函数的定义域与区间

1/9课题：2.1.2函数－区间的概念及求定义域的方法教学目的：1．能够正确理解和使用“区间”、“无穷大”等记号；掌握分式函数、根式函数定义域的求法，掌握求函数解析式的思想方法；资料个人收集整理，勿做商业用途2．培养抽象概括能力和分析解决问题的能力；教学重点：“区间”、“无穷大”的概念，定义域的求法教学难点：正确求分式函数、根式函数定义域授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：函数的三要素是：定义域、值域和定义域到值域的对应法则；对应法则是函数的核心(它规定了x和y之间的某种关系)，定义域是函数的重要组成部分（对应法则相同而定义域不同的映射就是两个不同的函数）；定义域和对应法则一经确定，值域就随之确定奎屯王新敞新疆资料个人收集整理，勿做商业用途前面我们已经学习了函数的概念，，今天我们来学习区间的概念和记号奎屯王新敞新疆二、讲解新课：1．区间的概念和记号在研究函数时,常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号.设a,bR,且ab.我们规定：①满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；②满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）；③满足不等式axb或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b),(a，b].这里的实数a和b叫做相应区间的端点.在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点：资料个人收集整理，勿做商业用途定义名称符号数轴表示{x|axb}闭区间[a，b]{x|axb}开区间(a，b){x|axb}左闭右开区间[a，b]2/9{x|axb}左开右闭区间(a，b)这样实数集R也可用区间表示为(-,+),“”读作“无穷大”，“-”读作“负无穷大”，“+”读作“正无穷大”.还可把满足xa，xa，xb，xb的实数x的集合分别表示为[a，+)，（a，+）,(-,b],(-,b).资料个人收集整理，勿做商业用途注意：书写区间记号时：①有完整的区间外围记号（上述四者之一）；②有两个区间端点，且左端点小于右端点；③两个端点之间用“，”隔开.2．求函数定义域的基本方法我们知道，根据函数的定义，所谓“给定一个函数”，就应该指明这个函数的定义域和对应法则（此时值域也往往随着确定），不指明这两点是不能算给定了一个函数的，那么为什么又在给定函数之后来求它的定义域呢？这是由于用解析式表示函数时，我们约定：如果不单独指出函数的定义域是什么集合，那么函数的定义域就是能使这个式子有意义的所有实数x的集合.有这个约定，我们在用解析式给出函数的对应法则的同时也就给定了定义域，而求函数的定义域就是在这个意义之下写出使式子有意义的所有实数组成的集合.资料个人收集整理，勿做商业用途3．分段函数：有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数.资料个人收集整理，勿做商业用途4．复合函数：设f(x)=2x3，g(x)=x2+2，则称f[g(x)]=2(x2+2)3=2x2+1（或g[f(x)]=(2x3)2+2=4x212x+11）为复合函数资料个人收集整理，勿做商业用途三、讲解范例：下面举例说明函数定义域的求法.例1已知10)(xxf)0()0()0(xxx1)]}1([{)0(;0)1(;2)1(ffffff例2已知f(x)=x21g(x)=1x求f[g(x)]解：f[g(x)]=（1x）21=x+2x例3求下列函数的定义域：3/9①14)(2xxf②2143)(2xxxxf③)(xfx11111④xxxxf0)1()(⑤373132xxy解：①要使函数有意义，必须：142x即：33x∴函数14)(2xxf的定义域为：[3,3]②要使函数有意义，必须：13140210432xxxxxxx且或4133xxx或或∴定义域为：{x|4133xxx或或}③要使函数有意义，必须：011110110xxx2110xxx∴函数的定义域为：}21,1,0|{xRxx且④要使函数有意义，必须：001xxx01xx∴定义域为：011|xxx或⑤要使函数有意义，必须：073032xx37xRx4/9即x37或x37∴定义域为：}37|{xx例4若函数aaxaxy12的定义域是R，求实数a的取值范围奎屯王新敞新疆解：∵定义域是R,∴恒成立，012aaxax∴2001402aaaaa等价于例5若函数)(xfy的定义域为[1，1]，求函数)41(xfy)41(xf的定义域奎屯王新敞新疆解：要使函数有意义，必须：43434543434514111411xxxxx∴函数)41(xfy)41(xf的定义域为：4343|xx求用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.例6已知f(x)满足xxfxf3)1()(2，求)(xf；∵已知xxfxf3)1()(2①，将①中x换成x1得xxfxf3)()1(2②，①×2-②得xxxf36)(3∴xxxf12)(.例7设二次函数)(xf满足)2()2(xfxf且)(xf=0的两实根平方和为10，5/9图象过点(0,3)，求)(xf的解析式.解：设)0()(2acbxaxxf,∵图象过点(0,3),∴有f(0)=c=3,故c=3；又∵f(x)满足)2()2(xfxf且)(xf=0的两实根平方和为10，∴得对称轴x=2且2122122212)(xxxxxx=10，即22ab且10622aab，∴a=1，b=-4，∴34)(2xxxf四、练习：1．