2一元二次函数方程和不等式新人教A版必修第一册

1质量检测(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知a0，－1b0，则()A．－aab0B．－aab0C．aabab2D．abaab2[解析]∵a0，－1b0，∴ab0，aab20，故A，C，D都不正确，正确答案为B.[答案]B2．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则()A．MNB．M≥NC．MND．M≤N[解析]∵M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝(2a2－4a)－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋20.∴MN.[答案]A3．不等式x－2x＋1≤0的解集是()A．{x|x－1或－1x≤2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x－1或x≥2}D．{x|－1x≤2}[解析]原不等式同解于x＋1≠0x－2x＋1≤0，解得－1x≤2，选D.[答案]D4．若a，b，c∈R，且ab，则下列不等式成立的是()A.1a1bB．a2b2C.ac2＋1bc2＋1D．a|c|b|c|[解析]根据不等式的性质，知C正确；若a0b，则1a1b，则A不正确；若a＝1，b＝－2，则B不正确；若c＝0，则D不正确．故选C.[答案]C5．不等式1x12的解集是()A．{x|x2}B．{x|x2}C．{x|0x2}D．{x|x0或x2}2[解析]由1x12，得1x－12＝2－x2x0，即x(2－x)0，解得x2或x0，故选D.[答案]D6．在R上定义运算☆：a☆b＝ab＋2a＋b，则满足x☆(x－2)0的实数x的取值范围为()A．{x|0x2}B．{x|－2x1}C．{x|x－2或x1}D．{x|－1x2}[解析]根据定义得：x☆(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－20，解得－2x1，所以所求的实数x的取值范围为{x|－2x1}．[答案]B7．若关于x的一元二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是()A．{x|x≤－2或x≥2}B．{x|－2≤x≤2}C．{x|x－2或x2}D．{x|－2x2}[解析]因为不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，所以Δ＝m2－4≤0，解得－2≤m≤2.[答案]B8．已知x1，则x＋1x－1＋5的最小值为()A．－8B．8C．16D．－16[解析]∵x1，∴x－10，x＋1x－1＋5＝x－1＋1x－1＋6≥2＋6＝8，当且仅当x＝2时等号成立．故选B.[答案]B9．若不等式ax2＋bx＋c0的解集是(－4,1)，则不等式b(x2－1)＋a(x＋3)＋c0的解集为()A.－43，1B．(－∞，1)∪43，＋∞C．(－1,4)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)[解析]由不等式ax2＋bx＋c0的解集为(－4,1)知a0，－4和1是方程ax2＋bx＋c＝0的两根．∴－4＋1＝－ba，－4×1＝ca，即b＝3a，c＝－4a.故所求解的不等式为3a(x2－1)＋a(x＋3)－4a0，即3x2＋x－40，解得－43x1.[答案]A10．设函数y＝2x＋1x－1(x0)，则y()A．有最大值B．有最小值C．无最大值D．既有最大值又有最小值[解析]∵x0，∴－x0，∴－2x＋1－x≥22－x×1－x＝22.∴2x＋1x≤－22.3∴y＝2x＋1x－1≤－22－1.当且仅当2x＝1x即x＝－22时取等号．[答案]A11．设a0，b0，且不等式1a＋1b＋ka＋b≥0恒成立，则实数k的最小值等于()A．0B．4C．－4D．－2[解析]由1a＋1b＋ka＋b≥0得k≥－a＋b2ab，而a＋b2ab＝ba＋ab＋2≥4(a＝b时取等号)，所以－a＋b2ab≤－4，因此要使k≥－a＋b2ab恒成立，应有k≥－4，即实数k的最小值等于－4.[答案]C12.某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(如图所示)，若要使其营运的年平均利润最大，则每辆客车需营运()A．3年B．4年C．5年D．6年[解析]设二次函数为y＝a(x－6)2＋11.又图象过点(4,7)，代入得7＝a(4－6)2＋11，解得a＝－1，∴y＝－x2＋12x－25.设年平均利润为m，则m＝yx＝－x－25x＋12≤2，当且仅当x＝25x，即x＝5时取等号．[答案]C第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．不等式－x2－3x＋40的解集为________．(用区间表示)[解析]不等式可化为x2＋3x－40，即(x－1)(x＋4)0，解得－4x1.