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第1页，共14页班级：姓名：线订装绝密★启用前专题六计数原理、概率与统计（理科）时间：120分钟满分：150分命卷人：*审核人：朱毅一、选择题（每小题5分,共60分）1.下面事件:①三角形的三个内角至少有一个大于或等于60∘;②𝑎𝑏0,则1𝑎1𝑏;③2020年2月份有29天;④一个三角形的三边长分别为2,3,5.其中是确定事件的是()A.①②④B.①②③④C.②③④D.①③2.已知等式𝑥4+𝑎1𝑥3+𝑎2𝑥2+𝑎3𝑥+𝑎4=(𝑥+1)4+𝑏1(𝑥+1)3+𝑏2(𝑥+1)2+𝑏3(𝑥+1)+𝑏4,定义映射𝑓:(𝑎1,𝑎2,𝑎3,𝑎4)→(𝑏1,𝑏2,𝑏3,𝑏4),则𝑓(8,24,32,16)=()A.(6,4,8,4)B.(4,8,6,2)C.(4,6,4,1)D.(16,32,24,8)3.从9名女生和3名男生中,抽取4名学生参加某档电视节目,如果按性别比例分层抽样,则不同的抽取方法数为()A.252B.126C.63D.5044.为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了5次试验,得到5组数据(𝑥1,𝑦1),(𝑥2,𝑦2),(𝑥3,𝑦3),(𝑥4,𝑦4),(𝑥5,𝑦5).根据收集到的数据可知𝑥1+𝑥2+𝑥3+𝑥4+𝑥5=180,由最小二乘法求得回归直线方程为𝑦̂=0.65𝑥+16.6,则𝑦1+𝑦2+𝑦3+𝑦4+𝑦5的值为()A.8B.40C.400D.2005.设随机变量𝑋~𝑁(90,𝜎2),若𝑃(𝑋110)=0.23,则𝑃(70𝑋⩽90)=()A.0.46B.0.54C.0.27D.0.236.某微信群中甲、乙、丙、丁、戊、己六名成员同时抢4个红包,每人最多抢一个,且红包被全部抢光,4个红包中有两个10元,两个20元(红包中金额相同视为相同的红包),则甲、乙、丙三人都抢到红包的情况有()第2页，共14页装订线A.36种B.24种C.18种D.9种7.为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:𝑘𝑃𝑎)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,⋯,第五组,如图是根据试验数据制成的频率分布直方图,已知第一组与第三组共有60人,第二组中有疗效的有12人,则第二组中没有疗效的人数为()A.4B.6C.8D.128.从混有6张假钞票的20张百元钞票中任意抽出2张,将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞,则第2张也是假钞的概率为()A.1291B.533C.91190D.3389.已知实数𝑎,𝑏满足−2⩽𝑎⩽2,−4⩽𝑏⩽4,则函数𝑦=𝑥3−3𝑎𝑥2+(𝑏−1)𝑥+𝑐有极值的概率()A.78B.56C.23D.3410.设样本数据𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥10的均值和方差分别为2和5,若𝑦𝑖=3𝑥𝑖+𝑎(𝑎为非零常数,𝑖=1,2,⋯,10),则𝑦1,𝑦2,⋯,𝑦10的均值和方差分别为()A.6,45+𝑎B.6+𝑎,15C.6,15D.6+𝑎,45第3页，共14页班级：姓名：线订装11.随机变量𝑋的概率分布列规律为𝑃(𝑋=𝑛)=𝑎(2𝑛−1)(2𝑛+1)(𝑛=1,2,3,4),其中𝑎为常数,则𝑃(32𝑋72)的值为()A.1370B.128C.910D.31412.在如图所示的正方形中随机投掷60000个点,则落入阴影部分(曲线𝐶为正态分布𝑁(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附:若𝑋~𝑁(𝜇,𝜎2),则𝑃(𝜇−𝜎𝑋⩽𝜇+𝜎)=0.6826,𝑃(𝜇−2𝜎𝑋⩽𝜇+2𝜎)=0.9544.A.28632B.5119.5C.7158D.20478二、填空题（每小题5分,共20分）13.