动态最优化第10讲-具有约束的最优控制问题

动态最优化方法——第10讲具有约束的最优控制问题第十讲具有约束的最优控制问题最优控制两种类型额约束1.涉及控制变量的约束控制变量出现在约束中，有或者没有状态变量（等式约束、不等式约束、等式积分约束、不等式积分约束）2.涉及状态变量的约束（状态空间约束）没有控制变量，约束仅影响状态变量第十讲具有约束的最优控制问题（一）涉及控制变量的约束（1）等式约束2个控制变量u1和u2满足1个约束条件：最优控制问题：cuuytg21,,,边界条件cuuytguuytfdtdyTSdtuuytFMaxT2121021,,,,,,..,,,小于控制变量个数要求：约束条件个数需第十讲具有约束的最优控制问题（一）涉及控制变量的约束（1）等式约束求解：汉密尔顿函数：构造拉格朗日函数（增广汉密尔顿函数）：2121,,,,,,uuytftuuytFH21212121,,,,,,,,,,,,uuytgctuuytftuuytFuuytgctH第十讲具有约束的最优控制问题（一）涉及控制变量的约束（1）等式约束最大化拉格朗日函数的一阶条件：还需要一个适当的二阶条件保证充分性212121,,,,,,,,,uuytgctuuytftuuytFTtuuytgcjTtugufuFujjjj,00,,,2,1,0021对于所有的）（对于所有的第十讲具有约束的最优控制问题（一）涉及控制变量的约束（1）等式约束最大值原理的其它条件（运动方程）：加适当的横截条件212121,,,,,,,,,uuytgctuuytftuuytF）（共态变量的运动方程）（状态变量的运动方程ygyHydtdHdtdy第十讲具有约束的最优控制问题（一）涉及控制变量的约束（2）不等式约束2个控制变量和2个不等式约束：边界条件2212121121021,,,,,,,,,..,,,cuuytgcuuytguuytfdtdyTSdtuuytFMaxT小于控制变量个数不需要求约束条件个数第十讲具有约束的最优控制问题（一）涉及控制变量的约束（2）不等式约束汉密尔顿函数：构造拉格朗日函数：2121,,,,,,uuytftuuytFH2221112122221111,,,,,,gcgcfFuuytgctuuytgctH第十讲具有约束的最优控制问题（一）涉及控制变量的约束（2）不等式约束假设存在内部解，最大化拉格朗日函数的一阶条件：TtigcjugugufuFuiiiiiijjjjj,02,10,0,02,102211对于所有的）（）（222111gcgcfF第十讲具有约束的最优控制问题（一）涉及控制变量的约束（2）不等式约束最大值原理的其它条件（运动方程）：加适当横截条件222111gcgcfF）（共态变量的运动方程）（状态变量的运动方程ygygyHydtdHdtdy2211第十讲具有约束的最优控制问题（一）涉及控制变量的约束（2）不等式约束如果模型存在控制变量的非负性约束：最优控制问题如：0tui0,,,,,,,,,..,,,12212121121021ucuuytgcuuytguuytfdtdyTSdtuuytFMaxT0,,,,,,,,,..,,,12212121121021ucuuytgcuuytguuytfdtdyTSdtuuytFMaxT第十讲具有约束的最优控制问题（一）涉及控制变量的约束（2）不等式约束汉密尔顿函数：构造拉格朗日函数：2121,,,,,,uuytftuuytFH132221111322211100ugcgcfFugcgcH第十讲具有约束的最优控制问题（一）涉及控制变量的约束（2）不等式约束最大化拉格朗日函数的一阶条件：132221110ugcgcfF0,0,02,10,0,00013303313000222211222031221111110uuigcugugufuFuugugufuFuiiiiii）（0第十讲具有约束的最优控制问题（一）涉及控制变量的约束（2）不等式约束如果构造拉格朗日函数为：最大化拉格朗日函数的一阶条件等价为：130222111ugcgcfF即：00,0,0210,0,00,0,00000133033130002203110uu,iuuuuiiiiiiii）（第十讲具有约束的最优控制问题（一）涉及控制变量的约束（2）不等式约束0,0,00,0,0001331231uuuuiiii0,0,000,0,00,0,211111331iiiiuuuuuuu由于：简化为：的最大化一阶条件：对于222111gcgcfF第十讲具有约束的最优控制问题（一）涉及