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1．5全称量词与存在量词考点学习目标核心素养全称量词命题与存在量词命题的定义理解全称量词、全称量词命题的定义，理解存在量词、存在量词命题的定义数学抽象全称量词命题与存在量词命题的真假判断掌握判断全称量词命题与存在量词命题真假的方法逻辑推理全称量词命题与存在量词命题的否定理解全称量词命题与存在量词命题的关系，掌握对全称量词命题或存在量词命题进行否定的方法数学抽象问题导学预习教材P24－P29，并思考以下问题：1．全称量词、全称量词命题的定义是什么？2．存在量词、存在量词命题的定义是什么？3．全称量词命题与存在量词命题的否定分别是什么命题？4．全称量词命题“∀x∈M，p(x)”的否定是什么？5．存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的否定是什么？1．全称量词和存在量词全称量词存在量词量词所有的、任意一个存在一个、至少有一个符号∀∃命题含有全称量词的命题叫做全称量词命题含有存在量词的命题叫做存在量词命题命题形式“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”■名师点拨(1)全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等．(2)存在量词命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题，常见的存在量词还有“有些”“某一个”“有的”等．2．全称量词命题和存在量词命题的否定p﹁p结论全称量词命题∀x∈M，p(x)∃x∈M，﹁p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题存在量词命题∃x∈M，p(x)∀x∈M，﹁p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题■名师点拨(1)要否定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”，只需在M中找到一个x，使得p(x)不成立，也就是命题“∃x∈M，﹁p(x)”成立．(2)要否定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”，需要验证对M中的每一个x，均有p(x)不成立，也就是命题“∀x∈M，﹁p(x)”成立．[提醒]一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；全称量词命题和存在量词命题的否定，是在否定结论p(x)的同时，改变量词的属性，即将全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．()(2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．()(3)全称量词命题一定含有全称量词，存在量词命题一定含有存在量词．()(4)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，﹁p(x)的真假性相反．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√下列语句是存在量词命题的是()A．整数n是2和5的倍数B．存在整数n，使n能被11整除C．若3x－7＝0，则x＝73D．∀x∈M，p(x)解析：选B.对于A，不能判断真假，不是命题；对于C，是若p则q形式的命题；对于D，是全称量词命题；对于B，命题存在整数n，使n能被11整除，含有存在量词“存在”，故B是存在量词命题．故选B.命题“对于任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0C．对任意的x∈R，x3－x2＋10D．存在x∈R，x3－x2＋10解析：选D.全称量词命题的否定是存在量词命题，故排除C；由命题的否定只否定结论，不否定条件，故排除A，B.A命题“∃x∈R，x2－2x＋1＝0”的否定是________．答案：∀x∈R，x2－2x＋1≠0全称量词命题与存在量词命题的辨析判断下列语句是否为全称量词命题或存在量词命题．(1)所有不等式的解集A，都满足A⊆R；(2)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；(3)对任意a，b∈R，若ab，则1a1b；(4)自然数的平方是正数．【解】因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，所以(1)(3)(4)都是全称量词命题；(2)含有存在量词“有些”，所以(2)是存在量词命题．判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路[注意]全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．1．给出下列命题：①存在实数x＞1，使x2＞1；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数．其中存在量词命题的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选C.①③④为存在量词命题，②为全称量词命题．故选C.2．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题．(1)所有实数x都能使x2＋x＋10成立；(2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；(3)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立；(4)所有的有理数x都能使13x2＋12x＋1是有理数．解：(1)∀x∈R，x2＋x＋10.(2)∀a，b∈R，ax＋b＝0恰有一个解．(3)∃x，y∈Z，3x－2y＝10.(4)∀x∈Q，13x2＋12x＋1是有理数．全称量词命题与存在量词命题的真假判断判断下列命题的真假．(1)∃x∈Z，x3＜1；(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(4)∀x∈N，x20.【解】(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1＜1，所以“∃x∈Z，x3＜1”是真命题．(2)真命题，如梯形．(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．(4)因为0∈N，02＝0，所以命题“∀x∈N，x20”是假命题．判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法(1)要判断一个全称量词命题为真，必须对在给定集合中的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假．(2)要判断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个存在量词命题为假，必须对在给定集合中的每一个元素x，使命题p(x)为假．1．