4.6-能控规范形和能观规范形

Ch.4线性系统的能控性和能观性目录(1/1)目录概述4.1线性连续系统的能控性4.2线性连续系统的能观性4.3线性定常离散系统的能控性和能观性4.4对偶性原理4.5线性系统的结构性分解和零极点相消4.6能控规范形和能观规范形4.7实现问题4.8Matlab问题本章小结能控规范形和能观规范形(1/3)4.6能控规范形和能观规范形由于状态变量选择的非唯一性,系统的状态空间模型具有非唯一性。若在状态空间的一组特定基底下,系统的状态空间模型具有某种特定形式,则称这种形式的状态空间模型为规范形。约旦规范形(对角线规范形)就是以系统的特征向量为其状态空间基底所导出的规范形。从前面讨论中可以看出,一旦把状态空间模型通过线性变换化成约旦规范形,对于状态转移矩阵(t)求解以及状态能控性和能观性分析都是十分方便的。能控规范形和能观规范形(2/3)下面我们将讨论,通过线性变换将SISO系统的状态空间模型变换成对于系统的状态反馈设计十分方便的能控规范形和能简化系统的状态观测器设计的能观规范形。讨论的主要问题:基本定义:能控规范I/II形、能观规范I/II形旺纳姆能控规范II形龙伯格能控规范II形基本方法:能控规范形和能观规范形的变换方法能控规范形和能观规范形(3/3)讲授顺序为:能控规范形能观规范形MIMO系统的能控能观规范形。则称该状态空间模型为能控规范I形。能控规范形(1/16)—能控规范形定义4.6.1能控规范形定义若SISO系统的状态空间模型为12100011000010000010nnnaaABaa且系统矩阵A和输入矩阵B分别为xyuxxCBA能控规范形(2/16)—能控规范形定义若系统矩阵A和输入矩阵B分别为10...0-...--1...00............0...1011BaaaAnn则称该状态空间模型为能控规范II形。能控规范形(3/16)上述能控规范I形和II型的系统矩阵A分别为前面讨论过的友矩阵的转置和友矩阵。下面讨论如下两个问题:能控规范形一定是状态完全能控和一定存在线性变换将状态能控的状态空间模型变换成能控规范形。即能控性矩阵的秩都为n。故能控规范I形与II型必定是状态完全能控的。能控规范形(4/16)能控规范形一定是状态完全能控?由状态能控的代数判据,对能控规范I形和II型,有如下能控性矩阵:1110...001...0I...00...100...1II...01...*1*...*ncncQBABABQBABAB型：型：能控规范形(5/16)由于线性变换不改变状态能控性,而能控规范形一定状态完全能控,因此,只有状态完全能控的系统才能变换成能控规范形。下面讨论将完全能控的状态空间模型变换成能控规范形,以及该线性变换的变换矩阵的构造问题。对此,有如下对能控状态空间模型变换成能控规范I形和II型的定理。定理4-24对状态完全能控的线性定常连续系统Σ(A,B)引入变换矩阵Tc1如下Tc1=Qc=[BAB…An-1B]是非奇异的。那么必存在一线性变换,能将上述状态方程变换成能控规范I形:能控规范形(6/16)--能控规范I形定理其中系统矩阵和输入矩阵如能控规范I形所定义的。uxxBA~~~~AB1cxTx证明若取变换矩阵Tc1=Qc,则由能控规范形(7/16)--能控规范I形定理有111111[]ncccTTTBABABI11111[10...0][0...010...0]2,3,...,ciciTBTABin第列因此,由系统线性变换和凯莱-哈密顿定理有能控规范形(8/16)--能控规范I形定理11211111210121[][]0001000100001ncccnicniinnnATATTABABABTABABaABaaaa11[100]cBTB即证明了变换矩阵Tc1=Qc可将能控状态空间模型变换成能控规范I形。定理4-25对状态完全能控的线性定常连续系统Σ(A,B)引入变换矩阵Tc2如下式中，T1=[0…01][BAB…An-1B]-1那么必存在一线性变换,能将上述状态方程变换成如下能控规范II形:能控规范形(9/16)--能控规范II形定理111211cnTTATTAuxxBA~~~~2cxTx其中系统矩阵和输入矩阵如能控规范II形所定义的。ABQc的逆矩阵的最后一行能控规范形(10/16)证明证明的思路为:先构造变换矩阵P的逆为行向量组成利用变换关系A~=P-1AP,确定P-1的行之间的关系利用变换关系B~=P-1B,最后确定T1证明过程为:设变换矩阵Tc2的逆阵为1212...cnTTTT能控规范形(11/16)则由，可得代入友矩阵,则有ATTTTTTaaannnn......-...--1...00............0...10212111即ATATATTTnnn112...*...122ccATAT1122ccATTA12cAT和能控规范形(12/16)因此,有Ti=T1Ai-1i=2,3,…,n即能控性变换矩阵Tc2为111211...cnTTATTA能控规范形(13/16)下面讨论T1的计算。