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07高一年级数学同步辅导07高一数学同步辅导集合与简易逻辑典型例题解析第一章集合与简易逻辑典型例题解析例1以下说法中正确的个数有（）①表示同一个集合②与表示同一个集合；③空集是唯一的；④与，则集合。A﹒3个B﹒2个C﹒1个D﹒0个解：①集合M表示由点（1，2）组成的单点集，集合N表示点（2，1）组成的单点集。②由集合元素无序性可知M，N表示同一个集合。③由且（其中、均为空集）由集合相等定义可知即证明空集唯一性。④对于要认识一个集合，应从以下方面入手①判断集合元素是什么；②元素有何属性（如表示数集，点集等），表示集合时与代表元素采用的字母无关。而④中的集合都表示大于等于1的实数组成的集合，故相等，选A。例2若集合：，，则M，N，P的关系是（）A﹒B﹒C﹒D﹒解对集合对集合对于∴，故选B。例3设全集，，，判断与之间的关系．解：∵∴∵∴∴例4.如图所示，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A﹒B﹒C﹒ISD﹒IS解此阴影部分是属于M且属于P，即。但又不属于S集，所以为IS，故选C。例5解不等式．点拨一这是一个含有两个绝对值的符号的不等式，为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式，要进行分类讨论．解法一由代数式，知，－2，1把实数集分为三个区间：，，．当时，原不等式变为，即；当时，原不等式变为，即；当时，原不等式变为，即．综上，知原不等式的解集为．点评解这类绝对值符号里是一次式的不等式，其一般步骤是：（1）令每个绝对值符号里的一次式为零，求出相应的根；（2）把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；（3）由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；（4）这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．点拨二不等式的几何意义是表示数轴上与及B（1）两点距离之和小于4的点．而A，B两点距离为3，因此线段AB上每一点到A，B的距离之和都等于3．如下图，要找到与A，B的距离这和为4的点，问题就迎刃而解了．解法二如上图，要找到与A，B距离之和为4的点，只需由点B向右移动个单位，这时距离之和增加1个单位，即移到点．或由点A向左移动个单位，即移到点．可以看出，数轴上点向左的点或者向右的点到A，B两点的距离之和均小于4．所以，原不等式的解集为．点拨三从函数的角度思考，可分别画出函数和的图象．观察即得．解法三如右图．．不难看出，要使，只须．所以，原不等式的解集为．点评对于解法一，要孰记或两种类型的解法，关键是正确分类并转化为不含绝对值的不等式；对于解法二，要搞清它的几何意义是什么，并注意结论是否包括端点；对于解法三，关键是正确画出两个函数的图象，并准确写出它们交点的坐标．三种方法都比较直观、简捷，不同程度体现了分类讨论、函数与方程、数形结合等数学思想方法，各有千秋，都是我们应该熟练掌握的解题通性通法．例6解不等式．解法一原不等式等价于（Ⅰ）或（Ⅱ）解（Ⅰ），得，或．解（Ⅱ），得解集为空集．所以，原不等式的解集为．解法二原不等式等价于（Ⅰ），或（Ⅱ）．解（Ⅰ），得，或．解（Ⅱ），得解集为空集．所以，原不等式的解集为．点评比较两种解法可以看出，第二种解法比较简便．在第二种解法中，用到了下列关系：若，则等价于，或．解法三在直角坐标系中分别画出，，．如图，不难看出，要使，只须，或．所以，原不等式的解集为．例7解不等式（为参数）分析这是一个含有字母的一元二次不等式，在解题时要注意对字母的讨论．解：原不等式可化为若，则，即，原不等式的解集为；若，即或，则原不等式的解集为；若，即或，则原不等式的解集为因此，当时，原不等式的解集为；当或时，原不等式的解集为说明：此题是带字母问题，要涉及到分类讨论问题。讨论中又涉及到解二次不等式，所用到的知识比较多，条理也要求必须清楚，才能正确解决此题．例8不等式的解是全体实数，求实数的取值范围。分析：此题应就所给不等式是一次还是二次进行分类讨论，针对二次的情形应结合二次函数的图象，知此时应有且，特别要强调此时。解：若，不等式为，其解集为若，不等式为，其解集显然不是全体实数，故不符合条件。若，不等式为二次不等式，有解得即综上得，说明：解含有字母的一元二次不等式要根据字母范围进行讨论，当二次系数含有字母时，应首先考虑其值是否为零。例8已知，且，（），求实数P的取值范围。解：由知，关于的二次方程无正根。（1）若方程无实根：，得；（2）若方程有实根，，但无正根；此时由，得或，而由韦达定理由知两根均为正或均为负，由条件显然须，，于是，∴因此由上述的（1），（2）得的取值范围是注：要注意的可能性，否则会“缩小”解的范围，特别对于的存在，初学者往往容易忽略。例9解关于的不等式：分析：由于字母系数的影响，不等式可以是一次的，也可以是二次的，在二次的情况下，二次项系数可正、可负，且对应二次方程的两个根2，的大小也受的影响，这些都应予以考虑。解：当时，原不等式化为，其解集为当时，有，原不等式化为，其解集为当时，。原不等式化为，其解集是当时，原不等式化为，其解集是当时，原不等式化为，其解集是说明对于二次项系数含有字母的不等式，一定要注意对二次项系数讨论，分为一元一次不等式和一元二次不等式两种情况．例10分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并判断它们的真假．（1）三个角相等的三角形不是直角三角形；（2）的元素既是的元素又是的元素；（3）若是的元素或是的元素，则是的元素；（4）两条对角线垂直的平行四边形是菱形或正方形；（5）不是方程的解．