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是()A．∀x∈R，2x＋10B．若2x为偶数，则∀x∈NC．所有菱形的四条边都相等D．π是无理数解析：选C.对A.是全称量词命题，但不是真命题；故A不正确；对B，是假命题，也不是全称量词命题，故B不正确；对C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确；对D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确．故选C.2．下列是存在量词命题且是真命题的是()A．∀x∈R，x20B．∃x∈Z，x22C．∀x∈N，x2∈ND．∃x，y∈R，x2＋y20解析：选B.对于A，∀x∈R，x20是全称量词命题，不合题意；对于B，∃x∈Z，x22是存在量词命题，且是真命题，满足题意；对于C，∀x∈N，x2∈N是全称量词命题，不合题意；对于D，∃x，y∈R，x2＋y20是存在量词命题，是假命题，不合题意．故选B.全称量词命题与存在量词命题的否定写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：所有的方程都有实数解；(2)q：∀x∈R，4x2－4x＋1≥0；(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；(4)s：某些平行四边形是菱形．【解】(1)﹁p：存在一个方程没有实数解，真命题．比如方程x2＋1＝0就没有实数解．(2)﹁q：∃x∈R，4x2－4x＋10，假命题．由于∀x∈R，4x2－4x＋1＝(2x－1)2≥0恒成立，是真命题，所以﹁q是假命题．(3)﹁r：∀x∈R，x2＋2x＋20，真命题．(4)﹁s：每一个平行四边形都不是菱形，假命题．写全称量词命题与存在量词命题的否定的思路在书写全称量词命题与存在量词命题的否定时，一定要抓住决定命题性质的量词，从量词入手，书写命题的否定．全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数解析：选B.量词“存在”否定后为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”．故选B.2．(2019·济南期末)命题“∀x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是()A．∃x∈R，x2－2x＋1≤0B．∃x∈R，x2－2x＋1≥0C．∃x∈R，x2－2x＋10D．∀x∈R，x2－2x＋10解析：选C.因为命题“∀x∈R，x2－2x＋1≥0”为全称量词命题，所以命题的否定为∃x∈R，x2－2x＋10.故选C.1．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是()A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使1x＞2答案：B2．下列命题是“∀x∈R，x2＞3”的另一种表述方式的是()A．有一个x∈R，使得x2＞3B．对有些x∈R，使得x2＞3C．任选一个x∈R，使得x2＞3D．至少有一个x∈R，使得x2＞3答案：C3．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋20”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋2≥0B．存在x∉R，x3－x2＋2≥0C．存在x∈R，x3－x2＋2≥0D．存在x∈R，x3－x2＋20解析：选C.命题“对任意的x∈R，x3－x2＋20”是全称量词命题，否定时将量词对任意的实数x∈R变为存在x∈R，再将变为≥即可．即存在x∈R，x3－x2＋2≥0.故选C.4．判断下列命题的真假．(1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；(2)存在一个实数x，使得等式x2＋x＋8＝0成立．解：(1)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为2，2就不能用正有理数表示．(2)假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－310，故方程无实数解．[A基础达标]1．下列命题中全称量词命题的个数为()①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等．A．0B．1C．2D．3解析：选C.①②是全称量词命题，③是存在量词命题．故选C.2．命题“存在实数x，使x1”的否定是()A．对任意实数x，都有x1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1解析：选C.命题“存在实数x，使x1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．3．命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是()A．存在一个四边形，它的四个顶点不共圆B．存在一个四边形，它的四个顶点共圆C．所有四边形的四个顶点共圆D．所有四边形的四个顶点都不共圆解析：选A.根据全称量词命题的否定是存在量词命题，得命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是“存在一个四边形的四个顶点不共圆”，故选A.4．下列结论中正确的是()A．∀n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题B．∀n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题C．∃n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题D．∃n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是假命题解析：选C.当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除，所以A、B、D错误，C项正确．故选C.5．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则()A．∀x∈Q，有x∈PB．∀x∉Q，有x∉PC．∃x∉Q，使得x∈PD．∃x∈P，使得x∉Q解析：选B.因为P∩Q＝P，所以P⊆Q，所以A，C，D错误，B正确．6．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2＞0”用“∃”写成存在量词命题为________________________________________________________________________．解析：存在量词命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”．答案：∃x0，(1＋x)(1－9x)2＞07．命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是___________________________________________