设𝑛=∫0𝜋24𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥,则(𝑥+2√𝑥)𝑛(𝑥−2√𝑥)的展开式中各项系数和为__________.14.高三(2)班在一次数学考试中,对甲、乙两组各12名同学的成绩进行统计分析,两组成绩的茎叶图如图所示,成绩100分以下为未达标,现按达标比例在甲、乙两组分别进行分层抽样,从甲组中抽取9人,从乙组中抽取6人,则未达标两组总共应抽取__________人.15.已知下列命题:①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每45分钟从生产流水线中抽取一件产品进第4页，共14页装订线行某项指标检测,这样的抽样方法是简单随机抽样;②两个变量的线性相关程度越强,则相关系数的绝对值越接近于1;③在一个列2×2联表中,由计算得𝐾2=12.987,则其两个变量之间有关系的可能性是90%;④以模型𝑦=𝑐𝑒𝑘𝑥去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设𝑧=𝑙𝑛𝑦,将其变换后得到线性方程𝑧=0.5𝑥+0.8,则𝑐,𝑘的值分别是𝑒0.8和0.5.其中为真命题的是__________.16.某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖和幸运奖(参与游戏活动的都有奖),且相应获奖的概率是以𝑎为首项、4为公比的等比数列,相应获得的奖金是以840元为首项、−210为公差的等差数列,则参与这项游戏活动获得奖金的期望是__________元.三、解答题（每小题10分,共60分）17.在对人们休闲方式的一次调查中,共调查200人,其中女性140人,男性60人.女性中有80人主要的休闲方式是看电视,另外60人主要的休闲方式是运动;男性中有25人主要的休闲方式是看电视,另外35人主要的休闲方式是运动.(1)根据以上数据建立一个2×2的列联表:(2)有多大的把握认为休闲方式与性别有关?参考公式及数据:𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑).第5页，共14页班级：姓名：线订装18.为了解打靶爱好者小张的打靶命中率与打靶时间之间的关系,下表记录了小张某月1号到5号每天打靶时间𝑥(单位:分钟)与当天打靶命中率𝑦之间的关系:(1)求小张这5天的平均打靶命中率;(2)利用所给数据求小张每天打靶时间𝑥(单位:分钟)与当天打靶命中率𝑦之间的线性回归方程𝑦̂=𝑏̂𝑥+𝑎̂;(参考公式:𝑏̂=∑𝑖=1𝑛(𝑥𝑖−𝑥̅)(𝑦𝑖−𝑦̅)∑𝑖=1𝑛(𝑥𝑖−𝑥̅)2=∑𝑖=1𝑛𝑥𝑖𝑦𝑖−𝑛𝑥̅𝑦̅∑𝑖=1𝑛𝑥𝑖2−𝑛𝑥̅2)；(3)用线性回归分析的方法,预测小李该月6号打60分钟靶的命中率.19.某中学高二年级某班某小组共12人,利用寒假去敬老院探望老人,已知探望老人次数为1,2,3的人数分别为3,5,4.现从这12人中选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)记“选出的2人探望老人的次数之和等于4”为事件𝐴,求事件𝐴发生的概率;(2)设𝑋为选出的2人探望老人的次数之差的绝对值,求随机变量𝑋的分布列第6页，共14页装订线和数学期望.20.某校为了解高中学生对科普知识的了解程度,从高一、高二两个年级分别随机调查了20个学生进行测验,得到学生对科普知识测验的分数(满分100分)如下:(1)根据两组数据完成两个年级对科普知识测验的分数的茎叶图,并通过茎叶图比较两个年级关于科普知识测验分数的平均值及分散程度(不要求算出具体值,给出结论即可):(2)根据科普知识测验分数,将学生的测验分数从低第7页，共14页班级：姓名：线订装到高分为三个程度:现根据对科普知识了解程度分别在高一、高二的样本中利用分层抽样各抽取人，再从这高一、高二抽取的5人中各抽取1人，记事件𝑀:“最后抽取到的高一年级学生对科普知识的了解程度高于抽取到的高二年级学生对科普知识的了解程度”,根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求𝑀的概率.21.