高一基本不等式讲义

1均值不等式应用（技巧）一．均值不等式1.（1）若Rba,，则abba222(2)若Rba,，则222baab（当且仅当ba时取“=”）2.(1)若*,Rba，则abba2(2)若*,Rba，则abba2（当且仅当ba时取“=”）(3)若*,Rba，则22baab(当且仅当ba时取“=”）3.若Rba,，则2)2(222baba（当且仅当ba时取“=”）4.若0x，则12xx(当且仅当1x时取“=”）;若0x，则12xx(当且仅当1x时取“=”）若0x，则11122-2xxxxxx即或(当且仅当ba时取“=”）5.若0ab，则2abba(当且仅当ba时取“=”）若0ab，则22-2abababbababa即或(当且仅当ba时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y＝3x2＋12x2（2）y＝x＋1x解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x，求函数14245yxx的最大值。技巧二：凑系数例1.当时，求(82)yxx的最大值。变式：设230x，求函数)23(4xxy的最大值。2技巧三：分离例3.求2710(1)1xxyxx的值域。技巧四：换元22(1)7(1+10544=5ttttytttt）技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()afxxx的单调性。例：求函数2254xyx的值域。解：令24(2)xtt，则2254xyx22114(2)4xtttx因10,1ttt，但1tt解得1t不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。因为1ytt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故52y。所以，所求函数的值域为5,2。练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.（1）231,(0)xxyxx（2）12,33yxxx(3)12sin,(0,)sinyxxx应用二：条件最值1.若实数满足2ba，则ba33的最小值是.分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且ba33定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：ba33和都是正数，ba33≥632332baba当ba33时等号成立，由2ba及ba33得1ba即当1ba时，ba33的最小值是6．变式：若44loglog2xy，求11xy的最小值.并求x,y的值3技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。2：已知0,0xy，且191xy，求xy的最小值。变式：（1）若Ryx,且12yx，求yx11的最小值(2)已知Ryxba,,,且1ybxa，求yx的最小值技巧七、已知x，y为正实数，且x2＋y22＝1，求x1＋y2的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤a2＋b22。同时还应化简1＋y2中y2前面的系数为12，x1＋y2＝x2·1＋y22＝2x·12＋y22下面将x，12＋y22分别看成两个因式：x·12＋y22≤x2＋(12＋y22)22＝x2＋y22＋122＝34即x1＋y2＝2·x12＋y22≤342技巧八：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝1ab的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。法一：a＝30－2bb＋1，ab＝30－2bb＋1·b＝－2b2＋30bb＋1由a＞0得，0＜b＜15令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝－2t2＋34t－31t＝－2（t＋16t）＋34∵t＋16t≥2t·16t＝8∴ab≤18∴y≥118当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵a＋2b≥22ab∴30－ab≥22ab令u＝ab则u2＋22u－30≤0，－52≤u≤32∴ab≤32，ab≤18，∴y≥118点评：①本题考查不等式abba2）（Rba,的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式230abab）（Rba,出发求得ab的范围，关键是寻找到abba与之间的关系，由此想到不等式abba2）（Rba,，这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.变式：1.已知a0，b0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。4技巧九、取平方5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝3x＋2y的最值.解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，a＋b2≤a2＋b22，本题很简单3x＋2y≤2（3x）2＋（2y）2＝23x＋2y＝25解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W＞0，W2＝3x＋2y＋23x·2y＝10＋23x·2y≤10＋(3x)2·(2y)2＝10＋(3x＋2y)＝20∴W≤20＝25变式:求函数152152()22yxxx的最大值。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。应用三：利用均值不等式证明不等式1．已知cba,,为两两不相等的实数，求证：cabcabcba2221）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc例6：已知a、b、cR，且1abc。求证：1111118abc分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又1121abcbcaaaa，可由此变形入手。解：a、b、cR，1abc。1121abcbcaaaa。同理121acbb，121abcc。上述三个不等式两边均为正，分别相乘应用四：均值不等式与恒成立问题例：已知0,0xy且191xy，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。解：令,0,0,xykxy191xy，991.xyxykxky1091yxkkxky10312kk。16k，,16m