复合函数的奇偶性

1复合函数的定义：如果uy是的函数，记为ufy，u又是x的函数，记为xgu，且xg的值域与uf的定义域的交集不空，则确定了一个y关于x的函数xgfy，这时y叫做x的复合函数，其中u叫做中间变量，ufy叫做外层函数，xgu叫做内层函数。1复合函数的奇偶性若xgu为奇函数,ufy对于变量u是奇(偶)函数,则复合函数xgfy是奇(偶)函数,若xgu为偶函数,则复合函数xgfy是偶函数.抽象函数奇偶性的判断例函数xf，Rx，若对于任意实数a,b都有bfafbaf，求证xf为奇函数证：令bffbfa0,0则00f又令bfafbafxbxa代入,,得xfxfxxf即xfxf0f(g)g(x)f[g(x)]f(x)+g(x)f(x)*g(x)奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶2xfxf故xf为奇函数2复合函数的单调性法则:同增异减步骤:(1)确定定义域(2)将复合函数分解成基本初等函数xguufy,(3)分别确定这两个函数的单调区间(4)若这两个函数同增或同减,则xgfy为增函数,若一增一减.则xgfy为减函数.函数单调性内层函数xgu增增减减外层函数ufy增减增减复合函数xgfy增减减增例1,求函数322xxy的单调区间.解:由0322xx,得13x函数322xxy的定义域为[-3,1],令413222xxxu当1,3x时是增函数.当1,1x时是减函数而0uuy是增函数.函数y的增区间是,1,3减区间是1,1例2求函数21xxf的单调区间3解：该函数的定义域为012x，即11xx设,12xxu则xuxf(1)当0,1x时，21xxu为增函数，0xuxuy为增函数，故函数21xxf在区间0,1上是增函数(2)当1,0x时，,12xxu为减函数，xuy为增函数，故函数21xxf在区间1,0上是减函数故21xxf的单调增区间为0,1，单调减区间为1,0例3：已知xg是nm,是的减函数，且bxga，xf是ba,是的增函数，求证xgf在nm,上也是减函数。证明：设nxxm21xg是nm,上的减函数，且bxgxga21又上的增函数是baxf,21xgfxgf根据单调性的定义得xgf在nm,上是减函数例4．讨论函数23221xxy的单调性解：设232xxu，则函数xfu图像的对称轴为23x当,23x时，u为增函数；当23,x时，u为减函数。而uy21的底数uya21,121为为关于u的减函数，当,23x时，u为增函数，则y为减函数，4当23,x时，u为减函数，则y为增函数。