专题4----函数的概念及其表示方法(解析版)

中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师专题4函数的概念及其表示方法专题知识梳理1．函数的概念设A、B是两个非空数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．2．函数的定义域与值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，集合A叫做函数的定义域；与x的值对应的输出值y叫做函数值；函数值的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做函数的值域．3．函数的三要素函数的构成要素为_定义域、对应法则、值域．由于值域是由定义域和对应法则决定的，所以，如果两个函数的定义域、值域和对应法则完全一致，我们称这两个函数是同一个函数．4．函数的表示表示函数的常用方法有列表法、解析法和图象法．5．分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，这样的函数，通常叫做分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．考点探究考向1函数的概念【例】(1)已知A＝{1，2，3，k}，B＝{4，7，a4，a2＋3a}，a∈N*，k∈N*，x∈A，y∈B，f：x→y＝3x＋1是从定义域A到值域B的一个函数，求a，k的值；(2)下列各组函数中，表示同一函数的是________．①y＝3x3与y＝x2；②y＝x2－1x＋1与y＝x－1；中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师③y＝lnex与y＝elnx；④y＝x0与y＝1x0．【解析】（1）(定义法)由对应法则1→4，2→7，3→10，又k→3k＋1，故a2＋3a＝10(a4＝10舍去)，解得a＝2或a＝－5(舍去)，故3k＋1＝a4＝16，解得k＝5．∴a＝2，k＝5．（2）①由y＝3x3与y＝x2化简为y＝x与y＝|x|，两个函数的对应法则不相同，∴不表示同一函数．②y＝x2－1x＋1的定义域为{x|x≠－1}，y＝x－1的定义域为R，两个函数的定义域不相同，∴不表示同一函数．③y＝lnex的定义域为R，y＝elnx的定义域为{x|x＞0}，两个函数的定义域不相同，∴不表示同一函数．④y＝x0与y＝1x0的定义域、对应法则完全相同，∴表示同一函数．故应填④．题组训练1．设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤4}，有以下4个对应法则：①f：x→y＝x2；②f：x→y＝3x－2；③f：x→y＝x＋4；④f：x→y＝4－x2，其中不能构成从A到B的函数的是____________．(填序号)【解析】按函数的定义判断，①②中的对应能构成从A到B的函数；而③中若x＝2，则y＝6∉B，④中若x＝2，则y＝0∉B，即③④中的对应不能构成从A到B的函数．故应填③④2．下列各组的两个函数中表示同一函数的是__________．①y＝2log2x与y＝log2x2；②y＝x－2与y＝x2－4x＋4；③y＝logaax(a0，a≠1)与y＝3x3；④y＝1x－1与y＝x＋1x2－1．【解析】①与④中的两个函数，其定义域不同，②中的两个函数，其值域不同，它们都要不是同一函数；而③中的两个函数，定义域和值均为R，其函数都可以等价转化为yx，它们是同一函数，故应填③．3.（易错题）下列所给图形中是函数图象的个数为________．中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师【解析】①中的图形，直线(0)xaa与其有两个交点，不符合函数的定义，从而不是函数的图象，②中的图形，当0xx时，对应的y值有两个，不符合函数的定义，也不是函数的图象，③④中的图形都是函数的图象，故是函数图象的个数为2．考向2函数的解析式【例】根据下列条件，求函数的解析式：(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x＋3；(2)已知f(x＋1)＝x＋2x；(3)若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1；(4)已知f(0)＝1，对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)．【解析】(1)(待定系数法)设f(x)＝ax＋b，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3∴a2＝4，ab＋b＝3，解得a＝－2b＝－3或a＝2b＝1．故f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋1．(2)解法1(换元法)：设t＝x＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)．代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1．∴f(x)＝x2－1(x≥1)．解法2(配凑法)：∵x＋2x＝(x)2＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1，∴f(x＋1)＝(x＋1)2－1(x＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1)．(3)用－x换x得2f(－x)－f(x)＝－3x＋1，与原式联立消去f(－x)得f(x)＝x＋1．(4)令x＝0，得f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝1＋y2－y，f(y)＝y2＋y＋1，即f(x)＝x2＋x＋1．