某公司计划购买3台机器,该种机器使用三年后即被淘汰,机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个250元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个600元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记𝑋表示3台机器三年内共需更换的易损零件数,𝑛表示购买3台机器的同时购买的易损零件数.(1)求𝑋的分布列;(2)若要求𝑃(𝑋⩽𝑛)⩾0.5,确定𝑛的最小值;(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在𝑛=27与𝑛=28之中选其一,应选用哪个?第8页，共14页装订线22.随机将1,2,⋯,2𝑛(𝑛∈𝑁∗,𝑛⩾2)这2𝑛个连续正整数分成𝐴,𝐵两组,每组𝑛个数.𝐴组最小数为𝑎1,最大数为𝑎2;𝐵组最小数为𝑏1,最大数为𝑏2,记𝜉=𝑎2−𝑎1,𝜂=𝑏2−𝑏1.(1)当𝑛=4时,求𝜉的分布列和数学期望;(2)当𝑛=6时,令𝐶表示事件“𝜉与𝜂的取值不相等”,求事件𝐶发生的概率𝑃(𝐶);第9页，共14页班级：姓名：线订装专题六计数原理、概率与统计（理科）答案和解析第1题：【答案】B【解析】①为必然事件,②为不可能事件,③为必然事件,④为不可能事件,故都是确定事件.第2题：【答案】C【解析】比较等式两边𝑥3的系数,得8=4+𝑏1,则𝑏1=4,故排除A,D;再比较等式两边的常数项,有16=1+𝑏1+𝑏2+𝑏3+𝑏4,∴𝑏1+𝑏2+𝑏3+𝑏4=15.故排除B,故应选C.第3题：【答案】A【解析】从9名女生和3名男生中,抽取4名学生参加某档电视节目,如果按性别比例分层抽样,根据分层抽样,则抽取男生1人,女生3人;所以取3个女生1个男生的方法:𝐶93𝐶31=252.第4题：【答案】D【解析】由题意,得𝑥̅=𝑥1+𝑥2+𝑥3+𝑥4+𝑥55=36,且回归直线𝑦̂=0.65𝑥+16.6恒过点(𝑥̅,𝑦̅),则𝑦̅=0.65×36+16.6=40,𝑦1+𝑦2+𝑦3+𝑦4+𝑦5=5𝑦̅=200.第5题：【答案】C【解析】根据正态分布曲线关于𝑥=90对称,所以𝑃(𝑋110)=𝑃(𝑋70)=0.23,所以𝑃(70𝑋⩽90)=1−2×0.232=0.27.第6题：【答案】C【解析】丁、戊、己三人中有2人未抢到红包,因此总的情况有𝐶32𝐴442!×2!=18种.第7题：【答案】A【解析】由直方图可得第一组与第三组共有60人,第一组与第三组的频率分别0.24,0.36,所以第一组有24人,第三组36人,第二组的频率为0.16,所以第二组的人数:16人,第二组中有疗效的有12人,第二组中没有疗效的有4人.第8题：第10页，共14页装订线【答案】B【解析】设“抽到的两张至少有一张是假钞”为事件𝐴,“抽到的两张都是假钞”为事件𝐵,𝑃(𝐴)=1−𝐶142𝐶202=99190,𝑃(𝐴𝐵)=𝐶62𝐶202=338,𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)=33899190=533.第9题：【答案】A【解析】若𝑦=𝑥3−3𝑎𝑥2+(𝑏−1)𝑥+𝑐有极值,则只需𝑦′=3𝑥2−6𝑎𝑥+𝑏−1有两个不同的零点,即Δ=36𝑎2−12(𝑏−1)0,整理可得𝑏3𝑎2+1.作出−2⩽𝑎⩽2,−4⩽𝑏⩽4,的可行域的图象,如下图中阴影部分,阴影部分的面积𝑆=4×4+2×1×4+2∫01(3𝑎2+1)𝑑𝑎=16+8+2×[(𝑎3+𝑎)|01]=16+8+2×2=28,所以所求概率𝑃=284×8=78.故A正确.第10题：【答案】D【解析】因为样本数据𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥10的平均数是2,所以𝑦1,𝑦2,⋯𝑦10的平均数是𝑦1+𝑦2+⋯+𝑦1010=3𝑥1+𝑎+3𝑥2+𝑎