2004年高考数学(江苏)

2004年全国高等学校统一入学招生考试（江苏卷）理科数学Ⅰ试题第1页共6页0.5人数(人)时间(小时)2010501.01.52.015绝密★启用前2004年全国高等学校统一入学招生考试（江苏卷）理科数学Ⅰ试题祝★考★试★顺★利参考公式：锥体的体积公式：ShV31锥体,其中S是锥体的底面面积,h是高.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合P={1,2,3,4},Q={Rxxx,2},则P∩Q等于A.{1,2}B.{3,4}C.{1}D.{-2,-1,0,1,2}2.函数y=2cos2x+1(x∈R)的最小正周期为A.2πB.πC.π2D.π43.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会,若这4人中必须既有男生又有女生,则不同的选法共有A.140种B.120种C.35种D.34种4.一平面截一球得到直径是6cm的圆面,球心到这个平面的距离是4cm,则该球的体积是A.33π100cmB.33π208cmC.33π500cmD.33π3416cm5.若双曲线18222byx的一条准线与抛物线xy82的准线重合,则双曲线离心率为A.2B.22C.4D.246.某校为了了解学生的课外阅读情况,随机调查了50名学生,得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据,结果用右侧的条形图表示.根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为A.0.6小时B.0.9小时C.1.0小时D.1.5小时7.4)2(xx的展开式中x3的系数是A.6B.12C.24D.488.若函数)1,0)((logaabxya的图象过两点(-1,0)和(0,1),则注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共6页,共22题,其中第1～12题为选择题,第13～22题为非选择题.本卷满分为150分.考试时间120分钟.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答,在其它位置作答一律无效.5．如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.2004年全国高等学校统一入学招生考试（江苏卷）理科数学Ⅰ试题第2页共6页A.a=2,b=2B.a=2,b=2C.a=2,b=1D.a=2,b=29.将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数1,2,3,4,5,6的正方体玩具)先后抛掷3次,至少出现一次6点向上和概率是A.5216B.25216C.31216D.9121610.函数13)(3xxxf在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是A.1,-1B.1,-17C.3,-17D.9,-1911.设k1,f(x)=k(x-1)(x∈R).在平面直角坐标系xOy中,函数y=f(x)的图象与x轴交于A点,它的反函数y=f-1(x)的图象与y轴交于B点,并且这两个函数的图象交于P点.已知四边形OAPB的面积是3,则k等于A.3B.32C.43D.6512.设函数xxxf1)((x∈R),区间M=[a,b](ab),集合N={Mxxfyy),(},则使M=N成立的实数对(a,b)有A.0个B.1个C.2个D.无数多个第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，把答案填在题中横线上.13.二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：x-3-2-101234y60-4-6-6-406则不等式ax2+bx+c0的解集是________________.14.以点(1,2)为圆心,与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是________________.15.设数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2)13(1na(对于所有n≥1),且a4=54,则a1=________________.16.平面向量ba,中,已知a=(4,-3),b=1,且ba=5,则向量b=________________.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本题满分12分)已知0α2π,tan2α+cot2α=25,求sin(3πα)的值.2004年全国高等学校统一入学招生考试（江苏卷）理科数学Ⅰ试题第3页共6页18.(本题满分12分)在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是正方形A1B1C1D1的中心,点P在棱CC1上,且CC1=4CP.(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)；(Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H,求证：D1H⊥AP；(Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离.·B1PACDA1C1D1BOH·2004年全国高等学校统一入学招生考试（江苏卷）理科数学Ⅰ试题第4页共6页19.(本题满分12分)制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪,可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪.投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大？20.