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2.1等式性质与不等式性质（第2课时）你能回忆起等式的基本性质吗？温故知新性质1若a=b,则b=a;性质2若a=b,b=c,则a=c;性质3若a=b,则a±c=b±c;性质4若a=b,则ac=bc;性质5若a=b,0c¹,则abcc=;类比等式的性质，你能猜想出不等式的性质，并加以证明吗？-3-(1)对称性文字语言不等式两边互换后,再将不等号改变方向,所得不等式与原不等式等价符号语言ab⇔ba作用写出与原不等式等价且异向的不等式证明:∵ab,∴a-b0.由正数的相反数是负数,得-(a-b)0.即b-a0,∴ba.同理可证,如果ba,那么ab.新知探究不等式的性质-4-1.与m≥(n-2)2等价的是().A.m(n-2)2B.(n-2)2≥mC.(n-2)2≤mD.(n-2)2m答案:C跟踪训练-5-(2)传递性文字语言如果第一个量大于第二个量,第二个量大于第三个量,那么第一个量大于第三个量符号语言ab,bc⇒ac变形a≥b,b≥c⇒a≥c;ab,bc⇒ac;a≤b,b≤c⇒a≤c作用比较大小或证明不等式你能证明这个性质吗？新知探究-6-(3)加法法则文字语言不等式的两边都加上同一个实数,所得的不等式与原不等式同向.符号语言ab⇒a+cb+c变形ab⇒a+cb+ca≤b⇒a+c≤b+ca≥b⇒a+c≥b+c作用不等式的移项,等价变形证明:∵(a+c)-(b+c)=a-b0,∴a+cb+c..新知探究-7-(4)乘法法则文字语言不等式的两边都乘同一个正数时,不等号的方向不变;都乘同一个负数时,不等号的方向一定要改变.符号语言ab,c0⇒acbcab,c0⇒acbc变形a≥b,c0⇒ac≥bca≥b,c0⇒ac≤bcab,c0⇒acbcab,c0⇒acbca≤b,c0⇒ac≤bca≤b,c0⇒ac≥bc作用不等式的同解变形新知探究证明:ac-bc=(a-b)c.∵ab,∴a-b0.根据同号相乘得正,异号相乘得负,得当c0时,(a-b)c0,即acbc;当c0时,(a-b)c0,即acbc.-8-1.该性质不能逆推,如acbcab.2.acbc⇒ab,c0或ab,c0.3.不等式两边仅能同乘(或除以)一个符号确定的非零实数.归纳总结-9-(5)加法单调性文字语言两个同向不等式相加,所得不等式与原不等式同向.符号语言ab,cd⇒a+cb+d变形ab,cd⇒a+cb+da≥b,c≥d⇒a+c≥b+da≤b,c≤d⇒a+c≤b+d作用由已知同向不等式推出其他不等式证明:𝑎𝑏⇒𝑎+𝑐𝑏+𝑐𝑐𝑑⇒𝑏+𝑐𝑏+𝑑⇒a+cb+d.新知探究-10-1.此性质可以推广到任意有限个同向不等式的两边分别相加,即两个或两个以上的同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向.2.两个同向不等式只能两边同时分别相加,而不能两边同时分别相减.3.该性质不能逆推,如a+cb+dab,cd.归纳总结-11-(6)乘法单调性文字语言两边都是正数的两个同向不等式相乘,所得的不等式与原不等式同向.符号语言ab0,cd0⇒acbd作用两个不等式相乘的变形证明:∵ab0,c0,∴acbc.∵cd0,b0,∴bcbd.∴acbd.新知探究-12-1.这一性质可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,这就是说,两个或更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向.2.ab0,cd0⇒acbd;ab0,cd0⇒acbd.3.该性质不能逆推,如acbdab,cd.归纳总结-13-(7)正值不等式可乘方文字语言当不等式的两边都是正数时,不等式两边同时乘方所得的不等式与原不等式同向.符号语言ab0⇒anbn(n∈N,且n≥1)作用不等式两边的乘方变形性质(7)可看作性质(6)的推广:当n是正奇数时,由ab可得anbn.新知探究1.给出下列结论：①若acbc，则ab；②若ab，则ac2bc2；③若1a1b0，则ab；④若ab，cd，则a－cb－d；⑤若ab，cd，则acbd.其中正确结论的序号是______.