解：（1）这个命题是“非”的形式，其中：三个角相等的三角形是直角三角形．因为是假命题，所以这个命题是真命题．（2）这个命题是“且”的形式，其中：的元素是的元素，：的元素是的元素．因为、都是真命题，所以这个命题是真命题．（3）这个命题是“或”的形式，其中：若是的元素，则是的元素，：若是的元素，则是的元素．因为、都是真命题，所以这个命题是真命题．（4）这个命题是“或”的形式，其中：两条对角线垂直的平行四边形是菱形，：两条对角线垂直的平行四边形是正方形．因为是真命题，是假命题，所以这个命题是真命题．（5）这个命题是“非”的形式，其中：是方程的解．因为是真命题，所以这个命题是假命题．例11（1）和都是简单命题，那么下列结论正确的是（）．A．真，则“且”一定真B．假，则“且”不一定假C．“且”真一定真D．“且”假，一定假（2）命题“且”与命题“或”都是假命题，那么下列结论正确的是（）．A．命题“非”与命题“非”其值不同；B．命题“非”与命题“非”至少有一个为假命题；C．命题“非且非”是真命题；D．命题与命题“非”真值相同．（3）若命题“或”与命题“且”都是真命题，那么下列四个结论中正确的个数是（）．①命题一定是真命题；②命题不一定是真命题；③命题不一定是真命题；④命题与的真值相同．A．1B．2C．3D．4分析由真值表知：（1）“非”形式复合命题的真假与的真假相反；（2）“或”形式复合命题当与同为假时为假，其他情况均为真；（3）“且”形式复合命题当与同为真时为真，其他情况均为假．解：（1）选（C）；（2）选（C）；（3）只有①、④正确．选（B）．例12把下列命题改写成“则”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题：（1）两条平行线不相交．（2）正数的算术平方根是正数．分析：重点找出原命题的条件与结论．解：（1）原命题可写成：若两条直线平行，则两直线不相交；逆命题：若两条直线不相交，则两直线平行；否命题：若两直线不平行，则两直线必相交；逆否命题：若两直线相交，则两直线不平行．（2）原命题：若一个数是正数，则它的算术平方根是正数；逆命题：若一个数的算术平方根是正数，则它是正数；否命题：若一个数不是正数，则它的算术平方根不是正数；逆否命题：若一个数的算术平方根不是正数，则它不是正数．例13判断下列命题的真假，并写出它的逆命题，否命题，逆否命题．同时，也判断这些命题的真假．（1）若，则或．（2）若，则．（3）若在二次函数中，则该二次函数图像与轴有公共点．解：（1）该命题为真．逆命题：若或，则．为假．否命题：若，则，，为假．逆否命题：若，，则．为真．（2）该命题为假．逆命题：若，则．为真．否命题：若，则．为真．逆否命题：若，则．为假．（3）该命题为假．逆命题：若二次函数的图像与轴有公共点，则．为假．否命题：若二次函数中，，则该二次函数图象与轴没有公共点．为假．逆否命题：若二次函数的图像与轴没有公共点，则．为假．评注：（1）写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论，然后依照定义来写．（2）在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要应用“原命题与其逆否命题同真或同假；逆命题与否命题同真或同假”来判定．例14当时，如果，那么．写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．分析：是原命题的大前提，故在给出其它三个命题时，仍是它们的大前提．解：逆命题：“当时，若，则．”由得，由得，故的分子可以是负数，即不成立，即逆命题为假．否命题：“当时，若，那么．”由得，由得，即．因此，不能成立，否命题也为假．事实上，逆命题与否命题互为逆否命题，它们是等价命题，即它们同真、同假．逆否命题：“当时，如果，那么．”此命题为真．由于，当时，，故的分子为负，分母为正，即．注：例题中，由于原命题的逆否命题为真，故原命题亦为真．“”是上述几个命题的大前提．例15已知三个关于的方程：，，中至少有一个方程有实数根，求实数的取值范围．点拨这类求参数取值范围的问题，直接求需分类讨论，很繁冗．若用反证法的思想和补集的思想求解，就一目了然．解设三个关于的方程均无实数根，则解①，得；解②，得，或；解③，得．取①，②，③的交集，即不等式组的解集为．则使三个方程中至少有一个方程有实根的实数的取值范围应为，即．例16已知关于的一元二次方程（）①②求方程①和②的根都是整数的充要条件。解方程①有实数根的充要条件是，解得；方程②有实数根的充要条件是，解得。所以。而，得，或，或。当时，方程①为，无整数根；当时，方程②为，无整数根；当时，方程①为，方程②为，①和②的根都是整数。从而，①和②的根都是整数；反之，①和②的根都是整数。所以方程①和②的根都是整数的充要条件是。例17若甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，丁是乙的必要条件，问甲是丙的什么条件？乙是丁的什么条件？解：由题意，分析如下图所示。根据图示得：甲是丙的充分条件，乙是丁的充要条件．常见错误及分析：错解1：由图知，甲是丙的充分不必要条件，产生错误的原因是把“甲乙”理解成了错解2：判为“乙是丁的充分条件”．产生错误的原因是只看出“”，而没有根据推理“”得出“”．例18已知：；：．若是的必要而不充分条件，求实数的取值范围．点拨可以有两个思路：（1）先求出和，然后根据，，求得的取值范围；（2）若原命题为“若，则”，其逆否命题是“若则”，由于它们是等价的，可以把求是的必要而不充分条件等价转换为求是的充分而不必要条件．解法一求出：或，：或．由是的必要而不充分条件，知BA，它等价于同样解得的取值范围是．解法二根据思路二，是的必要而不充分条件，等价于是的充分而不必要条件．设：；：；所以，AB，它等价于同样解得的取值范围是．