§8.4直线、平面平行的判定与性质2014高考会这样考1.考查空间平行关系的判定及性质有关命题的判定;2.解答题中证明或探索空间的平行关系.复习备考要这样做1.熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质,会把空间问题转化为平面问题,解答过程的叙述步骤要完整,避免因条件书写不全而失分;2.学会应用“化归思想”进行“线线问题、线面问题、面面问题”的互相转化,牢记解决问题的根源在“定理”.1.直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a∩α=∅a⊂α,b⊄α,a∥ba∥αa∥α,a⊂β,α∩β=b结论a∥αb∥αa∩α=∅a∥b2.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件α∩β=∅a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥αα∥β,α∩γ=a,β∩γ=bα∥β,a⊂β结论α∥βα∥βa∥ba∥α[难点正本疑点清源]1.证明线面平行是高考中常见的问题,常用的方法就是证明这条线与平面内的某条直线平行.但一定要说明一条直线在平面外,一条直线在平面内.2.在判定和证明直线与平面的位置关系时,除熟练运用判定定理和性质定理外,切不可丢弃定义,因为定义既可作判定定理使用,亦可作性质定理使用.3.辅助线(面)是解(证)线面平行的关键.为了能利用线面平行的判定定理及性质定理,往往需要作辅助线(面).1.已知不重合的直线a,b和平面α,①若a∥α,b⊂α,则a∥b;②若a∥α,b∥α,则a∥b;③若a∥b,b⊂α,则a∥α;④若a∥b,a∥α,则b∥α或b⊂α.上面命题中正确的是________(填序号).答案④解析①若a∥α,b⊂α,则a,b平行或异面;②若a∥α,b∥α,则a,b平行、相交、异面都有可能;③若a∥b,b⊂α,则a∥α或a⊂α.2.已知α、β是不同的两个平面,直线a⊂α,直线b⊂β,命题p:a与b没有公共点;命题q:α∥β,则p是q的____________条件.答案必要不充分解析∵a与b没有公共点,不能推出α∥β,而α∥β时,a与b一定没有公共点,即pD⇒/q,q⇒p,∴p是q的必要不充分条件.3.已知平面α∥平面β,直线a⊂α,有下列命题:①a与β内的所有直线平行;②a与β内无数条直线平行;③a与β内的任意一条直线都不垂直.其中真命题的序号是________.答案②解析因为α∥β,a⊂α,所以a∥β,在平面β内存在无数条直线与直线a平行,但不是所有直线都与直线a平行,故命题②为真命题,命题①为假命题.在平面β内存在无数条直线与直线a垂直,故命题③为假命题.4.(2011·浙江)若直线l不平行于平面α,且l⊄α,则()A.α内的所有直线与l异面B.α内不存在与l平行的直线C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内的直线与l都相交答案B解析由题意知,直线l与平面α相交,则直线l与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系,因而只有选项B是正确的.5.(2012·四川)下列命题正确的是()A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行答案C解析利用线面位置关系的判定和性质解答.A错误,如圆锥的任意两条母线与底面所成的角相等,但两条母线相交;B错误,△ABC的三个顶点中,A、B在α的同侧,而点C在α的另一侧,且AB平行于α,此时可有A、B、C三点到平面α的距离相等,但两平面相交;D错误,如教室中两个相邻墙面都与地面垂直,但这两个面相交,故选C.题型一直线与平面平行的判定与性质例1正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE、BD上各有一点P、Q,且AP=DQ.求证:PQ∥平面BCE.思维启迪:证明直线与平面平行可以利用直线与平面平行的判定定理,也可利用面面平行的性质.证明方法一如图所示.作PM∥AB交BE于M,作QN∥AB交BC于N,连接MN.∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB,∴AE=BD.又AP=DQ,∴PE=QB,又PM∥AB∥QN,∴PMAB=PEAE=QBBD=QNDC,∴PMAB=QNDC,∴PM綊QN,即四边形PMNQ为平行四边形,∴PQ∥MN.又MN⊂平面BCE,PQ⊄平面BCE,∴PQ∥平面BCE.方法二如图,连接AQ,并延长交BC延长线于K,连接EK,∵AE=BD,AP=DQ,∴PE=BQ,∴APPE=DQBQ,又AD∥BK,∴DQBQ=AQQK,∴APPE=AQQK,∴PQ∥EK.又PQ⊄平面BCE,EK⊂平面BCE,∴PQ∥平面BCE.方法三如图,在平面ABEF内,过点P作PM∥BE,交AB于点M,连接QM.∴PM∥平面BCE,又∵平面ABEF∩平面BCE=BE,∴PM∥BE,∴APPE=AMMB,又AE=BD,AP=DQ,∴PE=BQ,∴APPE=DQBQ,∴AMMB=DQQB,∴MQ∥AD,又AD∥BC,∴MQ∥BC,∴MQ∥平面BCE,又PM∩MQ=M,BE∩BC=B,∴平面PMQ∥平面BCE,又PQ⊂平面PMQ.∴PQ∥平面BCE.探究提高判断或证明线面平行的常用方法:(1)利用线面平行的定义(无公共点);(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α);(3)利用面面平行的性质定理(α∥β,a⊂α⇒a∥β);(4)利用面面平行的性质(α∥β,a⊄β,a∥α⇒a∥β).如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=2,PA=1,PA⊥平面ABCD,E是PC的中点,F是AB的中点.求证:BE∥平面PDF.证明取PD中点为M,连接ME,MF,∵E是PC的中点,∴ME是△PCD的中位线,∴ME綊12CD.∵F是AB的中点且四边形ABCD是菱形,AB綊CD,∴ME綊FB,∴四边形MEBF是平行四边形,∴BE∥MF.∵BE⊄平面PDF,MF⊂平面PDF,∴BE∥平面PDF.题型二平面与平面平行的判定与性质例2如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:(1)B,C,H,G四点共面;(2)平面EFA1∥平面BCHG.思维启迪:要证四点共面,只需证GH∥BC;要证面面平行,可证一个平面内的两条相交直线和另一个平面平行.