．故答案为[0,34]．由于a值不确定，此题要讨论，当𝑎=0时，函数为一次函数，当𝑎≠𝑜时，函数为二次函数，此时分两种情况，当𝑎0时，函数开口向上，先减后增，当𝑎0时，函数开口向下，先增后减．此题主要考查函数单调性和对称轴的求解．7.答案：(−4,+∞)解析：【分析】本题考查二次函数的图象性质的应用，属于中档题．函数𝑦=𝑥2+𝑏𝑥+2𝑏−5(𝑥2)的对称轴为𝑥=−𝑏2，根据题意−𝑏22，求解即可．【解答】解：函数𝑦=𝑥2+𝑏𝑥+2𝑏−5的图象是开口向上，以𝑥=−𝑏2为对称轴的抛物线，所以此函数在(−∞,−𝑏2)上单调递减．若此函数在(−∞,2)上不是单调函数，只需−𝑏22，解得𝑏−4.所以实数b的取值范围为(−4,+∞)，故答案为(−4,+∞)．8.答案：4√33解析：【分析】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，利用基本不等式求最值，考查运算化简的能力，属于综合题．先由sin 𝐵=sin 𝐴+sin 𝐶2，利用正弦定理得2𝑏=𝑎+𝑐，再由余弦定理及基本不等式求得𝑐𝑜𝑠𝐵⩾12，可得0sin𝐵⩽√32，再利用基本不等式可得结论．【解答】解：∵sin 𝐵=sin 𝐴+sin 𝐶2，第7页，共13页∴由正弦定理得2𝑏=𝑎+𝑐，∴由余弦定理得cos𝐵=𝑎2+𝑐2−𝑏22𝑎𝑐=(𝑎+𝑐)2−2𝑎𝑐−𝑏22𝑎𝑐=3𝑏22𝑎𝑐−1，∵2𝑏=𝑎+𝑐⩾2√𝑎𝑐，∴𝑏2⩾𝑎𝑐，当且仅当𝑎=𝑐时，取等号，∴cos𝐵⩾32−1=12，当且仅当𝑎=𝑐时，取等号，，，从而0sin𝐵⩽√32，由sin 𝐵=sin 𝐴+sin 𝐶2⩾√sin𝐴·sin𝐶，当且仅当𝑎=𝑐时，取等号，∴1√sin𝐴·sin𝐶⩾1sin𝐵⩾2√33，当且仅当𝑎=𝑐=𝑏时，取等号，而1sin𝐴+1sin𝐶⩾2√sin𝐴·sin𝐶⩾4√33，当且仅当𝑎=𝑐=𝑏时，取等号，∴1sin𝐴+1sin𝐶的最小值为4√33．故答案为4√33．9.答案：3解析：【分析】本题考查了利用基本不等式求最值的问题，是基础题．由题意，利用基本不等式求出函数𝑓(𝑥)的最小值．【解答】解：由𝑥1，得𝑥21，𝑥2−10；所以函数𝑓(𝑥)=𝑥2+ 1𝑥2−1 =(𝑥2−1)+ 1𝑥2−1 +1≥2·√(𝑥2−1)· 1 𝑥2−1 +1=3，当且仅当𝑥2−1=1，即𝑥=√2时取“=”，所以函数𝑓(𝑥)的最小值为3．故答案为3．10.答案：{√10}解析：【分析】本题考查了恒成立问题，转化思想和分类讨论是解决问题的关键，综合性较强，属于较难题．首先将条件转化为对任意的𝑥∈(0,+∞)，不等式[(𝑥+𝑙𝑛𝑥)−(𝑎+𝑙𝑛𝑎)](−2𝑥2+𝑎𝑥+10)≤0恒成立，构造函数𝑓(𝑥)=𝑥+𝑙𝑛𝑥，𝑔(𝑥)=−2𝑥2+𝑎𝑥+10，由于𝑓(𝑥)在(0,+∞)上单调递增，故0𝑥𝑎时，(𝑥+𝑙𝑛𝑥)−(𝑎+𝑙𝑛𝑎)0，则−2𝑥2+𝑎𝑥+10≥0；𝑥𝑎时，(𝑥+𝑙𝑛𝑥)−(𝑎+𝑙𝑛𝑎)0恒成立，则−2𝑥2+𝑎𝑥+10≤0，再根据二次函数图象及性质，即可求出a的范围．【解答】解：∵对任意的𝑥∈(0,+∞)，不等式(𝑥−𝑎+ln𝑥𝑎)(−2𝑥2+𝑎𝑥+10)≤0恒成立，第8页，共13页∴对任意的𝑥∈(0,+∞)，不等式[(𝑥+𝑙𝑛𝑥)−(𝑎+𝑙𝑛𝑎)](−2𝑥2+𝑎𝑥+10)≤0恒成立，记𝑓(𝑥)=𝑥+𝑙𝑛𝑥，𝑔(𝑥)=−2𝑥2+𝑎𝑥+10，则𝑓(𝑥)在(0,+∞)上单调递增，①当0𝑥𝑎时，𝑓(𝑥)𝑓(𝑎)，即(𝑥+𝑙𝑛𝑥)−(𝑎+𝑙𝑛𝑎)0恒成立，则−2𝑥2+𝑎𝑥+10≥0，∴{𝑔(0)=10≥0𝑔(𝑎)=−𝑎2+10≥0，得0𝑎≤√10；②当𝑥=𝑎时，不等式显然恒成立；③当𝑥𝑎时，𝑓(𝑥)𝑓(𝑎)，即(𝑥+𝑙𝑛𝑥)−(