2013高一数学必修1课件：2.1.2-函数的表示方法(新人教B版)

2.1函数2.1.2函数的表示方法理解教材新知把握热点考向应用创新演练第二章函数知识点一考点一考点二考点三知识点二考点四返回返回返回返回返回返回某同学计划买x(x∈{1,2,3,4,5})支2B铅笔．每支铅笔的价格为0.5元，共需y元．于是y与x间建立起了一个函数关系．问题1：该函数的定义域是什么？提示：{1,2,3,4,5}．问题2：y与x满足的关系式是什么？提示：y＝0.5x，x∈{1,2,3,4,5}．返回问题3：试用表格表示铅笔数x与钱数y之间的关系．铅笔数x/支12345钱数y/元0.511.522.5提示：返回问题4：试用图象表示x与y之间的关系．提示：返回函数的表示法(1)列表法通过列出与的表来表示函数关系的方法叫做列表法．(2)图象法用“”表示函数的方法叫做图象法．自变量对应函数值图形返回(3)解析法(公式法)如果在函数y＝f(x)(x∈A)中，f(x)是用来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析法．(也称为公式法)代数式(或解析式)返回返回某市空调公共汽车的票价按下列规则制定：(1)5千米以内，票价2元；(2)5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米的按5千米计算)．已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米，沿途(包括起点站和终点站)有11个汽车站．问题1：从起点站出发，公共汽车的行程x（千米）与票价y（元）有函数关系吗？提示：有函数关系．返回问题2：函数的表达式是什么？提示：y＝2，0＜x≤5，3，5＜x≤10.问题3：x与y之间有何特点？提示：x在不同区间内取值时，与y所对应的关系不同．返回分段函数在函数的定义域内，对于自变量x的，有着，这样的函数通常叫做分段函数．不同取值区间不同的对应法则返回(1)函数的常用表示法有三种：解析法、图象法和列表法.各自有不同的适用范围，在表示函数时，要视不同情况灵活选用表示方法．(2)分段函数是一个整体，不要因为每一部分自变量和解析式不同而把它当成多个函数．返回返回返回[例1]作出下列函数的图象并求出其值域．(1)y＝x2＋1，x∈{1,2,3,4,5}；(2)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．[思路点拨]列表→描点→用平滑的线连成图象→观察图象求值域返回[精解详析](1)用列表法可将函数y＝x2＋1，x∈[1,5]，x∈Z表示为：x12345y32252372返回图象如图．值域为{32，2，52，3，72}．返回(2)y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，x∈[－2,2]．图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分，如图所示．由图可得函数的值域是[－1,8]．返回[一点通]作函数图象的三个步骤：(1)列表，先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来；(2)描点，把表中一系列的点(x，f(x))在坐标平面上描出来；(3)连线，用光滑的线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来．返回1．下列图形是函数y＝－|x|x∈[－2,2]的图象的是()返回解析：y＝－|x|＝－x，0≤x≤2，x，－2≤x0.注意端点的取舍．答案：B返回2．画出下列函数的图象：(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；(2)y＝x2－2x(－1≤x＜2)；(3)y＝，x∈[2，＋∞)．解：(1)当x＝0时，y＝1；当x＝2时，y＝5.所画图象如图（1）所示．返回(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1.当x＝－1时，y＝3.当x＝0时，y＝0.当x＝1时，y＝－1.当x＝2时，y＝0.所画图象如图2所示．(3)当x＝2时，y＝1，其图象如图3所示．返回3．已知f(x)＝x2，－1≤x≤1，1，x＞1或x＜－1.(1)画出f(x)的图象；(2)求f(x)的定义域和值域．解：(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．返回(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，当x1或x－1时，f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0,1].返回返回[例2](1)已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝9x＋4，求f(x)的解析式；(2)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)的解析式．[思路点拨](1)可设f(x)＝kx＋b(k≠0)，再根据题设列方程组，求待定系数k，b.(2)在“x＋2x”中凑出“x＋1”或将“x＋1”整体换元来求解．返回[精解详析](1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f[f(x)]＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋4.∴k2＝9，kb＋b＝4.解得k＝3，b＝1或k＝－3，b＝－2.∴f(x)＝3x＋1或f(x)＝－3x－2.返回(2)法一(配凑法)：∵f(x＋1)＝x＋2x＝(x＋1)2－1(x＋1≥1)，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．