20192020学年新人教A版必修一集合的概念与表示

备胎库学年新人教A版必修一集合教案1．集合元素的三个特性确定性、无序性、互异性。2．集合的子集个数若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n－1个，真子集有2n－1个。3．注意空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，应时刻关注对空集的讨论，防止漏解。4．集合的运算性质(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A。(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B。(3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A。∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)。一、走进教材1．(必修1P12A组T5改编)若集合P＝{x∈N|x≤2018}，a＝22，则()A．a∈PB．{a}∈PC．{a}⊆PD．a∉P解析因为a＝22不是自然数，而集合P是不大于2018的自然数构成的集合，所以a∉P。故选D。答案D2．(必修1P12B组T1改编)已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，则集合M∪N的子集的个数为________。解析由已知得M∪N＝{0,1,2,3,4,5}，所以M∪N的子集有26＝64(个)。答案64二、走近高考3．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝()A．{0,2}B．{1,2}C．{0}D．{－2，－1,0,1,2}解析根据集合交集中元素的特征，可以求得A∩B＝{0,2}。故选A。答案A4．(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝()A．{0}B．{1}C．{1,2}D．{0,1,2}解析因为A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，B＝{0,1,2}，所以A∩B＝{1,2}。故选C。答案C5．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B备胎库中元素的个数为()A．3B．2C．1D．0解析联立方程组x2＋y2＝1，y＝x，解得x＝22，y＝22或x＝－22，y＝－22，所以交点坐标分别是－22，－22，22，22。故选B。解析：集合A表示单位圆上的点的集合，集合B表示直线y＝x上的点的集合，根据图象容易判断有两个交点，故选B。答案B三、走出误区微提醒：①忽视集合的互异性致使出错；②分类讨论不全面导致漏解。6．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝________。解析因为B⊆A，所以m＝3或m＝m，即m＝3或m＝0或m＝1，根据集合元素的互异性可知，m≠1，所以m＝0或3。答案0或37．已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________。解析易得M＝{a}。因为M∩N＝N，所以N⊆M，所以N＝∅或N＝M，所以a＝0或a＝±1。答案0或1或－1考点一集合的含义及表示【例1】(1)已知集合A＝{1,2,4}，则集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}中元素的个数为()A．3B．6C．8D．9(2)设集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{9，a－5,1－a}，且A，B中有唯一的公共元素9，则实数a的值为________。解析(1)集合B中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个。故选D。(2)因为集合A，B中有唯一的公共元素9，所以9∈A。若2a－1＝9，即a＝5，此时A＝{－4，9,25}，B＝{9,0，－4}，则集合A，B中有两个公共元素－4,9，与已知矛盾，舍去。若a2＝9，则a＝±3，当a＝3时，A＝{－4,9,5}，B＝{－2，－2,9}，B中有两个元素均为－2，与集合中元素的互异性矛盾，应舍去；当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{9，－8,4}，符合题意。综上所述，a＝－3。答案(1)D(2)－3备胎库．研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义。2．利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性。【变式训练】(1)(2019·湖北天门等三地联考)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为()A．3B．4C．5D．6(2)若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________。解析(1)a∈{1,2,3}，b∈{4,5}，则M＝{5,6,7,8}，即M中元素的个数为4。故选B。(2)若a－3＝－3，则a＝0，此时集合A中含有元素－3，－1，－4，满足题意；若2a－1＝－3，则a＝－1，此时集合A中的三个元素为－4，－3，－3，不满足集合中元素的互异性；若a2－4＝－3，则a＝±1，当a＝1时，集合A中的三个元素为－2,1，－3，满足题意；当a＝－1时，不符合题意。综上可知，a＝0或a＝1。答案(1)B(2)0或1考点一集合的含义及表示【例2】(1)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为()A．7B．8C．15D．