直线和圆的方程知识及典型例题

1数学基础知识与典型例题直线和圆的方程直线和圆的方程知识关系直线的方程一、直线的倾斜角和斜率1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时,其倾斜角为0,故直线倾斜角的范围是0180≤.2.直线的斜率:倾斜角不是90的直线其倾斜角的正切叫这条直线的斜率k,即tank.注：①每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.②当90时，直线l垂直于x轴，它的斜率k不存在.③过两点111(,)Pxy、222(,)Pxy12()xx的直线斜率公式2121tanyykxx二、直线方程的五种形式及适用条件名称方程说明适用条件斜截式y=kx+bk—斜率b—纵截距倾斜角为90°的直线不能用此式点斜式y-y0=k(x-x0)(x0，y0)—直线上已知点，k──斜率倾斜角为90°的直线不能用此式两点式121yyyy=121xxxx(x1，y1)，(x2，y2)是直线上两个已知点与两坐标轴平行的直线不能用此式截距式xa+yb=1a—直线的横截距b—直线的纵截距过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式一般式Ax+By+C=0(A、B不全为零)A、B不能同时为零2直线的方程注:⑴确定直线方程需要有两个互相独立的条件,通常用待定系数法;⑵确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围.⑶直线是平面几何的基本图形，它与方程中的二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B2≠0）是一一对应的.直线的方程例1.过点),2(aM和)4,(aN的直线的斜率等于1,则a的值为()(A)1(B)4(C)1或3(D)1或4例2.若,62,则直线2xcos＋3y＋1=0的倾斜角的取值范围（）(A),62(B)5,6(C)(0,6)(D)5,26例4.连接(4,1)A和(2,4)B两点的直线斜率为____,与y轴的交点P的坐标为____.例5.以点)1,5()3,1(和为端点的线段的中垂线的方程是.两直线的位置关系一、两直线的位置关系1.两直线平行:⑴斜率存在且不重合的两条直线l1∶y=k1x+b1，l2∶y=k2x+b2，则l1∥l2k1=k2;⑵两条不重合直线21,ll的倾斜角为21,,则1l∥212l.2.两直线垂直:⑴斜率存在的两条直线l1∶y=k1x+b1,l2∶y=k2x+b2,则l1⊥l2k1·k2=-1;⑵两直线l1∶A1x+B1y+C1=0，l2∶A2x+B2y+C2=0，则l1⊥l2A1A2+B1B2=03.“到角”与“夹角”:⑴直线1l到2l的角（方向角）；直线1l到2l的角，是指直线1l绕交点依逆时针方向旋转到与2l重合时所转动的角，它的范围是(0,).注:①当两直线的斜率k1,k2都存在且k1·k2≠-1时,2112tan1kkkk;②当直线的斜率不存在时,可结合图形判断.例6.将直线0632yx绕着它与y轴的交点逆时针旋转45的角后，在x轴上的截距是()(A)54(B)52(C)25(D)45例7.将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点(2，0)与点(－2，4)重合，若点（7，3）与点（m,n）重合，则m+n的值为()(A)4(B)－4(C)10(D)－10例8.与直线:2350xy平行且过点(1,4)A的直线的方程是__________。例9.已知二直线08:1nymxl和012:2myxl，若21ll，1l在y轴上的截距为-1，则m=_____，n=____.3两直线的位置关系⑵两条相交直线1l与2l的夹角：两条相交直线1l与2l的夹角，是指由1l与2l相交所成的四个角中最小的正角，又称为1l和2l所成的角，它的取值范围是0,2,当两直线的斜率k1，k2都存在且k1·k2≠-1时，则有2112tan1kkkk.4.距离公式。⑴已知一点P(x0，y0)及一条直线l：Ax+By+C=0，则点P到直线l的距离d=0022||AxByCAB；⑵两平行直线l1:Ax+By+C1=0，l2:Ax+By+C2=0之间的距离d=1222||CCAB。5.当直线位置不确定时，直线对应的方程中含有参数.含参数方程中有两种特殊情形，它们的对应的直线是有规律的，即旋转直线系和平行直线系.⑴在点斜式方程y-y0=k(x-x0)中，①当（x0，y0）确定，k变化时，该方程表示过定点（x0，y0）的旋转直线系，②当k确定，(x0，y0)变化时，该方程表示平行直线系.⑵已知直线l：Ax+By+C=0，则①方程Ax+By+m=0（m为参数）表示与l平行的直线系；②方程-Bx+Ay+n=0（n为参数）表示与l垂直的直线系。⑶已知直线l1：A1x+B1y+C1=0，直线l2：A2x+B2y+C2=0，则方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0表示过l1与l2交点的直线系（不含l2）掌握含参数方程的几何意义是某种直线系，有时可以优化解题思路.例10.经过两直线11x－3y－9＝0与12x＋y－19＝0的交点，且过点(3,-2)的直线方程为_______.例11.已知△ABC中，A（2，-1），B（4，3），C（3，-2），求：⑴BC边上的高所在直线方程；⑵AB边中垂线方程；⑶∠A平分线所在直线方程.例12.已知定点P（6，4）与定直线l1：y=4x，过P点的直线l与l1交于第一象限Q点，与x轴正半轴交于点M，求使△OQM面积最小的直线l方程.简单的线性规划线性规划⑴当点P(x0，y0)在直线Ax+By+C=0上时，其坐标满足方程Ax0+By0+C=0；⑵当P不在直线Ax+By+C=0上时，Ax0+By0+C≠0，即Ax0+By0+C0或Ax0+By0+C0。这就是二元一次不等式的几何意义：二元一次不等式Ax+By+C0（或0）表示直线Ax+By+C=0上方或下方区域，其具体位置的确定常用原点（0，0）代入检验。利用此几何意义，可以解决一类二元函数的最值问题。