(本题满分12分)设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.(Ⅰ)若首项1a32,公差1d,求满足2)(2kkSS的正整数k；(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an},使得对于一切正整数k都有2)(2kkSS成立.2004年全国高等学校统一入学招生考试（江苏卷）理科数学Ⅰ试题第5页共6页21.(本题满分12分)已知椭圆的中心在原点,离心率为12,一个焦点是F(-m,0)(m是大于0的常数).(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设Q是椭圆上的一点,且过点F、Q的直线l与y轴交于点M.若QFMQ2,求直线l的斜率.2004年全国高等学校统一入学招生考试（江苏卷）理科数学Ⅰ试题第6页共6页22.(本题满分14分)已知函数))((Rxxf满足下列条件：对任意的实数x1,x2都有)]()()[()(λ2121221xfxfxxxx和2121)()(xxxfxf,其中λ是大于0的常数.设实数a0,a,b满足0)(0af和)(λafab(Ⅰ)证明1λ,并且不存在00ab,使得0)(0bf；(Ⅱ)证明20220))(λ1()(aaab；(Ⅲ)证明222)]()[λ1()]([afbf.2004年全国高等学校统一入学招生考试（江苏卷）理科数学Ⅰ答案第1页共4页答案一、选择题ABDCABCADCBA二、填空题13、{2xx或3}x14、22(1)(1)25xy15、216、43(,)55b三、解答题17．本小题主要考查三角函数的基本公式和三角函数的恒等变换等基本知识,以及推理能力和运算能力.满分12分.解：由已知25tancot22sin2,得4sin5..53sin1cos,202从而3sincos3cossin)3sin()334(10123532154.18．本小题主要考查线面关系和正方体性质等基本知识,考查空间想象能力和推理论证能力.满分12分.1)∵AB⊥平面,∴AP与平面所成的角就是∠APB．如图建立空间直角坐标系,坐标原点为D．∵．．∵,．∴直线AP与平面所成的角为．(2)连结,由(1)(0,0,4),O(2,2,4)．∴(2,2,0),．2004年全国高等学校统一入学招生考试（江苏卷）理科数学Ⅰ答案第2页共4页∴．∵平面的斜线在这个平面内的射影是,∴．(3)连结,在平面中,过点P作PQ⊥BC1于点Q．∵AB⊥平面,．∴PQ⊥AB∴PQ⊥平面．∴PQ就是点P到平面的距离．在RtΔ中,∠C1QP＝90°,∠PC1Q＝45°,PC1＝3,∴,即点P到平面ABD1的距离为．19．本小题主要考查简单线性规划的基本知识,以及运用数学知识解决实际问题的能力.满分12分.解：设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目.由题意知.0,0,8.11.03.0,10yxyxyx目标函数z=x+0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界)即可行域.作直线05.0:0yxl,并作平行于直线0l的一组直线,,5.0Rzzyx与可行域相交,其中有一条直线经过可行域上的M点,且与直线05.0yx的距离最大,这里M点是直线10yx和8.11.03.0yx的交点.解方程组,8.11.03.0,10yxyx得x=4,y=6此时765.041z(万元).07当x=4,y=6时z取得最大值.答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下,使可能的盈利最大.20．本小题主要考查数列的基本知识,以及运用数学知识分析和解决问题的能力.满分12分.解：(I)当1,231da时,nnnnndnnnaSn21212)1(232)1(由22()kkSS,得422211()22kkkk,2004年全国高等学校统一入学招生考试（江苏卷）理科数学Ⅰ答案第3页共4页即0)141(3kk又0k,所以4k.(II)设数列{}na的公差为d,则在2)(2nnSS中分别取k=1,2,得211242()()SSSS,即211211,43214(2)22aaadad由(1)得10a或11.a当10a时,代入(2)得0d或6,d若10,0ad,则0,0nnaS,从而2()kkSS成立若10,6ad,则6(1)nan,由23318,()324,216nSSS知293(),SS故所得数列不符合题意.当11a时,代入(2)得246(2)dd,解得0d或2d若11,0ad,则1,nnaSn,从而22()kkSS成立；若11,2ad,则221,13(21)nnanSnn,从而2()nSS成立.综上,共有3个满足条件的无穷等差数列：①{an}:an=0,即0,0,0,…；②{an}:an=1,即1,1,1,…；③{an}:an=2n－1,即1,3,5,…,21．本小题主要考查直线、椭圆和向量等基本知识,以及推理能力和运算能力.满分12分.解：(I)设所求椭圆方程是).0(12222babyax由已知,得,21,acmc所以mbma3,2.故所求的椭圆方程是1342222mymx(II)设Q(QQyx,),直线:()lykxm,则点(0,)Mkm当2MQQF时,由于(,0),(0,),FmMkm由定比分点坐标公式,得02201,.123123QQmmkmxykm又点2(,)33mkmQ在椭圆上,所以222224991.43mkmmm解得26,k.(1)(2)2004年全国高等学校统一入学招生考试（江苏卷）理科数学Ⅰ答案第4页共4页当2MQQF时,0(2)()2,1212QQmkmxmykm于是222224143mkmmm,解得0k．故直线l的斜率是0,62.22．本小题主要考查函数、不等式等基本知识,以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分.证明：(I)任取1212,,xxRxx,则由)]()()[()(2121221xfxfxxxx和|||)()(|2121xxxfxf②可知22121212121221|||)()(|||)]()()[(