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【新教材】3.2.1单调性与最大（小）值（人教A版）1、理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义；2、会根据单调定义证明函数单调性；3、理解函数的最大（小）值及其几何意义；4、学会运用函数图象理解和研究函数的性质.重点：1、函数单调性的定义及单调性判断和证明；2、利用函数单调性或图像求最值.难点：根据定义证明函数单调性．一、预习导入阅读课本76-80页，填写。1．增函数、减函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的_____两个自变量的值x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)_____f(x2)f(x1)_____f(x2)那么就说函数f(x)在区间D上是增函数那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象特征函数f(x)在区间D上的图象是_____的函数f(x)在区间D上的图象是_____的图示2、单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)________，区间D叫做y＝f(x)的________．[点睛]一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“,”连接．如函数y＝1x在(－∞，0),(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．3、函数的最大（小）值1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．()(2)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”．()(3)任何函数都有最大值或最小值．()(4)函数的最小值一定比最大值小．()2.函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是()A．[－4,4]B．[－4，－3]，[1,4]C．[－3,1]D．[－3,4]最大值最小值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果实数M满足：对于的x∈I，都有f(x)Mf(x)M条件存在x0∈I，使得结论称M是函数y＝f(x)的最大值称M是函数y＝f(x)的最小值几何意义f(x)图象上最点的纵坐标f(x)图象上最点的纵坐标3．函数y＝f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A．－1,0B．0,2C．－1,2D.12，24．下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)的是()A．f(x)＝x2B．f(x)＝1xC．f(x)＝|x|D．f(x)＝2x＋15．函数f(x)＝2x，x∈[2,4]，则f(x)的最大值为______；最小值为________．题型一利用图象确定函数的单调区间例1求下列函数的单调区间,并指出其在单调区间上是增函数还是减函数:(1)y=3x-2;(2)y=-1𝑥.跟踪训练一1.已知x∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象写出函数的单调区间.题型二利用函数的图象求函数的最值例2已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并写出值域.跟踪训练二1.已知函数f(x)={1x,0x1,x,1≤x≤2.(1)画出f(x)的图象;(2)利用图象写出该函数的最大值和最小值.题型三证明函数的单调性例3求证:函数f(x)=x+1x在区间(0,1)内为减函数.跟踪训练三1.求证：函数f(x)＝21x在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．题型四利用函数的单调性求最值例4已知函数f(x)=x+4x.(1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性;(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值.跟踪训练四1.已知函数f(x)＝𝑥1(x∈[2,6]，)求函数的最大值和最小值．题型五函数单调性的应用例5已知函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,试比较f(a2-a+1)与f34的大小.跟踪训练五1.已知g(x)是定义在[-2,2]上的增函数,且g(t)g(1-3t),求t的取值范围.题型六单调性最值的实际应用例6“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为h（t）=-4.9+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？跟踪训练六1.某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金为3600元时,能租出多少辆?(2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?1.f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有()()，则必有()A．函数f(x)先增后减B．函数f(x)先减后增C．函数f(x)是R上的增函数D．函数f(x)是R上的减函数2.已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)的最小值为－2，则f(x)的最大值为()A．－1B．0C．1D．23．已知函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是()A．[160，＋∞)B．(－∞，40]C．(－∞，40]∪[160，＋∞)D．(－∞，20]∪[80，＋∞)4.若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f(1－a)f(2a－1)，则a的取值范围是。5.f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)＜f(－2x＋8)的解集是____________．6.证明函数f(x)=-√x在定义域上为减函数.7.