这就是线性规划的内容。4简单的线性规划例13.若点（3，1）和（4，6）在直线023ayx的两侧，则实数a的取值范围是()724Aaa或()724Ba()724Caa或（D）以上都不对例14.ABC的三个顶点的坐标为(2,4)A，(1,2)B，(1,0)C，点(,)Pxy在ABC内部及边界上运动，则2yx的最大值为，最小值为。例15.不等式组：1000xyxyy≥≤≥表示的平面区域的面积是；例16.20个劳动力种50亩地，这些地可种蔬菜、棉花或水稻，如果种这些农作物每亩地所需的劳动力和预计产值如下表。问怎样安排才能使每亩都种上农作物，所有的劳动力都有工作且农作物的预计产值最高？例17.某集团准备兴办一所中学，投资1200万用于硬件建设.为了考虑社会效益和经济利益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表（以班为单位）如下：根据有关规定，除书本费、办公费外，初中生每年可收取学费600元，高中生每年可收取学费1500元.因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜.根据以上情况，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大利润多少万元？（利润=学费收入－年薪支出）5曲线和方程曲线与方程：在直角坐标系中,当曲线C和方程F(x，y)=0满足如下关系时：①曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)=0的解；②②以方程F(x，y)=0的解为坐标的点都在曲线C上，则称曲线C为方程F(x，y)=0表示的曲线；方程F(x，y)=0是曲线C表示的方程.注:⑴如果曲线C的方程是F(x,y)=0，那么点P0(x0,y0)在曲线C上的充要条件是F(x0,y0)=0⑵解析几何研究的内容就是给定曲线C，如何求出它所对应的方程，并根据方程的理论研究曲线的几何性质。其特征是以数解形,坐标法是几何问题代数化的重要方法。⑶求曲线方程的步骤:建、设、现（限）、代、化.曲线和方程例18.点),(62ttM适合方程3xy是点M在曲线3xy上的()(A)充分条件(B)必要条件(C)充要条件(D)什么条件也不是例19.曲线C1：xyx22与C2：yxy2的交点数是（）(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个例20.已知定点)0,1(A，)0,1(B，点M与A、B两点所在直线的斜率之积等于4，则点M的轨迹方程是例22.如图，圆1O与圆2O的半径都是1，124OO.过动点P分别作圆1O、圆2O的切线PMPN，（MN，分别为切点），使得2PMPN.试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.6圆的方程确定圆的方程需要有三个互相独立的条件。一、圆的方程形式:⑴圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2,其中（a,b）是圆心坐标,r是圆的半径；⑵圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F0）,圆心坐标为（-2D，-2E），半径为r=2422FED.⑶圆的参数方程：(x-a)2+(y-b)2=r2（r0）的参数方程为:cossinxarybr（为参数,表示旋转角），参数式常用来表示圆周上的点。注:①确定圆的方程需要有三个互相独立的条件,通常也用待定系数法;②圆的方程有三种形式，注意各种形式中各量的几何意义,使用时常数形结合充分运用圆的平面几何知识.③圆的直径式方程：1212()()()()0xxxxyyyy,其中1122(,),(,)AxyBxy是圆的一条直径的两个端点.（用向量可推导）.二、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交，判定方法有两种：⑴代数法：直线：Ax+By+C=0，圆：x2+y2+Dx+Ey+F=0，联立得方程组2200AxByCxyDxEyF消元一元二次方程24bac判别式△000△相交△相切△相离（2）几何法：直线:Ax+By+C=0，圆：(x-a)2+(y-b)2=r2，圆心（a，b）到直线的距离为d=22||AaBbCAB，则drdrdr相离相切相交三、圆和圆的位置关系：设两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|为圆心距，则两圆位置关系如下：①|O1O2|r1+r2两圆外离；②|O1O2|=r1+r2两圆外切；③|r1-r2||O1O2|r1+r2两圆相交；④|O1O2|=|r1-r2|两圆内切；⑤0|O1O2||r1-r2|两圆内含。注：直线和圆位置关系及圆和圆位置关系常借助于平面几何知识，而一般不采用方程组理论（△法）.7圆的方程四、圆的切线:1.求过圆上的一点00(,)xy圆的切线方程:先求切点与圆心连线的斜率k,则由垂直关系,切线斜率为1k,由点斜式方程可求得切线方程;2.求过圆外一点00(,)xy圆的切线方程:⑴(几何方法)设切线方程为00()yyxxk即00-0xyxykk,然后由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,切线方程即可求出.⑵(代数方法)设切线方程为00()yyxxk,即00yxxykk代入圆方程得一个关于x的一元二次方程,由0,求得k,切线方程即可求出.注：①以上方法只能求存在斜率的切线,斜率不存在的切线,可结合图形求得.②过圆222xyr上一点00(,)Pxy的切线方程为200xxyyr.圆的方程例23.若直线011＝yxa与圆2220xyx相切，则a的值为()()11A或()22B或1)(C1)(D例24.两圆x2+y2-4x+2y+1=0与(x+2)2+(y-2)2=9的位置关系是（）(A)内切(B)相交(C)外切(D)相离例25.已知圆C与圆(x-1)2+y2=1关于直线y=-x对称，则圆C的方程为()(A)(x+1)2+y2=1(B)x2+y2=1(C)x