题组训练1.已知，则______．【解析】令，则，中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师所以，所以，，故答案为：，．2.函数满足，则________．【解析】由题意知解得．故答案为2x．3.（易错题）已知函数()yfx满足1()fxx=x3+31x+1，求f（x）．【解析】令1txx，则当0x时，12txx，当且仅当1x时取等号；当0x时，11()2txxxx，当且仅当1x时取等号，所以(,2][2,)t，又2211111fxxxxxx21131xxxx，∴2()(3)1fttt331tt，即3()31fxxx．∴3()31fxxx，(,2][2,)x．考向3分段函数【例】(1)已知实数a≠0，函数f(x)＝2x＋a，x1，－x－2a，x≥1，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为______________；(2)设函数f(x)＝3x－1，x＜1，2x，x≥1，则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是____________；(3)已知函数f(x)＝x2＋1，x≥0，1，x0，则满足不等式f(1－x2)f(2x)的x的取值范围是______________．【解析】(1)当a0时，1－a1，1＋a1，中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师由f(1－a)＝f(1＋a)，可得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得a＝－32，不合题意．当a0时，1－a1，1＋a1，由f(1－a)＝f(1＋a)，可得－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a，解得a＝－34，符合题意．∴a的值为－34．(2)由f(f(a))＝2f(a)，得f(a)≥1．当a1时，有3a－1≥1，∴a≥23，∴23≤a1；当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1．综上，a的取值范围是a≥23．(3)当x－1时，有11，∴无解．当－1≤x0时，有(1－x2)2＋11，∴x≠±1，∴－1x0．当0≤x≤1时，有(1－x2)2＋1(2x)2＋1，∴0≤x2－1．当x1时，有1(2x)2＋1，∴无解．综上：x的取值范围是－1x2－1．题组训练1.函数，则______．【解析】函数，则．故答案为：．2.已知函数，若，则实数m的值等于______．【解析】函数，，中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师当时，，解得，不成立；当时，，解得或舍．综上，实数m的值为．故答案为：．3.已知函数，则的值是______．【解析】函数，，，．故答案为：5．4.已知函数f(x)＝2x，x4，f（x－1），x≥4，则((5))ff________.【解析】f(5)＝f(4)＝f(3)＝23＝8．∴3((5))(8)(7)(6)(5)(4)(3)28ffffffff．5.（拔高题）已知实数m≠0，函数f(x)＝3x－m，x≤2，－x－2m，x2，若f(2－m)＝f(2＋m)，则m的值为____________．【解析】当m0时，2－m2，2＋m2，所以3(2－m)－m＝－(2＋m)－2m，所以m＝8；当m0时，2－m2，2＋m2，所以3(2＋m)－m＝－(2－m)－2m，所以m＝－83．综上，m的值为8或83．考向4函数及其表示方法的实际应用【例】如图，有一块四边形绿化区域BCED，其中∠C=∠D=90°，BC=BD=3，CE=DE=1．现准备经过DB上一点P和EC上一点Q铺设水管PQ，且PQ将四边形BCED分成面积相等的两部分，设DP=x，中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师EQ=y．（1）求x，y之间的关系式；（2）求水管PQ的长的最小值．【解析】（1）延长BD、CE交于点A(如图所示)，则AD=3，AE=2．又BC=BD=3，则∠A=30°，∴S△ADE=S△BDE=S△BCE=32．∵PQ将四边形BCED分成面积相等的两部分，∴S△APQ=3．而S△APQ=12AP·AQ·sinA=12（x+3）（y+2）sin30°=3，即14(x+3)(y+2)=3，∴(x+3)(y+2)=43．（2）在APQ中，由余弦定理，得：PQ2=AP2+AQ2-2AP·AQcos30°=（x+3）2+2433x-2×43×32≥2×43-12=83-12．当且仅当(x+3)2=2433x，即x=243-3时，PQ取得最小值．∴PQmin=8312=2233．题组训练1.如图，用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆半径为x．（1）求此框架围成的面积y与x的函数式y＝f(x)，并写出它的定义域；（2）x为何值时，面积y最大？最大值是多少？中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师【解析】（1）设AB＝2x，CD＝πx，于是AD＝1－2x－πx2，则y＝2x·1－2x－πx2＋πx22，即y＝－π＋42x2＋x.由2x＞0，1－2x－πx2＞0，得0＜x＜1π＋2，∴函数()yfx的解析式为241(0)22yxxx，定义域为0，1π＋2.（2）22222442411()[()()]224244yxxxxx22411()242(4)x，其中102x．∵11(0,)42，∴当14x时，面积y最大，最大值是12(4)平方单位．中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话18