设)(xf的定义域是[3，2]，求函数)2(xf的定义域奎屯王新敞新疆解：要使函数有意义，必须：223x得：221x∵x≥0∴220x2460x∴函数)2(xf的定域义为：2460|xx2．已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x1,求f(x)的解析式奎屯王新敞新疆解：设f(x)=kx+b则k(kx+b)+b=4x1则3121)1(42bkbkk或12bk∴312)(xxf或12)(xxf3．若xxxf21(）,求f(x)奎屯王新敞新疆解法一（换元法）：令t=1x则x=t21,t≥1代入原式有1)1(2)1()(22ttttf∴1)(2xxf（x≥1）解法二（定义法）：1)1(22xxx∴1)1()1(2xxf1x≥16/9∴1)(2xxf(x≥1)五、小结本节课学习了以下内容：区间的概念和记号，求函数定义域的基本方法，求解析式的方法，分段函数；复合函数奎屯王新敞新疆六、课后作业：课本第52页习题2.1：6补充：1已知：)(xf=x2x+3求：f(x+1),f(x1)解：f(x1)=(x1)2x1+3；f(x+1)=(x+1)2(x+1)+3=x2+x+32已知函数)(xf=4x+3，g(x)=x2,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)].资料个人收集整理，勿做商业用途解：f[f(x)]=4f(x)+3=4(4x+3)+3=16x+15；f[g(x)]=4g(x)+3=4x2+3；g[f(x)]=[f(x)]2=(4x+3)2=16x2+24x+9；g[g(x)]=[g(x)]2=(x2)2=x4.3若xxxf1)1(求f(x)解：令xt1则tx1(t0)则11111)(ttttf∴f(x)=11x(x0且x1)七、板书设计（略）八、课后记：课题：1.1集合－集合的概念（2）教学目的：（1）进一步理解集合的有关概念，熟记常用数集的概念及记法（2）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义（3）会运用集合的两种常用表示方法教学重点：集合的表示方法教学难点：运用集合的列举法与描述法，正确表示一些简单的集合授课类型：新授课7/9课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：上节所学集合的有关概念1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合奎屯王新敞新疆（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素奎屯王新敞新疆2、常用数集及记法（1）自然数集：全体非负整数的集合奎屯王新敞新疆记作N，,2,1,0N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集奎屯王新敞新疆记作N*或N+，,3,2,1*N（3）整数集：全体整数的集合奎屯王新敞新疆记作Z,，，，210Z（4）有理数集：全体有理数的集合奎屯王新敞新疆记作Q,所有整数与分数Q（5）实数集：全体实数的集合奎屯王新敞新疆记作R，数数轴上所有点所对应的R3、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作Aa4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可奎屯王新敞新疆（2）互异性：集合中的元素没有重复奎屯王新敞新疆（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）5、（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……（2）“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写奎屯王新敞新疆二、讲解新课：（二）集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合奎屯王新敞新疆例如，由方程012x的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，…，100}所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}（2）a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只8/9有一个元素奎屯王新敞新疆2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法奎屯王新敞新疆格式：{x∈A|P（x）}含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合奎屯王新敞新疆例如，不等式23x的解集可以表示为：}23|{xRx或}23|{xx奎屯王新敞新疆所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形xx注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分奎屯王新敞新疆如：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法奎屯王新敞新疆4、何时用列举法？何时用描述法？⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法奎屯王新敞新疆如：集合},5,23,{2232yxxyxx⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法奎屯王新敞新疆如：集合}