法二(换元法)：令x＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2(t≥1)，∴f(t)＝(t－1)2＋2t－12＝t2－1(t≥1)．∴f(x)＝x2－1(x≥1)．返回[一点通]求函数解析式的常用方法：(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．(2)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f[g(x)]的解析式求f(x)的解析式，可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f[g(x)]中求出f(t)，从而求出f(x)．返回4．已知反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，则函数f(x)＝________.解析：设反比例函数f(x)＝kx(k≠0)，则f(3)＝k3＝－6，解得k＝－18.∴f(x)＝－18x.答案：－18x返回5．已知f(x＋1)＝x2＋4x＋1，求f(x)的解析式．解：设x＋1＝t，则x＝t－1，f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1，即f(t)＝t2＋2t－2.∴所求函数为f(x)＝x2＋2x－2.返回6．已知af(x)＋f(－x)＝bx，其中a≠±1，求f(x)．解：在原式中以－x替换x，得af(－x)＋f(x)＝－bx，于是得afx＋f－x＝bx，af－x＋fx＝－bx.消去f(－x)，得f(x)＝bxa－1.故f(x)的解析式为f(x)＝ba－1x.返回返回[例3]已知函数f(x)＝x2，x0，1，x＝0，0，x0.分别求f(1)，f(－3)，f[f(－3)]，f{f[f(－3)]}的值．[思路点拨]对于分段函数求值问题，应先看清自变量的值所在的区间，再代入相应的解析式求解．返回[精解详析]f(1)＝12＝1，f(－3)＝0，f[f(－3)]＝f(0)＝1，f{f[f(－3)]}＝f(1)＝12＝1.返回[一点通](1)求分段函数的函数值时，一般应先确定自变量的取值在哪个子区间上，然后用与这个区间相对应的解析式求函数值．(2)已知分段函数的函数值，求自变量的值，要进行分类讨论，逐段用不同的函数解析式求解，求解最后检验所求结果是否适合条件．返回7．设函数f(x)＝x2，x1，x－1，x≥1，则f[f(－4)]的值为()A．15B．16C．－5D．－15解析：∵－41，∴f(－4)＝16，f(16)＝16－1＝15.答案：A返回8．设函数f(x)＝12x－1，x≥0，1x，x0.若f(a)＝a，则实数a的值是________．解析：当a≥0时，f(a)＝a2－1＝a，得a＝－2(舍去).当a0时，f(a)＝1a＝a，a＝±1，a＝1不满足a0舍去．答案：－1返回9.根据函数y＝f(x)的图象(如图所示)写出它的解析式．解：当0≤x1时，f(x)＝2x；当1≤x2时，f(x)＝2；当x≥2时，f(x)＝3.故f(x)＝2x，0≤x1，2，1≤x2，3，x≥2.返回返回[例4](12分)某市市内电话收费方法为：3分钟内(含3分钟)收0.2元，以后每加1分钟(不足1分钟按1分钟计)加收0.1元．(1)求电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式；(2)试画出0t≤6时函数的图象．[思路点拨]利用分段函数表示y与t之间的关系．返回[精解详析](1)根据题意和，3分钟内(含3分钟)收0.2元，以后每加1分钟加收0.1元，(2分)∴当0t≤3时，y＝0.2；(3分)当t3时，y＝0.2＋0.1([t＋1]－3)．(5分)故y＝0.2，0t≤3，0.2＋0.1[t＋1]－3，t3.(6分)返回(2)由(1)知，当0t≤3时，图象为平行于x轴的线段(不包括左端点)；当3t≤6时，图象为三条线段(不包含左端点)，如图.(12分)返回[一点通]对于此类问题，要根据题目的特点选择表示方法，一般情况下用解析法表示．用解析法表示时，首先找出自变量x和函数y，然后利用题干条件用x表示y，最后写出定义域．注意：求实际问题中函数的定义域时，除考虑使函数解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义．返回10．某问答游戏的规则是：共5道选择题，基础分为50分，每答错1道题扣10分，答对不扣分.试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系．解：(1)该函数关系用列表法表示为：x/道012345y/分50403020100返回(2)该函数关系用图象法表示，如图．(3)该函数关系用解析法表示为y＝50－10x，x∈{0,1,2,3,4,5}．返回表示方法优点缺点列表法不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值它只能表示自变量可以一一列出的函数关系图象法能形象直观地表示出函数的变化情况只能近似地求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大(1)函数的三种表示方法的优缺点比返回表示方法优点缺点解析法一是简明、全面地概括了变量间的关系，从“数”的方面揭示了函数关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值不够形象、直观、具体，而且并不是所有的函数都能用解析法表示出来返回(2)理解分段函数应注意的问题①分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏．返回②求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式．③研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象．返回