有一长为24米的篱笆，一面利用墙(墙最大长度是10米)围成一个矩形花圃，设该花圃宽AB为x米，面积是y平方米，(1)求出y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；(2)当花圃一边AB为多少米时，花圃面积最大？并求出这个最大面积？答案小试牛刀1．（1）×（2）×（3）×（4）√2-4．CCB3．112自主探究例1【答案】见解析【解析】(1)函数y=3x-2的单调区间为R,其在R上是增函数.(2)函数y=-1x的单调区间为(-∞,0),(0,+∞),其在(-∞,0)及(0,+∞)上均为增函数.跟踪训练一【答案】单调增区间为(-∞,1],[2,+∞);单调减区间为[1,2]【解析】f(x)=x|x-2|={x(x−2),x≥2,x(2−x),x2,图象如下图所示.由图象可知,函数的单调增区间为(-∞,1],[2,+∞);单调减区间为[1,2].例2【答案】最大值为2,没有最小值.所以其值域为(-∞,2]【解析】y=-|x-1|+2={3−x,x≥1,x+1,x1,函数图象如图所示由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值.所以其值域为(-∞,2]跟踪训练二【答案】(1)见解析（2）最小值为f(1)=1,无最大值【解析】(1)函数f(x)的图象如图所示.(2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值.例3【答案】见解析【解析】证明:设x1,x2是区间(0,1)内的任意两个实数,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=(𝑥1+1𝑥1)−(𝑥+1𝑥2)=(x1-x2)+𝑥2-𝑥1𝑥1𝑥2=(x1-x2)(1-1𝑥1𝑥2)=(𝑥1-𝑥2)(𝑥1𝑥2-1)𝑥1𝑥2.∵0x1x21,∴x1x20,x1x2-10,x1-x20,∴f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).故函数f(x)=x+1x在区间(0,1)内为减函数.跟踪训练三【答案】见解析【解析】对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1x2，有f(x1)－f(x2)＝1x21－1x22＝x22－x21x21x22＝x2－x1x2＋x1x21x22.∵x1＜x2＜0，∴x2－x1＞0，x1＋x2＜0，x21x22＞0.∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．∴函数f(x)＝1x2在(－∞，0)上是增函数．对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，有f(x1)－f(x2)＝x2－x1x2＋x1x21x22.∵0＜x1＜x2，∴x2－x1＞0，x2＋x1＞0，x21x22＞0.∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．∴函数f(x)＝1x2在(0，＋∞)上是减函数．例4【答案】见解析【解析】(1)设x1,x2是区间[1,2]上的任意两个实数,且x1x2,∵x1x2,∴x1-x20.当1≤x1x2≤2时,x1x20,1x1x24,即x1x2-40.∴f(x1)f(x2),即f(x)在区间[1,2]上是减函数.(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2),f(2)=2+=4;f(x)的最大值为f(1).∵f(1)=1+4=5,∴f(x)的最小值为4,最大值为5.跟踪训练四【答案】见解析则f(x1)-f(x2)=x1-x2+4𝑥1−4𝑥2=(x1-x2)(1-4𝑥1𝑥2)=(𝑥1-𝑥2)(𝑥1𝑥2-4)𝑥1𝑥2.【解析】设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝2x1－1－2x2－1＝2[x2－1x1－1]x1－1x2－1＝2x2－x1x1－1x2－1.由2≤x1＜x2≤6，得x2－x1＞0，(x1－1)(x2－1)＞0，于是f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．所以函数f(x)＝2x－1是区间[2,6]上的减函数．因此，函数f(x)＝2x－1在区间[2,6]的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在x＝2时取得最大值，最大值是2，在x＝6时取得最小值，最小值是0.4.例5【答案】f(34)≥f(a2-a+1).【解析】∵a2-a+1=(a−1)+34≥34,∴34与a2-a+1都是区间(0,+∞)上的值.∵f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,∴f(34)≥f(a2-a+1).跟踪训练五【答案】t的取值范围为(14,1].【解析】∵g(x)是[-2,2]上的增函数,且g(t)g(1-3t),∴{-2≤t≤2,-2≤1-3t≤2,t1−3t,即{-2≤t≤2,-13≤t≤1,t14,∴14t≤1.∴t的取值范围为(14,1].例6【答案】t的取值范围为(14,1].【解析】画出函数h（t）=-4.92x+14.7t+18的图象（图3.2-4）.显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度。跟踪训练六【答案】见解析【解析】(1)当每辆车的月租金为3600元时,未租出的车辆数为300300050=12,所以此时租出了88辆.(2)设每辆车的月租金为x元,租赁公司的月收益为y=(1−𝑥-300050)(x-150)-𝑥-300050×50,整理得y=-𝑥250+162x-21000=-150(x-4050)2+307050.所以当x=4050,即每辆车的租金为4050元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益是307050元.当堂检测1-3．CCC4．(3,+∞)4.3＜x≤4.6．【答案】见解析【解析】函数f(x)=-√x的定义域为[0,+∞).设x1,x2是[0,+∞)上的任意两个实数,且0≤x1x2,则x2-x10,f(x2)-f(x1)=(-√x)-(-√x1)=√x1−√x=(√x1-√x2)(√x1+√x2)√x1+√x2=x1-x2√x1+√x2.∵x1-x20,√x1+√x0,∴f(x2)-f(x1)0,即f(x2)f(x1).∴函数f(x)=-√x在定义域[0,+∞)上为减函数.7.【答案】见解析【解析】(1)如图所示：∵0＜24－2x≤10，∴7≤x＜12，∴y＝x(24－2x)＝－2x2＋24x，(7≤x＜12)．(2)由(1)得，y＝－2x2＋24x＝－2(x－6)2＋72，∴AB＝6m时，y