控制变量的约束（2）不等式约束所以，对于控制变量的非负性约束：可直接把拉格朗日函数设为不包含此非负性约束的形式：并把最大化拉格朗日一阶条件的：0iu致负性约束形式的条件一其它条件跟没有变量非直接替换为：0,0,00iiiiiuuuuu222111gcgcfF第十讲具有约束的最优控制问题（一）涉及控制变量的约束（2）不等式约束最大值原理的其它条件（运动方程）：加适当横截条件222111gcgcfF拉格朗日函数：）（共态变量的运动方程）（状态变量的运动方程ygygyHydtdHdtdy2211第十讲具有约束的最优控制问题（一）涉及控制变量的约束（3）等周问题1个状态变量，1个控制变量，1个积分约束问题：给定）（自由TyTyyykdtuytGuytfdtdyTSdtuytFMaxTT,0,,,,..,,0000第十讲具有约束的最优控制问题（一）涉及控制变量的约束（3）等周问题引入1个新的状态变量，使得积分约束可以用这个状态变量表示的1个条件代替：有：dtuytGtΓt0,,kdtuytGTΓdtuytGΓΓuytGdtdΓT000,,0,,0,,的运动方程）（第十讲具有约束的最优控制问题（一）涉及控制变量的约束（3）等周问题问题重新表述为：（两个状态变量的一个无约束问题）给定）（给定）（自由kkTΓΓTyTyyyuytGdtdΓuytfdtdyTSdtuytFMaxT00,0,,,,..,,000第十讲具有约束的最优控制问题（一）涉及控制变量的约束（3）等周问题汉密尔顿函数：最大值原理条件：uytGuytfuytFH,,,,,,（横截条件）的运动方程）（的运动方程）（的运动方程）（的运动方程）（对于所有的0,0TΓHdtdΓHdtdΓyHdtdyHdtdyTtHMaxu第十讲具有约束的最优控制问题（一）涉及控制变量的约束（3）等周问题0,00,TtyHdtdHdtdyTtHMaxtΓHdtdΓHHdtdΓΓΓu常数对于所有的述为：最大值原理条件重新表常数所以有：独立于又由于：汉密尔顿函数的运动方程：所以可省略时间路径没有直接意义变量是人为引入，它的由于第十讲具有约束的最优控制问题（一）涉及控制变量的约束（3）等周问题等周问题简便解法：横截条件对于所有的原理条件求解：然后，利用以下最大值看作常数处理）（把广汉密尔顿函数）：构造拉格朗日函数（增ydtddtdyTtMaxuytGuytfuytFu,0,,,,,,第十讲具有约束的最优控制问题（一）涉及控制变量的约束（4）不等式积分约束1个不等式积分约束：给定）（自由TyTyyykdtuytGuytfdtdyTSdtuytFMaxTT,0,,,,..,,0000第十讲具有约束的最优控制问题（一）涉及控制变量的约束（4）不等式积分约束同样引入1个新的状态变量：有：dtuytGtΓt0,,kdtuytGTΓdtuytGΓΓuytGdtdΓT000,,0,,0,,的运动方程）（第十讲具有约束的最优控制问题（一）涉及控制变量的约束（4）不等式积分约束问题重新表述为：（2个状态变量的无约束问题，新变量具有截断终结线）给定）（给定）（自由kkTΓΓTyTyyyuytGdtdΓuytfdtdyTSdtuytFMaxT00,0,,,,..,,000第十讲具有约束的最优控制问题（一）涉及控制变量的约束（4）不等式积分约束汉密尔顿函数：最大值原理条件：uytGuytfuytFH,,,,,,的横截条件）（的横截条件）（的运动方程）（的运动方程）（的运动方程）（的运动方程）（对于所有的ΓkTΓTkTΓTyTΓHdtdΓHdtdΓyHdtdyHdtdyTtHMaxu0,0,00,0第十讲具有约束的最优控制问题（一）涉及控制变量的约束（4）不等式积分约束0,,0,,00,00,00TTudtuytGkdtuytGktTyHdtdHdtdyTtHMaxtΓHdtdΓH常数对于所有的述为：最大值原理条件重新表常数所以有：独立于由于汉密尔顿函数第十讲具有约束的最优控制问题（一）涉及控制变量的约束（5）现值哈密尔顿函数和拉格朗日函数被积函数带有折现的不等式约束问题：边界条件cuytguytfdtdyTSdteuytGMaxTt,,,,..,,0第十讲具有约束的最优控制问题（一）涉及控制变量的约束（5）现值哈密尔顿函数和拉格朗日函数正常汉密尔顿函数和拉格朗日函数：最大值原理条件：uytgcuytfeuytGuytfeuytGHtt,,,,,,,,,,ydtddtdygcTtu0,0,0,00对于所有的第十讲具有约束的最优控制问题（一）涉及控制变量的约