由111211...cnTBTABBTBTAB求转置,并代入向量,考虑到对SISO系统T1AiB为标量,则有]...[]...[~]10...0[111111τBAABBTBATABTBTBnn即T1=[0…01][BAB…An-1B]-1B是非奇异矩阵,即该系统为状态完全能控,因此可以将其变换成能控规范形。能控规范形(14/16)—例4-19由上述计算过程,可很便利地将能控的状态空间模型转换为能控规范形。例4-19试求如下系统的能控规范I和II形:uxx112101解系统的能控性矩阵3111][ABBQc能控规范形(15/16)(2)求能控规范I形。根据定理4-24,系统变换矩阵可取为11111311,13112cccTQT因此,经变换后所得的能控规范I形的状态方程为111111021130[13]ccccTATTBCTxxuxuyxx1cxTx能控规范形(16/16)(2)求能控规范II形。计算变换矩阵先求变换矩阵。根据定理4-25,有T1=[01][BAB]-1=[1/21/2]则变换矩阵Tc2可取为1122111221,02012ccTTTTA因此,经变换后所得的能控规范形的状态方程为11222201023101ccccTATTBCTxxuxuyxx2cxTx能观规范形(1/9)—能观规范形定义4.6.2能观规范形对应于能控规范形,若SISO线性定常连续系统Σ(A,B,C)的系统矩阵A和输出矩阵C分别为1`210100001000011000nnnAaaaaC则称该状态空间模型为能观规范I形；能观规范形(2/9)—能观规范形定义对应于能控规范形,若SISO线性定常连续系统Σ(A,B,C)的系统矩阵A和输出矩阵C分别为12100010001000010001nnnaaAaaC则称该状态空间模型为能观规范II形。能观规范形(3/9)由上述定义可知:能观规范形与能控规范形是互为对偶的,即能观规范I形与能控规范I形互为对偶,而能观规范II形与能控规范II形互为对偶。由对偶性原理可知,能控规范形是状态完全能控的,则其对偶系统能观规范形是状态完全能观的。由于线性变换不改变能观性,而能观规范形一定状态完全能观,因此,只有状态完全能观的系统才能变换成能观规范形。下面讨论将完全能观的状态空间模型变换成能观规范I/II形,以及该线性变换的变换矩阵的构造问题，对此,有如下定理。定理4-26对状态完全能观的线性定常连续系统Σ(A,B,C)引入变换矩阵To1满足那么线性变换,必能将状态空间模型Σ(A,B,C)变换成能观规范I形:能观规范形(4/9)--能观规范I形定理其中系统矩阵和输入矩阵如能观规范I形所定义的。ABCxxuyxAB1oxTx111oonCCATQCA定理4-27对状态完全能观的线性定常连续系统Σ(A,B,C)引入变换矩阵co2如下To2=[R1AR1…An-1R1]式中，那么必存在一线性变换,能将状态空间模型Σ(A,B,C)变换成如下能观规范II形:能观规范形(5/9)--能观规范II形定理1111000011onCCARQCAABCxxuyx2oxTx其中系统矩阵和输入矩阵如能观规范II形所定义的。ABQo的逆矩阵的最后一列能观规范形(6/9)—例4-20由于能观规范形与能控规范形互为对偶,因此,能观规范形变换定理4-26与定理4-27的证明可由能控规范形变换定理4-24与定理4-25的证明直接给出,这里不再赘述。例4-20试求如下系统状态方程的能观规范I形与II型xyxx2/112011能观规范形(7/9)—例4-2001-1/2-1-CACQo是非奇异矩阵,即该系统为状态完全能观,因此可以将其变换成能观规范形。解由于系统的能观性矩阵能观规范形(8/9)(1)求能观规范I形。根据定理4-26,系统变换矩阵可取为111-2-1011,-20222oooTQT因此,经变换后所得的能观规范形的状态方程为11110123[10]oooTATCTxxxyxx能观规范形(9/9)(2)求能观规范II形。根据定理4-27,先求变换矩阵，有21-1001-1/2-1-10111CACR则变换矩阵To2可取为2111324oTRAR因此,经变换后所得的能观规范II形的状态方程为1222021301oooTATCTxxxyxxMIMO系统的能控能观规范形(1/1)4.6.3MIMO系统的能控能观规范形MIMO线性定常连续系统的能控规范形和能观规范形,相比于SISO系统,无论是规范形形式还是构造方法都要复杂一些。本节从基本性和实用性出发,仅讨论应用较广的旺纳姆(Wonham)能控规范II形和龙伯格(Luenberger)能控规范II形。旺纳姆能控规范II形(1/1)1.旺纳姆能控规范II形下面分别介绍旺纳姆能控规范II形定义变换阵Tw的确定旺纳姆能控规范II形定义(1/3)(1)旺纳姆能控规范II形定义对完全能控的MIMO线性定常连续系统式中，A为维系统矩阵,B为维输入矩阵,C为维输出矩阵。基于线性非奇异变换,可导出系统的旺纳姆能控规范II形为式中，ABCxxuyxxxuyxwTxx旺纳姆能