③小试牛刀解析①当c0时，由acbc⇒ab，当c0时，由acbc⇒ab，故①错．②当c≠0时，由ab⇒ac2bc2，当c＝0时，由ab⇒/ac2bc2，故②错．③∵1a1b0，∴a0，b0，∴ab0，∴1a·ab1b·ab，即ba，∴ab，故③正确．④∵cd，∴－c－d，又ab，两不等式不等号的方向不同，不能相加，∴a－cb－d错误．⑤ab0cd0⇒acbd，0ab0cd⇒acbd，但ab00cd⇒/acbd，0abcd0⇒/acbd.-16-反思利用不等式性质判断不等式是否成立的方法:(1)运用不等式的性质判断.要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不能凭想象捏造性质.(2)特殊值法.取特殊值时,要遵循如下原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算.反思总结例1已知ab0，cd0，e0，求证：ea－ceb－d.典例解析用不等式的性质证明不等式又∵e0，∴ea－ceb－d.解析∵cd0，∴－c－d0，又∵ab0，∴a＋(－c)b＋(－d)0，即a－cb－d0，∴01a－c1b－d，1．若bc－ad≥0，bd0，求证：a＋bb≤c＋dd.解析：∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，∴ad＋bd≤bc＋bd，∵bd0，∴1bd0，∴ad＋bdbd≤bc＋bdbd，∴a＋bb≤c＋dd.跟踪训练利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．归纳总结利用不等式的性质求取值范围例2已知－π2≤αβ≤π2，求α＋β2，α－β2的范围．[分析]由－π2≤αβ≤π2可知，－π2≤απ2，－π2β≤π2，αβ.典例解析解析∵－π2≤αβ≤π2，∴－π4≤α2π4，－π4β2≤π4.两式相加，得－π2α＋β2π2.∵－π4β2≤π4，∴－π4≤－β2π4，∴－π2≤α－β2π2.又∵αβ，∴α－β20.∴－π2≤α－β20.『规律总结』求取值范围的问题要注意解题方法是否符合不等式的性质，是否使范围扩大或缩小．1.已知1a2,3b4，求下列各式的取值范围：(1)2a＋b；(2)a－b；(3)ab.[解析](1)∵1a2，∴22a4，∵3b4，∴52a＋b8；(2)∵3b4，∴－4－b－3，又∵1a2，∴－3a－b－1；(3)∵3b4，∴141b13，又1a2，∴14ab23.跟踪训练1．已知ab0，cd0，那么下列判断中正确的是()A．a－cb－dB．acbdC.adbcD．adbc解析：根据不等式的同向同正的可乘性知，B正确．答案：B当堂达标2．若a、b、c∈R，且ab，则下列不等式中一定成立的是()A．a＋b≥b－cB．ac≥bcC.c2a－b0D．(a－b)c2≥0当堂达标解析：∵ab，∴a－b0.选项A中，当c＝0时，(a＋b)－(b－c)＝a＋c，由于a∈R，则选项A不成立；选项B中，ac－bc＝c(a－b)，由于c∈R，则选项B不成立；选项C中，由于c∈R，则c2≥0，∴c2a－b≥0，则选项C不成立；选项D中，a－b0，c2≥0，∴(a－b)c2≥0，则选项D成立．答案：D3．设2a3，-2b-1，则2a-b的范围是________．解析：42a6，-2b-1，∴1-b2，由同向不等式相加得到52a-b8答案：52a-b84.已知ab0，cd0.求证：3ad3bc.解析∵cd0，∴－c－d0.∴0－1c－1d.又∵ab0，∴－ad－bc0.∴3－ad3－bc，即－3ad－3bc.两边同乘以－1，得3ad3bc.不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性ab⇔____⇔2传递性ab，bc⇒_____⇒3可加性ab⇔a＋cb＋c可逆4可乘性abc0⇒acbcc的符号abc0⇒acbcbaac课堂小结性质别名性质内容注意5同向可加性abcd⇒a＋cb＋d同向6同向同正可乘性ab0cd0⇒acbd同向同正7可乘方性ab0⇒anbn(n∈N*，n≥2)8可开方性ab0⇒nanb(n∈N*，n≥2)