新人教A版必修一集合的运算学案

2019-2020学年新人教A版必修一集合的运算学案1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN＋(或N*)ZQR2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都是集合B中的元素(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中AB(或BA)集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集A＝B3.集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合A∩B＝{x|x∈A且x∈B}并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合A∪B＝{x|x∈A或x∈B}补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合∁UA＝{x|x∈U且x∉A}知识拓展1．若有限集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩∁UA＝∅；A∪∁UA＝U；∁U(∁UA)＝A.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．(×)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×)(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×)(4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(√)(5)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．(√)(6)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(×)题组二教材改编2．已知U＝{α|0°＜α＜180°}，A＝{x|x是锐角}，B＝{x|x是钝角}，则∁U(A∪B)＝________.答案{x|x是直角}3．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为________．答案2解析集合A表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆，集合B表示直线y＝x，圆x2＋y2＝1与直线y＝x相交于两点22，22，－22，－22，则A∩B中有两个元素．题组三易错自纠4．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于()A．0或3B．0或3C．1或3D．1或3或0答案B解析A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，故B⊆A，所以m＝3或m＝m，即m＝3或m＝0或m＝1，其中m＝1不符合题意，所以m＝0或m＝3，故选B.5．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|xa}，若A⊆B，则实数a的取值范围是____________．答案(3，＋∞)解析A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，∵A⊆B，B＝{x|xa}，∴a3.6．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.答案0或98解析若a＝0，则A＝23，符合题意；若a≠0，则由题意得Δ＝9－8a＝0，解得a＝98.综上，a的值为0或98.题型一集合的含义1．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.答案1解析∵3∈B，又a2＋4≥4，∴a＋2＝3，∴a＝1.经检验，a＝1符合题意．2．若A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}，则集合B中的元素个数是()A．2B．3C．4D．5答案B解析B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}＝{6,8,12}．思维升华(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．题型二集合的基本关系典例(1)设A，B是全集I＝{1,2,3,4}的子集，A＝{1,2}，则满足A⊆B的集合B的个数是()A．5B．4C．3D．2答案B解析∵{1,2}⊆B，I＝{1,2,3,4}，∴满足条件的集合B有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．(2)已知集合A＝{x|x2－2019x＋20180}，B＝{x|xa}，若A⊆B，则实数a的取值范围是_____________________________________．答案[2018，＋∞)解析由x2－2019x＋20180，解得1x2018，故A＝{x|1x2018}．又B＝{x|xa}，A⊆B，如图所示，可得a≥2018.引申探究本例(2)中，若将集合B改为{x|x≥a}，其他条件不变，则实数a的取值范围是____________．答案(－∞，1]解析A＝{x|1x2018}，B＝{x|x≥a}，A⊆B，如图所示，可得a≤1.思维升华(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．跟踪训练(1)已知集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，若B⊆A，则实数a的值为()A.13或－12B．－13或12C.13或－12或0D．－13或12或0答案D解析由题意知，A＝{2，－3}．当a＝0时，B＝∅，满足B⊆A；当a≠0时，ax－1＝0的解为x＝1a，由B⊆A，可得1a＝－3或1a＝2，∴a＝－13或a＝12.综上可知，a的值为－13或12或0.(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1x2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是____________．答案(－∞，4]解析当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2；当B≠∅时，若B⊆A，如图，则m＋1≥－2，2m－1≤7，m＋12m－1，解得2m≤4.综上，m的取值范围是(－∞，4]．题型三集合的基本运算命题点1集合的运算典例(1)(2017·全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x1}，B＝{x|3x1}，则()A．A∩B＝{x|x0}B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x1}D．A∩B＝∅答案A解析∵B＝{x|3x1}，∴B＝{x|x0}．又A＝{x|x1}，∴A∩B＝{x|x0}，A∪B＝{x|x1}．故选A.(2)(2018届珠海二中月考)已知集合A＝{x|x2－2x0}，B＝{x|－5x5}，则()A．A∩B＝∅B．A⊆BC．B⊆AD．A∪B＝R答案D解析∵A＝{x|x2或x0}，∴A∪B＝R.命题点2利用集合的运算求参数典例(1)设集合A＝{x|－1≤x2}，B＝{x|xa}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是()A．－1a≤2B．a2C．a≥－1D．a－1答案D解析因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a－1.(2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为()A．0B．1C．2D．4答案D解析由题意可得{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4.(3)设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．若A∩B＝B，则实数a的取值范围是______．答案(－∞，－1]∪{1}解析因为A＝{0，－4}，所以B⊆A分以下三种情况：①当B＝A时，B＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得Δ＝4a＋12－4a2－10，－2a＋1＝－4，a2－1＝0，解得a＝1；②当B≠∅且BA时，B＝{0}或B＝{－4}，并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；③当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)0，解得a－1.综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．思维升华(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．跟踪训练(1)(2017·天津)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C等于()A．{2}B．{1,2,4}C．{1,2,4,6}D．{x∈R|－1≤x≤5}答案B解析A∪B＝{1,2,4,6}．又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝{1,2,4}，故选B.(2)已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1xm＋1}，且A∩B＝B，则实数m的取值范围为()A．[－1,2)B．[－1,3]C．[2，＋∞)D．[－1，＋∞)答案D解析由x2－x－12≤0，得(x＋3)(x－4)≤0，即－3≤x≤4，所以A＝{x|－3≤x≤4}．又A∩B＝B，所以B⊆A.①当B＝∅时，有m＋1≤2m－1，解得m≥2；②当B≠∅时，有－3≤2m－1，m＋1≤4，2m－1m＋1，解得－1≤m2.综上，m的取值范围为[－1，＋∞)．题型四集合的新定义问题典例若集合E＝{(p，q，r，s)|0≤ps≤4,0≤qs≤4,0≤rs≤4且p，q，r，s∈N}，F＝{(t，u，v，w)|0≤tu≤4，0≤vw≤4且t，u，v，w∈N}，用card(X)表示集合X中的元素个数，则card(E)＋card(F)等于()．200B．150C．100D．50答案A解析在集合E中，当s＝1时，p＝q＝r＝0，此时只有1个元素；当s＝2时，p，q，r∈{0,1}，此时有2×2×2＝8(个)元素；当s＝3时，p，q，r∈{0,1,2}，此时有3×3×3＝27(个)元素；当s＝4时，p，q，r∈{0,1,2,3}，此时有4×4×4＝64(个)元素，故card(E)＝1＋8＋27＋64＝100.在集合F中，(t，u)的取值可能是(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共10种可能．同理，(v，w)也有10种可能，故card(F)＝10×10＝100，∴card(E)＋card(F)＝200.思维升华解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．跟踪训练定义一种新的集合运算△：A△B＝{x|x∈A，且x∉B}．若集合A＝{x|x2－4x＋30}，B＝{x|2≤x≤4}，则按运算△，B△A等于()A．{x|3x≤4}B．{x|3≤x≤4}C．{x|3x4}D．{x|2≤x≤4}答案B解析A＝{x|1x3}，B＝{x|2≤x≤4}，由题意知，B△A＝{x|x∈B，且x∉A}＝{x|3≤x≤4}．1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则()A．A＝BB．A∩B＝∅C．ABD．BA答案D．(2017·浙江)已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，则P∪Q等于()A．(－1,2)B．(0,1)C．(－1,0)D．(1,2)答案A解析∵P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，∴P∪Q＝{x|－1＜x＜2}．故选A.3．(2016·四川)设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是()A．3B．4C．5D．6答案C解析由题意可知，A∩Z＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩Z中的元素的个数为5.故选C.4．(2017