2020届全国高考数学文增分练高考预测卷二解析版

页1第2020届全国高考数学（文）增分练高考预测卷（二）（解析版）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每个小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M＝{x|x2－4x0}，N＝{x|mx5}，若M∩N＝{x|3xn}，则m＋n等于()A．9B.8C．7D.6解析M＝{x|0x4}，又N＝{x|mx5}，M∩N＝{x|3xn}，故m＝3，n＝4，∴m＋n＝7，选C.答案C2．(2018·唐山二模)若复数z＝1＋ia－i(i是虚数单位，a∈R)是纯虚数，则z的虚部为()A．1B.iC．2D.2i解析设z＝1＋ia－i＝bi(b∈R且b≠0)，则1＋i＝b＋abi，∴b＝1.选A.答案A3．(2018·南昌调研)已知m，n为两个非零向量，则“m与n共线”是“m·n＝|m·n|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析当m与n反向时，m·n0，而|m·n|0，故充分性不成立．若m·n＝|m·n|，则m·n＝|m|·|n|·cos〈m，n〉＝|m|·|n|·|cos〈m，n〉|，则cos〈m，n〉＝|cos〈m，n〉|，故cos〈m，n〉≥0，即0°≤〈m，n〉≤90°，此时m与n不一定共线，即必要性不成立．故“m与n共线”是“m·n＝|m·n|”的既不充分也不必要条件，故选D.答案D页2第4．(2019·安徽淮南一模)《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则豆子落在其内切圆内的概率是()A.3π20B.π20C.3π10D.π10解析依题意，直角三角形的斜边长为17.设内切圆半径为r，则由等面积法，可得12×8×15＝12×(8＋15＋17)r，解得r＝3，向此三角形内投豆子，豆子落在其内切圆内的概率是P＝π×3212×8×15＝3π20.答案A5．在△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，若a＝8，b＝7，B＝60°，则sinC＝()A.3314B.5314C.3314或5314D.1114解析解法一：8sinA＝7sin60°⇒sinA＝437⇒cosA＝±17.因为sinB＝32，cosB＝12，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，所以当cosA＝17时，sinC＝5314；当cosA＝－17时，sinC＝3314.故sinC的值为3314或5314.解法二：设角C的对边为c，由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB⇒49＝64＋c2－8c⇒c＝3或c＝5.当c＝3时，sinC＝cb·sinB＝3314；当c＝5时，sinC＝cb·sinB＝5314.故sinC的值为3314或5314.答案C6．函数f(x)＝ex＋1xex－1的图像大致为()页3第解析由题意，f(－x)＝e－x＋1－xe－x－1＝ex＋1－x1－ex＝ex＋1xex－1＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故f(x)的图像关于y轴对称，排除B，C；当x＝1时，f(1)＝e＋1e－10，故选A.答案A7．执行如下图所示的程序框图，若输入的a，b分别是2020，1，则输出的i＝()A．5B.6C．7D.8解析i＝1，a＝2020＋1，b＝1；i＝2，a＝2020＋3，b＝1×2；……i＝n，a＝2020＋nn＋12，b＝1×2×3×…×n当i＝6时，a＝2020＋21＝2041，b＝720a；当i＝7时，a＝2020＋28＝2048，b＝5040a.故输出的i的值为7.答案C8．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，官页4第赐金依等次差降之．上三人先入，得金四斤，持出．下三人后入，得金三斤，持出．中间四人未到者，亦依等次更给．问各得金几何？”在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金()A．多1斤B.少1斤C．多13斤D.少13斤解析等级由高到低的十等人所得黄金由多到少依次记为a1，a2，…，a10，则a1，a2，…，a10成等差数列．由题意得a1＋a2＋a3＝3a2＝4，a2＝43，a8＋a9＋a10＝3a9＝3，a9＝1.则a2－a9＝43－1＝13，即等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金多13斤．答案C9．把正方形ABCD沿对角线AC折起使D到达D′点，当以A，B，C，D′四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD′和平面ABC所成角的大小为()A．90°B.60°C．45°D.30°解析如下图，当D′O⊥平面ABC时，三棱锥D′­ABC的体积最大．∴∠D′BO为直线BD′和平面ABC所成的角，∵在Rt△D′OB中，OD′＝OB，∴直线BD′和平面ABC所成角的大小为45°.答案C10．已知正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5n，则数列{an}的通项an＝()A．－3×2n－1B.3×2n－1C．5n＋3×2n－1D.5n－3×2n－1解析解法一：在递推公式an＋1＝2an＋3×5n的两边同时除以5n＋1，得an＋15n＋1＝25×an5n＋35，①令an5n＝bn，则①式变为bn＋1＝25bn＋35，即bn＋1－1＝25(bn－1)，页5第所以数列{bn－1}是等比数列，其首项为b1－1＝a15－1＝－35，公比为25，所以bn－1＝－35×25n－1，即bn＝1－35×25n－1，所以an5n＝1－35×25n－1＝1－3×2n－15n，故an＝5n－3×2n－1.