16(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________。解析(1)A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}＝{1,2,3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个。或因为集合A中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7(个)。(2)因为B⊆A，所以①若B＝∅，则2m－1m＋1，此时m2。②若B≠∅，则2m－1≥m＋1，m＋1≥－2，2m－1≤5。解得2≤m≤3。由①、②可得，符合题意的实数m的取值范围为m≤3。答案(1)A(2)(－∞，3]【互动探究】本例(2)中的集合A改为A＝{x|x－2或x5}，如何求解？解析因为B⊆A，所以①当B＝∅时，即2m－1m＋1时，m2，符合题意。②当B≠∅时，m＋1≤2m－1，m＋15，或m＋1≤2m－1，2m－1－2，解得m≥2，m4，或m≥2，m－12，即m4。综上可知，实数m的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)。答案(－∞，2)∪(4，＋∞)1．空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解。备胎库．已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题。【变式训练】(1)(2019·湖北省部分重点中学联考)已知集合M＝{x|y＝1－x2，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，则集合M，N的关系是()A．MNB．NMC．M⊆∁RND．N⊆∁RM(2)(2019·长春市调研)已知集合M＝{0,1}，则满足条件M∪N＝M的集合N的个数为()A．1B．2C．3D．4解析(1)依题意知，M＝{x|y＝1－x2，x∈R}＝{x|－1≤x≤1}，N＝{x|x＝m2，m∈M}＝{x|0≤x≤1}，所以NM。故选B。(2)由M∪N＝M，得N⊆M。又M中有2个元素，故其子集的个数为22＝4，所以集合N的个数为4。故选D。答案(1)B(2)D考点三集合的运算微点小专题方向1：集合的基本运算【例3】(2018·天津高考)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x2}，则(A∪B)∩C＝()A．{－1,1}B．{0,1}C．{－1,0,1}D．{2,3,4}解析由题意得，A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}，又C＝{x∈R|－1≤x2}，所以(A∪B)∩C＝{－1,0,1}。故选C。答案C集合的运算要注意数形结合，特别是数轴，Venn图等。方向2：利用集合运算求参数【例4】(1)(2019·南昌二中模拟)已知集合A＝{x|y＝4－x2}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为()A．(－∞，－3]∪[2，＋∞)B．[－1,2]C．[－2,1]D．[2，＋∞)(2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为()A．0B．1C．2D．4解析(1)集合A＝{x|y＝4－x2}＝{x|－2≤x≤2}，因为A∪B＝A，则B⊆A，所以有a≥－2，a＋1≤2，所以－2≤a≤1。故选C。(2)由题意可得{a，a2}＝{4,16}，所以a＝4。故选D。备胎库答案(1)C(2)D参数问题要注意分类讨论和等价转化。方向3：集合的新定义问题【例5】已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为()A．77B．49C．45D．30解析如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合A⊕B显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，则集合A⊕B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”，共45个。故A⊕B中元素的个数为45。故选C。答案C解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：①紧扣新定义。首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中；②用好集合的性质。解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素。【题点对应练】1．(方向1)设集合M＝{x|x4}，集合N＝{x|x2－2x0}，则下列关系中正确的是()A．M∪N＝MB．M∪(∁RN)＝MC．N∪(∁RM)＝RD．M∩N＝M解析因为M＝{x|x4}，N＝{x|0x2}，所以M∪N＝{x|x4}＝M，A正确；M∪∁RN＝R≠M，B错误；N∪(∁RM)＝{x|0x2}∪{x|x≥4}≠R，C错误；M∩N＝{x|0x2}＝N，D错误。故选A。答案A2．(方向2)设集合A＝{x|x2＋2x－30}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a0}，若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是()备胎库．0，34B．34，43C．34，＋∞D．(1，＋∞)解析A＝{x|x2＋2x－30}＝{x|x1或x－3}，设函数f(x)＝x2－2ax－1，因为函数f(x)＝x2－2ax－1图象的对称轴为直线x＝a(a0)，f(0)＝－10，根据对称性可知若A∩B中恰有一个整数，则这个整数为2，所以有f2≤0，f30，即4－4a－1≤0，9－6a－10，所以a≥34，a43，即34≤a43。故选B。答案B3．(方向3)设P，Q为两个非空实数集合，定义集