证明(1)∵GH是△A1B1C1的中位线,∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC,∴B,C,H,G四点共面.(2)∵E、F分别为AB、AC的中点,∴EF∥BC,∵EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB,∴四边形A1EBG是平行四边形,∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG.∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF=E,∴平面EFA1∥平面BCHG.探究提高证明面面平行的方法:(1)面面平行的定义;(2)面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行;(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行;(4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行;(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.证明:若一条直线与两个相交平面都平行,则这条直线平行于两个平面的交线.解已知:直线a∥平面α,直线a∥平面β,α∩β=b.求证:a∥b.证明:如图所示,过直线a作平面γ,δ分别交平面α,β于直线m,n(m,n不同于交线b),由直线与平面平行的性质定理,得a∥m,a∥n,由平行线的传递性,得m∥n,由于n⊄α,m⊂α,故n∥平面α.又n⊂β,α∩β=b,故n∥b.又a∥n,故a∥b.题型三平行关系的综合应用例3如图所示,在四面体ABCD中,截面EFGH平行于对棱AB和CD,试问截面在什么位置时其截面面积最大?思维启迪:利用线面平行的性质可以得到线线平行,可以先确定截面形状,再建立目标函数求最值.解∵AB∥平面EFGH,平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG、EH.∴AB∥FG,AB∥EH,∴FG∥EH,同理可证EF∥GH,∴截面EFGH是平行四边形.设AB=a,CD=b,∠FGH=α(α即为异面直线AB和CD所成的角或其补角).又设FG=x,GH=y,则由平面几何知识可得xa=CGBC,yb=BGBC,两式相加得xa+yb=1,即y=ba(a-x),∴S▱EFGH=FG·GH·sinα=x·ba·(a-x)·sinα=bsinαax(a-x).∵x0,a-x0且x+(a-x)=a为定值,∴当且仅当x=a-x时,bsinαax(a-x)=absinα4,此时x=a2,y=b2.即当截面EFGH的顶点E、F、G、H为棱AD、AC、BC、BD的中点时截面面积最大.探究提高利用线面平行的性质,可以实现与线线平行的转化,尤其在截面图的画法中,常用来确定交线的位置,对于最值问题,常用函数思想来解决.如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?解当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.证明如下:∵Q为CC1的中点,P为DD1的中点,∴QB∥PA.∵P、O分别为DD1、DB的中点,∴D1B∥PO.又∵D1B⊄平面PAO,PO⊂平面PAO,QB⊄平面PAO,PA⊂平面PAO,∴D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO,又D1B∩QB=B,D1B、QB⊂平面D1BQ,∴平面D1BQ∥平面PAO.立体几何中的探索性问题典例:(12分)如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点.(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值;(2)在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F∥平面A1BE?证明你的结论.审题视角(1)可过E作平面ABB1A1的垂线、作线面角;(2)先探求出点F,再进行证明B1F∥平面A1BE.注意解题的方向性.规范解答解(1)如图(a)所示,取AA1的中点M,连接EM,BM.因为E是DD1的中点,四边形ADD1A1为正方形,所以EM∥AD.[2分]又在正方体ABCD—A1B1C1D1中,AD⊥平面ABB1A1,所以EM⊥平面ABB1A1,从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影,∠EBM为BE和平面ABB1A1所成的角.[4分]图(a)设正方体的棱长为2,则EM=AD=2,BE=22+22+12=3.于是,在Rt△BEM中,sin∠EBM=EMBE=23,[5分]即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为23.[6分](2)在棱C1D1上存在点F,使B1F∥平面A1BE.事实上,如图(b)所示,分别取C1D1和CD的中点F,G,连接B1F,EG,BG,CD1,FG.因A1D1∥B1C1∥BC,且A1D1=BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形,因此D1C∥A1B.又E,G分别为D1D,CD的中点,图(b)所以EG∥D1C,从而EG∥A1B.这说明A1,B,G,E四点共面.所以BG⊂平面A1BE.[8分]因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形,F,G分别为C1D1和CD的中点,所以FG∥C1C∥B1B,且FG=C1C=B1B,因此四边形B1BGF是平行四边形,所以B1F∥BG,[10分]而B1F⊄平面A1BE,BG⊂平面A1BE,故B1F∥平面A1BE.[12分]答题模板对于探索类问题,书写步骤的格式有两种:一种:第一步:探求出点的位置.第二步:证明符合要求.第三步:给出明确答案.第四步:反思回顾.查看关键点,易错点和答题规范.另一种:从结论出发,“要使什么成立”,“只需使什么成立”,寻求使结论成立的充分条件,类似于分析法.温馨提醒(1)本题属立体几何中的综合题,重点考查推理能力和计算能力.(2)第(1)问常见错误是无法作出平面ABB1A1的垂线,以致无法确定线面角.(3)第(2)问为探索性问题,找不到解决问题的切入口,入手较难.(4)书写格式混乱,不条理,思路不清晰.方法与技巧1.平行问题的转化关系2.直线与平面平