解法二：设an＋1＋k·5n＋1＝2(an＋k×5n)，则an＋1＝2an－3k×5n，与题中递推公式比较得k＝－1，即an＋1－5n＋1＝2(an－5n)，所以数列{an－5n}是首项为a1－5＝－3，公比为2的等比数列，则an－5n＝－3×2n－1，故an＝5n－3×2n－1.故选D项．答案D11．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1ω0，|φ|π2，f(α)＝－1，f(β)＝1，若|α－β|的最小值为3π4，且f(x)的图像关于点π4，1对称，则函数f(x)的单调递增区间是()A.－π2＋2kπ，π＋2kπ，k∈ZB.－π2＋3kπ，π＋3kπ，k∈ZC.π＋2kπ，5π2＋2kπ，k∈ZD.π＋3kπ，5π2＋3kπ，k∈Z解析由题设条件可知f(x)的周期T＝4|α－β|min＝3π，所以ω＝2πT＝23，又f(x)的图像关于点π4，1对称，从而fπ4＝1，即sin23×π4＋φ＝0.因为|φ|π2，所以φ＝－π6，故f(x)＝2sin23x－π6＋1，再由－π2＋2kπ≤23x－π6≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π2＋3kπ≤x≤π＋3kπ，k∈Z.答案B12．若函数f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－1,1]总有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围为()A．[2，＋∞)B.[4，＋∞)C．{4}D.[2,4]解析f′(x)＝3ax2－3，页6第当a≤0时，f(x)min＝f(1)＝a－2≥0，a≥2，不合题意；当0＜a≤1时，f′(x)＝3ax2－3＝3a·x＋1ax－1a，f(x)在[－1,1]上为减函数，f(x)min＝f(1)＝a－2≥0，a≥2，不合题意；当a＞1时，f(－1)＝－a＋4≥0，且f1a＝－2a＋1≥0，解得a＝4.综上所述，a＝4.答案C第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________．解析f′(x)＝3x2－4cx＋c2，∵f(x)在x＝2处有极大值，∴f′2＝0，f′x＜0x＞2，f′x＞0x＜2.解得c＝6.答案614．如下图，∠BAC＝120°，圆M与AB、AC分别切于点D、E，AD＝1，点P是圆M及其内部任意一点，且AP→＝xAD→＋yAE→(x，y∈R)，则x＋y的取值范围为________．解析如下图，记平行于直线DE，且与圆相切的直线分别为NQ和BF，则x＋y的最大值为ABAD＝4＋23，x＋y的最小值为ANAD＝4－23.答案[4－23，4＋23]页7第15．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为边AB的中点．将△ADE沿DE翻折，得到四棱锥A1­DEBC.设线段A1C的中点为M，在翻折过程中，有下列三个命题：①总有BM∥平面A1DE；②三棱锥C­A1DE体积的最大值为423；③存在某个位置，使DE与A1C所成的角为90°.其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号)解析取DC的中点为F，连接FM，FB，如图所示，可得MF∥A1D，FB∥DE，可得平面MBF∥平面A1DE，所以BM∥平面A1DE，所以①正确；当平面A1DE与底面ABCD垂直时，三棱锥C­A1DE的体积取得最大值，最大值为13×12A1D×A1E×EC＝13×12×2×2×22＝432，所以②正确；假设存在某个位置，使DE与A1C所成的角为90°，因为DE⊥EC，所以DE⊥平面A1EC，可得DE⊥A1E，即AE⊥DE，与已知条件矛盾，所以③不正确．故答案为①②.答案①②16．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)上一点C，过双曲线中心的直线交双曲线于A，B两点，记直线AC，BC的斜率分别为k1，k2，当2k1k2＋ln|k1|＋ln|k2|最小时，双曲线的离心率为________．解析设A(x1，y1)，C(x2，y2)，由题意知，点A，B为过原点的直线与双曲线x2a2－y2b2＝1的交点，∴由双曲线的对称性，得A，B关于原点对称，∴B(－x1，－y1)，页8第∴k1k2＝y2－y1x2－x1·y2＋y1x2＋x1＝y22－y21x22－x21，∵点A，C都在双曲线上，∴x21a2－y21b2＝1，x22a2－y22b2＝1，两式相减，可得k1k2＝b2a20，对于2k1k2＋ln|k1|＋ln|k2|＝2k1k2＋ln|k1k2|，设函数y＝2x＋lnx，x0，由y′＝－2x2＋1x＝0，得x＝2，当x2时，y′0，当0x2时，y′0，∴当x＝2时，函数y＝2x＋lnx，x0取得最小值，∴当2k1k2＋ln(k1k2)最小时，k1k2＝b2a2＝2，∴e＝1＋b2a2＝3.答案3三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分17．(12分)平面四边形ABCD中，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝3，AD＝2.(1)求sin∠ABD；(2)若cos∠BDC＝17，求△BCD的面积．解析(1)在△ABD中，∠A＝60°，AB＝3，AD＝2，由余弦定理，得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cosA＝9＋4－6＝7，所以BD＝7，(2分)由正弦定理，得BDsinA＝ADsin∠ABD，(4分)页9第所以sin∠ABD＝AD·sinABD＝2×327＝37＝217.(6分)(2)因为AB⊥BC，所以∠ABC＝90°，所以cos∠DBC＝sin∠ABD＝37，所以sin∠DBC＝27.因为cos∠BDC＝17，所以sin∠BDC＝437.(8分)所以sinC＝sin(π－∠BDC－∠DBC)＝sin(∠BDC＋∠DBC)＝sin∠B