第三节--线性规划问题的图解法

第三节线性规划问题的图解法本节主要介绍图解法求解线性规划问题的基本过程及可行域、等值线、顶点等概念对于不超过三个变量的线性规划问题，可以画成平面图或立体图用图解法求解，它虽然没有多大是实用价值，但简单直观，有助于了解线性规划问题求解的基本原理。下面通过一道例题的求解来讲述图解法的基本过程。第三节线性规划问题的图解法maxZ=10x1+5x23x1+4x2≤95x1+2x2≤8x1，x2≥0解：分析：初等数学中已经学过，3x1+4x2≤9在以x1、x2为坐标轴的直角坐标系中，表示以直线3x1+4x2=9为边界的半平面，如图示：x2ox13x1+4x2=9第三节线性规划问题的图解法若考虑x1，x2≥0，满足约束条件的（x1，x2）构成如下图所示的阴影部分（三角形面）x2ox1（请大家想一想3x1+4x2≥9在以x1、x2为坐标轴的直角坐标系中，可以用什么形状的图形表示）同理，可以画出5x1+2x2≤8，x1，x2≥0所表示的平面区域3x1+4x2=9第三节线性规划问题的图解法第三节线性规划问题的图解法两个区域的公共部分（交集）中的每一点（包括边界上的点）都满足所有的约束条件，每一点的坐标值都是线性规划问题的一个解（称为可行解）。满足线性规划问题所有约束条件的一切点的集合称为可行域。另外，目标函数Z=10x1+5x2在坐标平面上表示以z为参数以-2（-10/5=-2）为斜率的一族平行直线。位于这条直线上所有点具有相同的函数值，因而称它为“等值线”。考虑到x1，x2≥0时，它表示一族平行线段，线段的两个端点在第一象限的坐标轴上，并随着z值的增大向上（沿着法线方向，法线是与直线垂直的直线）滑动。第三节线性规划问题的图解法x2此时目标函数值最大Z=10x1+5x2可行域顶点5x1+2x2=8++4x2=93x1+4x2=9法线方向X1O该线段上点的函数值虽然更大，但已超出了可行域从图可以看出，既在可行域内，又使目标函数值达到最大，此时等值线留在可行域的顶点上，这一点的坐标为（1，3/2），正是直线3x1+4x2=9和5x1+2x2=8的交点，即x1=1，x2=3/2是这个问题最优解。由于在下一章可以证明线性规划问题的最优解一定可以在可行域的顶点上找到，因此，只需要求出可行域顶点的坐标并计算每一顶点的目标函数值，就可以从中找出最优解。顶点x1x2Z==10x1+5x20008/501613/235/2（max）09/445/4第三节线性规划问题的图解法图解法求解线性规划问题的步骤建立直角坐标系，根据约束条件作出线性规划问题的可行域（若无可行域则该问题无解）。求出可行域顶点的坐标，并计算每一顶点对应的目标函数值。选出目标函数值最大（最小）的顶点坐标就是该问题的最优解。若同时在两个顶点取得最优值，那么以这两个顶点为端点的线段上任意一点都能使目标函数值达到最大（小），该问题一定有多重解。（关于图解法中解的讨论请参阅文献（1）、（2）中有关章节的内容）第三节线性规划问题的图解法