1920版第1章14142第1课时正弦余弦函数的周期性与奇偶性

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11.4.2正弦函数、余弦函数的性质第1课时正弦、余弦函数的周期性与奇偶性函数y=sinxy=cosx周期最小正周期奇偶性思考:函数y=|sinx|,y=|cosx|是周期函数吗?1.下列函数中,周期为π2的是()A.y=sinx2B.y=sin2xC.y=cosx4D.y=cos4x2.函数y=2sin2x+π2是()A.周期为π的奇函数B.周期为π的偶函数C.周期为2π的奇函数D.周期为2π的偶函数3.若函数y=f(x)是以2为周期的函数,且f(5)=6,则f(1)=________.三角函数的周期问题及简单应用【例1】求下列函数的周期:(1)y=sin2x+π4;(2)y=|sinx|.1.本例(2)中函数变成“y=|cosx|”,图象如何?2.本例(2)中函数变成y=sin|x|或y=cos|x|,图象如何?21.利用周期函数的定义求下列函数的周期.(1)y=cos2x,x∈R;(2)y=sin13x-π4,x∈R.三角函数奇偶性的判断【例2】(1)若函数y=2sin(x+φ)为偶函数,则φ的值的集合为________.(2)判断下列函数的奇偶性:①f(x)=sin-12x+π2;②f(x)=lg(1-sinx)-lg(1+sinx);③f(x)=1+sinx-cos2x1+sinx.2.判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=cos32π+2x+x2sinx;(2)f(x)=1-2cosx+2cosx-1.三角函数的奇偶性与周期性的综合应用[探究问题]1.一般通过什么方法研究三角函数的性质?【例3】(1)下列函数中是奇函数,且最小正周期是π的函数是()A.y=cos|2x|B.y=|sin2x|3C.y=sinπ2+2xD.y=cos3π2-2x(2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数,又是周期函数,若f(x)的最小正周期为π,且当x∈0,π2时,f(x)=sinx,则f5π3等于()A.-12B.12C.-32D.321.若本例(2)中的“偶函数”改为“奇函数”,“π”改为“11π12”,其他条件不变,结果如何?2.若本例(2)中的“π”改为“π2”,去掉“f(x)是偶函数”,其他条件不变,求f-176π.1.下列命题中不正确的是()A.由于sinπ3+π3=sinπ3,则π3是正弦函数y=sinx的一个周期B.若T是函数f(x)的周期,则kT(k∈N*),也是函数f(x)的周期C.函数y=3sin2x是奇函数D.函数y=-cosπ3x是偶函数2.函数f(x)=2sin2x的奇偶性为()A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数3.函数f(x)=3sinπx2-π4,x∈R的最小正周期为______.4.若函数y=f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数且f(1)=3,则f(5)=________.5.判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=-2cos3x;(2)f(x)=xsin(x+π).4课时分层作业(九)(建议用时:60分钟)[基础达标练]一、选择题1.函数f(x)=x+sinx,x∈R()A.是奇函数,但不是偶函数B.是偶函数,但不是奇函数C.既是奇函数,又是偶函数D.既不是奇函数,又不是偶函数2.下列函数中最小正周期为π的偶函数是()A.y=sinx2B.y=cosx2C.y=cosxD.y=cos2x3.函数f(x)=sinωx+π6的最小正周期为π5,其中ω>0,则ω等于()A.5B.10C.15D.204.函数y=-xcosx的部分图象是下图中的()ABCD5.定义在R上的函数f(x)周期为π,且是奇函数,fπ4=1,则f3π4的值为()二、填空题6.关于x的函数f(x)=sin(x+φ)有以下说法:①对任意的φ,f(x)都是非奇非偶函数;②存在φ,使f(x)是偶函数;③存在φ,使f(x)是奇函数;④对任意的φ,f(x)都不是偶函数.其中错误的是________(填序号).7.若函数f(x)=2cosωx+π3的最小正周期为T,且T∈(1,4),则正整数ω5的最大值为________.8.函数y=sinx的图象关于原点对称,观察正弦曲线的形状,结合正弦函数的周期性可知,正弦曲线的对称中心为________.三、解答题9.已知函数y=12sinx+12|sinx|.(1)画出函数的简图;(2)此函数是周期函数吗?若是,求其最小正周期.[能力提升练]1.函数f(x)=sinx1+cosx的奇偶性是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数2.设函数f(x)=sinπ3x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2018)=()A.32B.-32C.0D.33.已知f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数,当0<x<3时,f(x)的图象如图所示,那么不等式f(x)cosx<0的解集是________.4.设f(x)是定义域为R,最小正周期为3π2的函数,若f(x)=cosx,-π2≤x≤0,sinx,0<x≤π,则f-15π4的值等于________.5.已知函数f(x)=cos2x+π3,若函数g(x)的最小正周期是π,且当x∈-π2,π2时,g(x)=fx2,求关于x的方程g(x)=32的解集.6

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