初高中数学衔接知识点+配套练习

第一讲数与式的运算在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容．一、乘法公式【公式1】cabcabcbacba222)(2222证明：2222)(2)(])[()(ccbabacbacba222222aabbacbcc等式成立【例1】计算：22)312(xx解：原式=22]31)2([xx913223822)2(312312)2(2)31()2()(234222222xxxxxxxxxx说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．【公式2】3322))((babababa(立方和公式)证明:3332222322))((bababbaabbaabababa说明:请同学用文字语言表述公式2.【例2】计算：))((22bababa解：原式=333322)(])()()][([bababbaaba我们得到：【公式3】3322))((babababa(立方差公式)请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式．【例3】计算：2（1）)416)(4(2mmm（2）)41101251)(2151(22nmnmnm（3）)164)(2)(2(24aaaa（4）22222))(2(yxyxyxyx解：（1）原式=333644mm（2）原式=3333811251)21()51(nmnm（3）原式=644)()44)(4(63322242aaaaa（4）原式=2222222)])([()()(yxyxyxyxyxyx63362332)(yyxxyx说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的．【例4】已知0132xx，求331xx的值．解：0132xx0x31xx原式=18)33(3]3)1)[(1()11)(1(2222xxxxxxxx说明：本题若先从方程0132xx中解出x的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．【例5】已知0cba，求111111()()()abcbccaab的值．解：bacacbcbacba,,,0原式=abbacaccabbccbaabccbaabccacbbbcaa222)()()(①abccabccabbababa3)3(]3))[((32233abccba3333②，把②代入①得原式=33abcabc说明：注意字母的整体代换技巧的应用．引申：同学可以探求并证明：))((3222333cabcabcbacbaabccba3二、根式式子(0)aa叫做二次根式，其性质如下：(1)2()(0)aaa(2)2||aa(3)(0,0)ababab(4)(0,0)bbabaa【例6】化简下列各式：(1)22(32)(31)(2)22(1)(2)(1)xxx解：(1)原式=|32||31|23311(2)原式=(1)(2)23(2)|1||2|(1)(2)1(1x2)xxxxxxxx说明：请注意性质2||aa的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：(1)323(2)11ab(3)3282xxx解：(1)原式=23(23)3(23)63323(23)(23)(2)原式=22ababababab(3)原式=2222222223222xxxxxxxxxxx说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式(如323)或被开方数有分母(如2x)．这时可将其化为ab形式(如2x可化为2x)，转化为“分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(如323化为3(23)(23)(23)，其中23与23叫做互为有理化因式)．4【例8】计算：(1)2(1)(1)()ababab(2)aaaabaab解：(1)原式=22(1)()(2)2221baaabbaabb(2)原式=11()()aaaabaababab()()2()()ababaababab说明：有理数的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算．【例9】设2323,2323xy，求33xy的值．解：22(23)23743,74314,12323xyxyxy原式=2222()()()[()3]14(143)2702xyxxyyxyxyxy说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．三、分式当分式AB的分子、分母中至少有一个是分式时，AB就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1)利用除法法则；(2)利用分式的基本性质．【例10】化简11xxxxx解法一：原式=222(1)11(1)1(1)(1)11xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解法二：原式=22(1)1(1)(1)111()xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质AAmBBm进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法．5【例11】化简222396162279xxxxxxxx解：原式=22239611612(3)3(3)(3)2(3)(3)(39)(9)xxxxxxxxxxxxxxx22(3)12(1)(+3)32(3)(3)2(3)(3)xxxxxxxx说明：(1)分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2)分式的计算结果应是最简分式或整式．第二讲因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．一、公式法(立方和、立方差公式)在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：2233()()abaabbab(立方和公式)2233()()abaabbab(立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：3322()()ababaabb3322()()ababaabb这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)．运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解．【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：(1)38x(2)30.12527b分析：(1)中，382，(2)中3330.1250.5,27(3)bb．解：(1)333282(2)(42)xxxxx(2)333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]bbbbb2(0.53)(0.251.59)bbb说明：(1)在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如63338(2)abab，这里逆用了法则()nnnabab；(2)在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号．【例2】分解因式：(1)34381abb(2)76aab分析：(1)中应先提取公因式再进一步分解；(2)中提取公因式后，括号内出现66ab，可看着是3232()()ab或2323()()ab．解：(1)3433223813(27)3(3)(39)abbbabbabaabb．(2)76663333()()()aabaabaabab22222222()()()()()()()()aabaabbabaabbaababaabbaabb二、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如mambnanb既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．1．分组后能提取公因式【例3】把2105axaybybx分解因式．分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然后从两组分别提出公因式2a与b，这时另一个因式正好都是5xy，这样可以继续提取公因式．解：21052(5)(5)(5)(2)axaybybxaxybxyxyab说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．【例4】把2222()()abcdabcd分解因式．分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．解：22222222()()abcdabcdabcabdacdbcd2222()()abcacdbcdabd()()()()acbcadbdbcadbcadacbd说明：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中7所起的作用．2．分组后能直接运用公式【例5】把22xyaxay分解因式．分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是xy；把第三、四项作为另一组，在提出公因式a后，另一个因式也是xy.解：22()()()()()xyaxayxyxyaxyxyxy