所以不等式的解集为{x|－4x1}．[答案]{x|－4x1}14．设点(m，n)在一次函数y＝－x＋1位于第一象限内的图象上运动，则mn的最大值是________．[解析]∵点(m，n)在一次函数y＝－x＋1位于第一象限内的图象上运动，∴m＋n＝1且m0，n0.∴mn≤m＋n22＝14，当且仅当m＝n时等号成立．[答案]14415．若实数x、y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．[解析]∵x2＋y2＋xy＝1，∴(x＋y)2＝xy＋1，又∵xy≤x＋y22，∴(x＋y)2≤x＋y22＋1，变形得34(x＋y)2≤1，∴(x＋y)2≤43，∴－233≤x＋y≤233，∴x＋y的最大值为233.[答案]23316．不等式ax2＋4x＋a1－2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．[解析]不等式ax2＋4x＋a1－2x2对一切x∈R恒成立，即(a＋2)x2＋4x＋a－10对一切x∈R恒成立．若a＋2＝0，显然不成立；若a＋2≠0，则a＋2016－4a＋2a－10⇔a－2，16－4a＋2a－10⇔a－2a－3或a2⇔a2.[答案]a2三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a0，试比较a与1a的大小．[解]a－1a＝a2－1a＝a－1a＋1a.因为a0，所以当a1时，a－1a＋1a0，有a1a；当a＝1时，a－1a＋1a＝0，有a＝1a；当0a1时，a－1a＋1a0，有a1a.综上，当a1时，a1a；当a＝1时，a＝1a；当0a1时，a1a.18．(本小题满分12分)已知a，b，c为不等正数，且abc＝1，求证：a＋b＋c1a＋1b＋1c.5[证明]证法一：∵a，b，c为不等正数，且abc＝1，∴a＋b＋c＝1bc＋1ca＋1ab1b＋1c2＋1c＋1a2＋1a＋1b2＝1a＋1b＋1c.故原不等式成立．证法二：∵a，b，c为不等正数，且abc＝1，∴1a＋1b＋1c＝bc＋ca＋ab＝bc＋ca2＋ca＋ab2＋ab＋bc2abc2＋a2bc＋ab2c＝a＋b＋c.故原不等式成立．19．(本小题满分12分)若关于x的不等式x2－ax－6a0的解集的区间长度不超过5个单位，求实数a的取值范围．[解]∵x2－ax－6a0有解，∴方程x2－ax－6a＝0的判别式Δ＝a2＋24a0，∴a0或a－24.解集的区间长度就是方程x2－ax－6a＝0的两个根x1，x2的距离，由x1＋x2＝a，x1x2＝－6a，得(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝a2＋24a.∵|x1－x2|≤5，∴(x1－x2)2≤25，∴a2＋24a≤25，∴－25≤a≤1.综上可得－25≤a－24或0a≤1，即a的取值范围是－25≤a－24或0a≤1.20．(本小题满分12分)已知正实数a，b满足a＋b＝1，求a＋1a2＋b＋1b2的最小值．[解]a＋1a2＋b＋1b2＝a2＋b2＋1a2＋1b2＋4＝(a2＋b2)1＋1a2b2＋4＝[(a＋b)2－2ab]1＋1a2b2＋4＝(1－2ab)·1＋1a2b2＋4，由a＋b＝1，得ab≤a＋b22＝14(当且仅当a＝b＝12时等号成立)，所以1－2ab≥1－12＝12，且1a2b2≥16，所以a＋1a2＋b＋1b2≥12×(1＋16)＋4＝252，所以a＋1a2＋b＋1b2的最小值为252.621．(本小题满分12分)甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润是1005x＋1－3x元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．[解](1)根据题意，2005x＋1－3x≥3000⇒5x－14－3x≥0，又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.(2)设利润为y元，则y＝900x·1005x＋1－3x＝9×104－31x－162＋6112，故x＝6时，ymax＝457500元．22．(本小题满分12分)已知不等式ax2－3x＋64的解集为{x|x1或xb}，(1)求a，b的值；(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc0.[解](1)由题意知，1和b是方程ax2－3x＋2＝0的两根，则3a＝1＋b2a＝b，解得a＝1b＝2.(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc0，即为x2－(c＋2)x＋2c0，即(x－2)(x－c)0.①当c2时，2xc；②当c2时，cx2；③当c＝2时，原不等式无解．综上知，当c2时，原不等式的解集为{x|2xc}；当c2时，原不等式的解集为{x|cx2}；当c＝2时，原不等式的解集为∅.